Problème équation navier-stokes

[invitea4ab33c7]

Bonjour,
Je bloque depuis un certain temps sur deux écritures différentes de l'équation de conservation du mouvement de Navier-Stokes :
Le terme d'advection s'ecrit soit sous la forme(v.grad)(v), avec v et grad vecteurs, soit div(v*v), v vecteur et * correspondant au produit tensoriel.
Mon problème est que ces deux écritures ne donnent pas le même résultat si on les écrit en coordonnées cartésiennes, par exemple en 2D :

soit v1 et v2 les deux composantes de la vitesse suivant x1 et x2, on a alors


1/ (v.grad)(v) =( [v1.dv1/dx1+v2.dv1/dx2];[v1.dv2/dx1+v2.dv2/dx2]) (d correspond à d "rond" )
2/div(v*v)= div ([v1.v1 ; v1.v2];[v1.v2 ; v2.v2]) = ([d(v1.v1)/dx1+d(v1.v2)/dx2];[d(v1.v2)/dx1+d(v2.v2)/dx2]).
En utilisant (uv)'=u'v+uv', on ne trouve pas le même résultat.
Voici le lien wiki sur les équations de Navier-stokes qui donnent les deux formulations différentes:
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q..._Navier-Stokes

Merci de votre aide !
-----

[Shinycastle]

Bonjour,

Quand tu parles de produit tensoriel, c'est produit tensoriel ou vectoriel ?
Je crois que tu veux dire vectoriel. Mais alors div(v*v) vaut 0 puisque le produit vectoriel d'un vecteur par lui même est nul.

De plus, le résultat d'une divergence est un scalaire non ? Alors que (v.grad).v est un vecteur.

Pourrais-tu nous dire où se trouvent ces deux formulations ? Il y en a tellement sur la page de wikipedia, ca permettrait de voir les formules utiles tout de suite, les hypothèses etc

A plus

[invitea4ab33c7]

Non c'est bien un produit tensoriel entre deux vecteurs ( ou tenseurs d'ordre 1). Les deux formulations sont données dans le paragraphe " origine du terme d'advection" de http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q..._Navier-Stokes.
Et le resultat de div(v) est un scalaire si v est un vecteur, mais c'est un vecteur si on a une matrice, ce qui est le cas de v*v avec * produit tensoriel.

[albanxiii]

Bonjour,

Autrement dit, ce que vous notez v*v, se note proprement ? ou j'ai mal vu ?

Du coup, on aurait (comme est symétrique, ça doit être correct comme écriture) ?

Vous devriez faire l'effort d'utiliser , vous serrrez plus clair pour vos lecteurs....

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Je ne connaissais pas la divergence d'un tenseur… Mais avec ce lien, je vois que .
Le terme en plus est ici (le ). Ce terme ne serait-il pas nul pour une raison qui m'échappe par hasard ?

[obi76]

Le terme en plus est ici (le ). Ce terme ne serait-il pas nul pour une raison qui m'échappe par hasard ?

div(U) est effectivement nul si le fluide est incompressible

[Ingy]

Hello,

Quand tu poses les calculs il y a des termes supplémentaires qui apparaissent dans le termes de droite de l'équation (en utilisant (uv)'=u'v+v'u comment tu dis).

Sauf que les termes supplémentaires, c'est exactement la divergence de v multipliée par une composante de v:

(dvx/dx + dvy/dy + dvz/dz).vx sur ux
(dvx/dx + dvy/dy + dvz/dz).vy sur uy
(dvx/dx + dvy/dy + dvz/dz).vz sur uz

Ce terme doit etre nul si l'on considère un fluide incompressible. Mais ce n'est précisé qu'après dans l'article de wikipedia.

Ca fait longtemps que j'ai pas manipulé les équations de mécanique des fluides:
Est-ce qu'il faut dire "fluide incompressible => (dvx/dx + dvy/dy + dvz/dz).vx etc d'où l'équation " ou "pour que cette équation soit correcte il faut que le fluide soit incompressible" ?

[invitea4ab33c7]

Merci pour vos réponses.
J'ai obtenu une explication : la première forme (v.grad) est dite non-conservative et la deuxième est elle conservative. Les hypothèses sont diférentes ce qui explique les termes en plus pour la forme conservative. Je n'ai pas plus de détails sur ces hypothèses pour le moment, mais dans le cas qui m'interesse ici (résolution numérique) la forme non conservative est suffisante, les termes en plus de la forme conservative étant négligeables.
Pour albanxiii, ce que je note v*v est effectivement ce que vous avez ecrit. Je retiens pour latex
Merci encore.

[obi76]

Pour l'histoire de div(U) = 0 si le fluide est incompressible, il suffit de partir du bilan de masse :
Si est constant (spacialement et temporellement), alors on obtient directement div(U) = 0.

[Ingy]

Merci pour ce complément obi76
Je coupe toujours les cheveux en 4 alors que cette équation de conservation, c'est la base... d'où le résultat.
Bye

[invitea4ab33c7]

Merci Ingy , je n'avais pas vu que les termes en plus donnaient div(v), cela donne finalement la formule donnée plus haut par Coussin. Et du coup en incompressible les deux formes sont équivalentes.
Cependant les deux formes sont données sans prendre cette hypothèses, ce qui nous renvoie aux équations conservatives et non conservatives.

[Ingy]

Pas de problème, mais je n'avais pas vu que coussin et obi76 avaient déjà répondu à la question.

Et de manière plus élégante, sans faire tous mes calculs...

[albanxiii]

Re,

Juste une petite remarque, si vous l'avez sous la main, essayez de regarder dans le Landau de mécanique des fluides. Je ne l'ai pas ouvert récemment, mais je sais qu'il utilise du formalisme tensoriel à tour de bras, vous y trouverez peut-être votre espression de la divergence du tenseur v*v, avec les explications qui vont avec.

Bonne soirée.