equation differentielle lineaire du second ordre a coefficients constants

[matia12]

Bonjour,

Voila je n' arrive pas a résoudre ces deux équations différentielles:

y''+λy=0 avec λ une constante donnée.

conditions initiales : y(t=0)= yo

et y''+y = cos (teta)/a avec a une constante non nulle .

Merci d avance .
-----

[obi76]

Si vous faites la première équation moins la seconde, vous ne voyez toujours rien ?

[matia12]

les deux equations sont totalements independantes dans l exercice!

[obi76]

Ha, ce sont 2 questions donc...

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

La première, je la réécris comme ça y''=-lambda*y.
Mis à part cette constante lambda, vous cherchez donc une fonction y qui, quand dérivée deux fois, vous redonne y. Bref, une fonction qui ne change pas quand on la dérive.
Il existe une telle fonction parmi les fonctions mathématiques élémentaires qui ne change pas quand on la dérive

[matia12]

c est e(x) nn?

[coussin]

Oui, c'est ça
Maintenant, faut s'occuper de cette constante lambda dans l'équation différentielle. À cause de cette constante, la solution ne va pas être exp(x) tout court mais une solution plus générale exp(a*x) avec a une constante à déterminer. Une telle solution, y a la constante a qui « sort » à chaque fois qu'on dérive une fois.
En portant cette expression dans ton équa dff de départ, tu aboutis à l'équation a^2=-lambda. En résolvant cette équation, tu trouves les différentes valeurs de a et finalement la solution la plus générale solution de l'equation différentielle

[invitef17c7c8d]

Parfois c'est pas mal d'essayer de faire le lien entre des équa. diff. et de la physique.

Par exemple la première équation peut représenter un système masse-ressort de masse 1kg et dont la rigidité du ressort est N/m. A ce resort on impose un déplacement intitial puis on étudie comment il oscille une fois livré à lui même.

La deuxième équation est ressemblante à la première sauf que dans ce cas on impose au système une oscillation forcée

[albanxiii]

Bonjour,

Pour une fois je suis d'accord avec lionelod !

Une remarque cependant.... quand on arrive à un équation différentielle en physique, on sait quel est le système étudié et quelle est la physique en jeu.... sinon il y a un problème... un gros problème.