tension dans une corde

kevinkw · 21/10/2011 - 17h39

boujours,

je souhaite determiner la tension dans une corde de tyrolienne. la je tourne un peut en rond dans mes calculs donc je vous fait part du probleme.

le repere: A, j, k
A l'origine la corde est horizontale , tendu entre 2 points: A et B (je ne prend pas en compte le probleme des Chaînette pour l'instant)
Dessus il y a une poulie (P)qui translate suivant j, à une distance x de A.
le poids de la poulie et de ce qui y est accroché va induire une distance h entre P et j.

Je me retrouve donc avec un triangle ABP de hauteur h. Les cotés sont de longueur: L pour AB, l1 pour AP et l2 pour PB.
Je sais que l1+l2 = L+f(m)
f(m): l'allongement de la corde en fonction de la masse du systeme poulie.
Pour calculer la tension dans la corde, je doit trouver θ et θ' les angles BAP et ABP.

Est il possible de trouver ces angles avec ces inforations ou faut il plus de renseignement?

merci

**LPFR** · 21/10/2011 - 18h50

Bonjour.
Le système est à l'équilibre ou le poids est en train de glisser vers le centre?

S'il n'est pas en équilibre, dans le bilan de forces au niveau de la poulie il faut inclure la force qui accélère le poids.
Cela vous permet de calculer les tensions sur la corde en fonction des angles.
Mais comme la longueur dépend de la tension et des angles, cela vous donne une deuxième condition (et équation).
Et je crains que cela ne suffise pas et qu'il faille inclure la conservation de l'énergie: l'énergie potentielle perdue par le poids est égale à l'énergie cinétique acquisse plus l'énergie élastique de la corde.
Au revoir.

kevinkw · 21/10/2011 - 18h50

un petit schéma pour illustrer:
schema.jpg

kevinkw · 21/10/2011 - 18h53

merci. je n'avais pas pensé à cette histoire d'energie.
Sinon le systeme est a l'equilibre. une seconde corde sert à deplacer la poulie de droite a gauche.

sitalgo · 21/10/2011 - 19h29

B'jour,

Envoyé par kevinkw

Est il possible de trouver ces angles avec ces inforations ou faut il plus de renseignement?

Il manque la raideur de la corde (N/m), la tension initiale.

**LPFR** · 21/10/2011 - 19h33

Re.
Si le système est en équilibre, il faut faire un dessin avec toutes la forces (sans oublier la corde de déplacement) et écrire les conditions que leur somme en horizontal et en vertical sont nulles.
Puis il faut écrire al condition de l'allongement avec les angles.
Je crains que cette dernière condition ne donne de racines carrées qui vont rendre la solution analytique compliquée.
Vous ne pouvez pas utiliser facilement la conservation de l'énergie, car une partie de l'énergie a été "consommée" par al corde de rappel. On pourrait l'utiliser (peut-être) mais pour écrire une équation différentielle: variation quand l'objet avance d'un différentiel. Il faudra peut-être arriver là, mais si vous pouvez l'éviter, tant mieux pour vous.
A+

kevinkw · 30/10/2011 - 15h40

bon alors voila ou j'en suis:
-le pfs: en x, 0=d - Fc*cosθ + Fc*cosθ'
en y, 0=-mg + Fc*sinθ + Fc*sinθ'
avec: m:masse du système
d: force exercé par la corde de position(pour le déplacement de droite à gauche)
Fc: tension dans la corde porteuse

pour trouver Fc, l'équation en y suffit.

sinθ = h/l1
sinθ' = h/l2

l1= (h²+x²)^1/2
l2= (h² + (L-x)²)^1/2
(Pythagore)

Il me faut donc trouver h.
Pour l'instant je me permet de négliger l'énergie absorbé par la corde de position étant donné qu'elle ne devrai pas être très importante devant celle de la corde porteuse.

La conservation de l'énergie nous donne:Ep=Ee

Ep=mgh
Ee= 1/2 * K * (L'-L)²
avec K raideur de la corde et L' longueur de la corde en tension(l1+l2)

mgh=1/2 * K * (L'-L)² or Fc=k*(L'-L) <=> Fc/k = (L'-L)

donc mgh=1/2 *Fc (L'-L)
mgh= Fc²/2k

h=Fc²/2mgk

C'est la que commence les problèmes.

- k, je le calcul à partir des caractéristiques de la corde (longueur et % d'allongement) grâce à hooke
- m, L, g: donnée de départ

- h=Fc²/2mgk
- l1= (h²+x²)^1/2
- l2= (h² + (L-x)²)^1/2
- sinθ = h/l1
- sinθ' = h/l2
- 0=-mg + Fc*sinθ + Fc*sinθ'

donc: 0= -mg + Fc*h*(1/l1 + 1/l2)
comment trouver Fc pour n'importe quel x?

Isoler Fc ça devient vite compliqué avec les racines.
Le solveur d'excel peut il résoudre ca?

kevinkw · 30/10/2011 - 18h31

après un petit coup de solveur excel: avec m=100kg, L=10m, et k=3967 (une élongation de 3% entre 50 et 150 kg de charge, pour 10m de corde)

Le résultat est: Fc=2522N à x=4.999m. Est-ce que ca vous semble acceptable?

kevinkw · 31/10/2011 - 19h17

Alors, pour simplifier le truc, j'ai calculé Fc quand la poulie est au milieu de la corde(x=L/2). Fc et h sont maximum, et les deux angles sont égaux.
Ça permet de bien simplifier l'équation 0= -mg + Fc*h*(1/l1 + 1/l2) quand on développe tout.

J'obtiens une équation du 3em dégrée, j'applique le méthode de Cardan. Le Λ est positif, donc une seul solution réel. c'est bien partie.
Ensuite, je trouve Fc=2522, donc le même résultat que le solveur.

Je peut donc dimensionner ma corde, mais pas calculer h ni voir les efforts pour un x quelconque.

**LPFR** · 01/11/2011 - 14h55

Bonjour.
Puisque vous utilisez le solveur de Excel, vous pouvez faire le calcul "directement".
J'appelle F la tension de la corde de rappel et je considère qu'elle est inclinée de thêta, comme le premier segment de corde. T est la tension de la tyrolienne.
$(T+F) \sin \theta + T \sin\theta '- P = \varepsilon_1$
$(T+F)\cos\theta - T \cos\theta ' = \varepsilon_2$
$T - k\left(\frac{x}{\cos\theta} + \frac{L-x}{\cos\theta '} -L\right) = \varepsilon_3$

Et la valeur à minimiser est
$\varepsilon_1^2 + \varepsilon_2^2 +\varepsilon_3^2$

Avec les variables T, F, thêta et thêta'

Avec les valeurs des angles obtenus vous pouvez calculer h.
Au revoir