Plage, raquettes et Archimède...

[Rhodes77]

Bonjour à tous,

L'été s'étant installé, nous avons sorti les raquettes de plage et comme un esprit vif n'est jamais en vacances, une idée m'est venue voyant flotter ma balle de plastique.
Je voulais initialement calculer le rayon du cercle délimitant la calotte de la balle qui surnage.

A coup d'Archimède et de seconde loi de Newton, en posant , H étant la hauteur dont dépasse la balle, R son rayon, j'en viens à -corrigez moi si je me trompe :
,
où le rho au numérateur est la masse volumique de la balle, celui au dénominateur est celle de l'eau.

Je suis déçu de ce que le problème ne présente pas de solution analytique simple.
Est-ce que je me suis trompé quelque part ? Je n'ai pas pris le temps de me replonger entièrement dans les calculs de calotte sphérique, ni dans la résolution analytique de l'équation ci-dessus.

Notons que le problème initial concerne le rayon de la calotte, ce qui n'amènerait qu'un changement de variable et pas un changement de degré du polynôme -me semble-t-il du moins.

Quelqu'un a-t-il une autre idée ? Merci
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[obi76]

Salut,

intuitivement, je trouve ça logique que ce soit compliqué...

[LPFR]

Bonjour.
Est ce que la balle est pleine (densité uniforme), ou il s'agit d'une coquille d'épaisseur donné et pleine de gaz?
Si la balle est pleine, en utilisant l'angle de la calotte, on peut faire le problème analytiquement, et la hauteur qui dépasse sera la racine cubique d'un arccos.
Je ne l'ai pas fait pour une coquille.

Je vois que vous vous amusez bien pendant les vacances.
Au revoir.

[LPFR]

Re.
Correction: je me suis planté dans mon intégrale.
Il est vrai que le problème n'a peut-être pas de solution analytique.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rhodes77]

Bonjour et merci pour vos réponses,

J'ai fait l'hypothèse d'une balle pleine à répartition uniforme de masse, disons pour le principe.
Au delà du problème initial, j'aurais pensé en vertu des raisons de symétrie que si la répartition en masse n'est pas uniforme mais tout de même de symétrie sphérique, on peut considérer la masse uniformément répartie de masse volumique la valeur moyenne pondérée dans le rapport des volumes occupés. Mais je n'ai pas pris le temps de poser ça.
Tant pis donc pour une belle solution analytique simple. La beauté des maths en prend du plomb dans l'aile

Oui je m'occupe bien en vacances !!

[LPFR]

Re.
J'ai trouvé dans ce site le volume d'une sphère partiellement remplie de :

Ce qui donne une équation de troisième dégrée qui est (en principe) soluble analytiquement.
voici la solution.
A+

[Rhodes77]

Re,

Euuuh... ok ! Merci bien !
Bonne journée tout le monde

[sitalgo]

B'soir,

L'été s'étant installé, nous avons sorti les raquettes de plage et comme un esprit vif n'est jamais en vacances, une idée m'est venue voyant flotter ma balle de plastique...
Je suis déçu de ce que le problème ne présente pas de solution analytique simple.

C'est pour cela que j'ai deux balles, une sphérique pour jouer sur le sable, une cubique pour jouer dans l'eau.