On commence à avoir deux discussions parallèles qui n'ont rien à voir... La séparation des variables qui faisait l'objet de la question de l'OP est un problème de résolution d'équadiff par inversion de fonction et intégration. Les méthodes sont malheureusement homonymes (le problème auquel j'ai répondu plus haut s'appelle effectivement séparation des variables, c'est par exemple le terme utilisé par V. Arnold dans son livre sur les ODE)

Cependant, pour répondre à ta question azizovsky, le problème avec ton message initial est que tu mélanges deux concepts.

D'une part la linéarité, si j'ai deux solutions de la MÊME équation différentielle linéaire, je peux les additionner pour avoir une solution de plus.

D'autre part, on peut "séparer les variables". C'est une méthode qui s'applique pour les équations aux dérivées partielles (à plusieurs variables donc).
On peut toujours chercher en toute généralité si des fonctions factorisées de chaque variables f(x1)*g(x2)*... existent.
On obtient alors une équation différente PAR fonction f,g,... et ensuite, le produit est solution. C'est différent de la linéarité !

Si on en trouve, plusieurs cas se présentent :
  • On peut trouver une telle solution qui vérifie nos conditions aux limites. Les gentils théorèmes d'unicité nous disent alors que c'est la seule solution qui convient
  • On ne peut pas. Dans beaucoup de cas pour les équations linéaires où l'on peut montrer que toute solution se décompose en série de fonctions factorisées : c'est le cas de la corde vibrante par exemple. Il existe même des cas généraux où l'on montre que toute solution est combinaison linéaire finie de solution factorisées.
  • Dans le cas non linéaire, les solutions factorisées ne peuvent être combinées, et il existe en général des solutions qui ne sont pas factorisables, comme les solitons par exemple.

Attention, tu vois que dans le cas linéaire, on a plusieurs solutions qui sont CHACUNE produit de fonctions d'une seule variable, et chaque fonction d'une seule variable est solution d'une AUTRE équation que celle de départ.

Il n'y a à ma connaissance aucune équation utile en physique où si f(x) et g(x) sont solutions d'une même équation, f(x)*g(x) est solution.