la séparation des variables: a- t-elle une justification ?

[shararizo]

Bonjour,
Je suis une élève en prépa . En physique ,et surtout en thermodynamique on fait assez souvent des séparations de variables et cela me dérange parce que je ne
sais pas pourquoi a- t-on le droit de déplacer le 'dt' ou le 'dv' là ou l'on veut !
Un jour j'ai demandé à mon prof de maths pourquoi on fait ça en physique et il m'a dit que cela n'a aucun sens en maths! Je lui ai alors demandé : Alors pourquoi ça reste vrai en physique ?! et il m'a répondu qu'il ne savait pas ..
Est ce que quelqu'un peut me répondre ?
Merci !!
-----

[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
La séparation de variables choisit, parmi toutes les solutions possibles, les solutions d'un certain type (la plus simple). On passe à côté des autres solutions possibles.
La méthode est justifiée "expérimentalement" si les solutions trouvées sont celles qui intéressent et que l'on trouve dans la nature.
Je peux vous donner un exemple concret. Dans l'étude des vagues dans l'eau, si on choisit des solutions "séparables", on trouve les vagues habituelles (dont les tsunamis). Mais on passe à coté d'autres types de vagues moins courantes, comme les solitons.
Au revoir.

[shararizo]

Je vous remercie , mais sincèrement je n'ai pas tout compris
Plus d'explication pourrait peut être m'aider .
Merci beaucoup

[pianno]

Salut,
le "dv" et le "dt" sont des intervalles très petit.Au lycée on apprends que d(f(x))/dx est une "notation" en physique pour représenter la dérivée de f par rapport à x.
En réalité, ce n'est pas juste une notation. Elle est vrai mathématiquement.

Pour donner l'acccélération, on écrit dv/dt .Mais dans cette formule, dv et dt sont indépendantes c'est-à-dire que tu peux les séparer dans une équation.

J'espère avoir compris ta question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.
On ne parle peut-être pas de la même chose.
Je viens de lire la page de wikipedia sur la séparation de variables et je ne retrouve pas mes petits.
Pour moi, quand on a une fonction de qui dépend de plusieurs variables (comme Φ(x, y, z)) et un système d'équations en dérivées partielles, la séparation de variables consiste à limiter les solutions cherchées à des fonctions qui peuvent se mettre sous la forme d'un produit de trois fonctions, chacune dépendante d'une seule variable:

La chose que l'on traite dans wikipedia est peut-être la même, mais avec uniquement une seule variable et une seule équation différentielle.
Puis on crée une nouvelle variable.
C'est peut-être très intéressant, mais je n'ai pas le souvenir d'être tombé sur une situation dans laquelle il fallait utiliser cette méthode.
A+

[stefjm]

Un réponse possible :

Soit l'équation différentielle :
Elle est à variable séparable car on peut écrire :

facilement intégrable en x d'un coté et en t de l'autre.

Si on écrit cette équation sous la forme :


on obtient le même résulat en "baladant" les dt et dx.


De mémoire, tout ceci marche pour la dérivation à l'ordre 1 et "merde" au delà.

Cordialement.

[pianno]

Salut,

on obtient le même résulat en "baladant" les dt et dx

mais je pense que ce qu'il ne comprend pas c'est justement cette "balade" des "dt" et "dx".

[stefjm]

D'un point de vue de physiciens, que constater d'autres que cela marche?
D'un point de vue maths, il faudra déplacer le post en maths pour savoir ce qu'en pense les spécialistes quand le sujet sera épuisé ici...

[shararizo]

Oui c'est exactement cette balade des 'dx' et 'dt' qui me dérange souvent en physique
La conclusion que j'ai pu tiré jusqu'à maintenant est qu'il n y a pas vraiment une justification assez rigoureuse et que c'est parceque les physiciens ont constaté que cela marche bien qu'on fait la séparation des variables aujourd'hui dans de nombreux domaines de la physique ..
Ai- je raison ?

[pianno]

Salut,

je ne vois pas pourquoi ton prof de maths a dit que "balader" ces quantités infinitésimales n'avait aucun sens. J'ai toujours interprété ces quantités comme étant des toutes petites variations, ce qui n'empêche pas de les manipuler comme d'autres variables dans une équation.

Je ne pense pas du tout que les physiciens ( ou nos profs) font ces calculs juste parce que ça marche expérimentalement, cette manipulation est tout à fait correcte théoriquement. On peut dire que la séparation des variables est comme une astuce pour résoudre certaines équations différentielle.

Comprends-tu réellement ce que représente dx/dt ? peut être que le problème est là.

[stefjm]

Thread à déplacer en maths?

[invite76543456789]

Bonjour,
On peut fournir un justification mathématiques d'a peu pres toutes ces manipulations, mais cela demande de prendre un point de vue qui est a priori difficilement accesible a un eleve de prepa.

[pianno]

Je ne pense pas qu'elle soit au lycée car elle a déjà vu la séparation des variables en physique.

[invite76543456789]

Une manière sympathique de voir les choses est de changer de point de vue sur les équations differentielles.
Au lieu de voir une équa diff, disons f'+f=0 comme une relation qui doit etre verifiée point par point par une fonction inconnue f.
Il est plus judicieux d'interpreter cela en tant que forme differentielle définie sur la droite.
Tu cherche une formes differentielle df (exacte donc) telle que df=fdt ou dt est la forme differentielle à la quelle tu pense. Et la tu peux manipuler ceci comme des formes differentielles, notement sur un ouvert où f n'est pas nulle tu peux ecrire que df/f=dt, ce qui est une egalité entre forme (note que df/dt par contre n'a plus de sens "évident" mais on peut lui en donner un).
Comme d(log(f))=df/f, tu dois resoudre d(log(f)-t)=0, et le noyau de d est l'ensembles des fonctions localement constantes.

Tu peux faire ca pour enormément d'équations differentielles (et d'EDP) ce qui te permiet de rigoriser les calculs physiques (enfin il reste quelquespetits grains de sables, mais les balayer demanderait d'introduire des notions franchement plus complexes).

[shararizo]

Dans notre prépa on nous montre comment faire une séparation de variables et comment intégrer par rapport à deux variables et tout ce dont on a besoin pour résoudre les exercices de physique mais sans le justifier et sans nous montrer d'ou ça vient , donc on n'as pas vraiment étudié la séparation de variables comme une leçon à part ni en maths ni en physique ,et cela m'énerve un peu car j'ai parfois l'impression de faire la physique intuitivement sans réellement comprendre ..
Donc une justification mathématique que j’espère pouvoir comprendre serait peut être la meilleure réponse à ma question ..
Merci !

[Amanuensis]

Il est plus judicieux d'interpreter cela en tant que forme differentielle définie sur la droite.

Notons que ce genre d'écriture est courant en thermodynamique donc en physique !

[shararizo]

J'ai compris que je ne suis pas en mesure à ce stade de comprendre parfaitement la justification mathématique. Je serai alors patiente et j'attendrai jusqu'au jour ou j'aurai tous les moyens mathématiques pour comprendre cette opération . En attendant, je vais me contenter avec vos réponses qui m'ont beaucoup aider à mieux voir les chose ..
Merci beaucoup!
à +

[pianno]

Il n'y a pas la "démonstration" de ce procédé ou peut-être ce qu'a proposé stefjm ci-dessus...

Dis-nous ce que tu ne comprends pas dans le raisonnement de stefjm. Est-ce le passage de la 3èmè à la 4ème égalité?

[FlyingDeutschmann]

La séparation des variables telle que tu la désigne a un sens mathématique très clair est n'est pas difficile à comprendre. La "méthode du physicien" qui consiste à "balader" les éléments différentiels est un moyen mnémotechnique des plus utiles pour résoudre un certain type d'équations de manière simple.

Elle s'applique lorsque l'on considère une équation différentielle du type



Dans l'hypothèse où il existe un intervalle où x est bijective de I dans J. Cela veut dire qu'il existe y telle que x(y(a))=a pour tout a dans J.
On sait qu'en tout point t de I , donc y'(x(t)) = 1/F(x(t)).

Comme c'est vrai sur tout , on a l'équation différentielle , qu'il est facile d'intégrer en

, qui est bien la formule que le physicien retrouve 'avec les mains'.

On peut compliquer les choses en écrivant , je te laisse le faire toi-même

[Sethy]

Je ne comprends pas bien la question.

Qu'on à voir dt et dx et la séparation de variable ? Peux-tu prendre un exemple concret ?

Je prends par exemple la loi de Beer-Lambert. Expérimentalement, on voir que la quantité de lumière absorbée par une solution (par exemple) est proportionnelle à l'intensité de lumière qui traverse la solution ainsi qu'à son épaisseur. Si on souhaite connaitre l'évolution de l'intensité lumineuse au fur et à mesure de la progression de la lumière dans la substance colorée, on va "simplement" mettre les résultats expérimentaux en équation.

La quantité de lumière (dI) absorbée par élément d'épaisseur (dL) s'exprime donc : dI = -k . I . dL

Le signe - est la pour simplifier la suite des calculs et pour montrer qu'on à affaire à une absorption. k est un coefficient qui dépend de l'espèce, de la longueur d'onde, de la concentration.

Est-ce ce genre de chose dont tu parles ?

Ou au contraire est-ce par exemple lié à dV qui peut se transformer en S.dx ?

[pesdecoa]

J'ai compris que je ne suis pas en mesure à ce stade de comprendre parfaitement la justification mathématique. Je serai alors patiente et j'attendrai jusqu'au jour ou j'aurai tous les moyens mathématiques pour comprendre cette opération . à +

Je te rassure, tu n'es pas la seule à ne pas comprendre la justification mathématique! J'ai rien compris moi aussi!

La question que tu poses, profonde, est quel est donc ce lien entre un produit mathématique tel que A*B et certains phénomènes physiques?

Il y a certains phénomènes physiques qui sont plus facilement compréhensibles si on les regarde d'un point de vue global et non pas local. Par exemple, en acoustique ou en vibration, on comprend le phénomène de résonance, si l'on se place d'un point de vue global et qu'on considère un mode dans sa globalité. En regardant localement, on ne "voit" pas le mode.

La multiplication a cette propriété d'agir "seulement" comme un coefficient de proportionnalité. La multiplication amplifie ou réduit mais ne modifie pas!

Un mode de vibration est amplifié ou réduit au cours du temps mais n'est pas modifié.
Seul un produit peut reproduire ou modéliser ou représenter ce phénomène remarquable de la physique!

[azizovsky]

pour l'équation d'onde , si f(u) et f(v) sont des solutions ,aussi f(u)+f(v) /2 est solution ,et aussi f(u).f(v) est une solution.

[pesdecoa]

pour l'équation d'onde , si f(u) et f(v) sont des solutions ,aussi f(u)+f(v) /2 est solution ,et aussi f(u).f(v) est une solution.

Non. Primo cela n'a rien à voir mais surtout c'est faux. f(u)+f(v)/2, c' est la definition de la linearite. f(u).f(v) n'est bien sur PAS solution.

[azizovsky]

Non. Primo cela n'a rien à voir mais surtout c'est faux. f(u)+f(v)/2, c' est la definition de la linearite. f(u).f(v) n'est bien sur PAS solution.

la linearité de quoi ?? des inconnus (x,y,...) ou des solutions , fait un petit tour sur le net avant de dire quoi que se soit .

[azizovsky]

la linearité de quoi ?? des inconnus (x,y,...) ou des solutions , fait un petit tour sur le net avant de dire quoi que se soit .

la deusiéme solution m'a fait gagner du temps pour un champs de 8 variables .....

[pesdecoa]

la linearité de quoi ?? des inconnus (x,y,...) ou des solutions , fait un petit tour sur le net avant de dire quoi que se soit .

Si 3 est solution et 4 est solution, alors on peut penser que 3,5 est aussi solution.
Par contre pas certain que 12 soit aussi solution...

Avant de vouloir gagner du temps, il faut savoir un minimum ce que l' on fait

[LPFR]

Vous êtes priés de garder votre calme et rester courtois.
Pour la modération.

[shararizo]

FlyingDeutscmann : Je trouve que votre justification est la plus convaincante et la plus rigoureuse mais vous avez fait deux hypothèses : La 1ère est que x est une fonction bijective de I vers J. La 2ème est est que F ne s'annule pas sur J . Est ce qu'on peut toujours se ramener à ce cas en physique?

Pour Sethy ,oui je peux vous donner un exemple bien que je pense que j'ai presque trouvé la réponse à ma question : dans l'exemple que vous avez écrit : dI= - k I dL , on peut aussi écire dI/I = - k dL puis intégrer de part et d'autre par rapport à I e L .N'est ce pas ?
Alors pourquoi on peut faire ça , c'était ça ma question ..
Merci à tous pour votre aide !!
Au revoir

[FlyingDeutschmann]

Si F ne s'annule pas, la fonction x est bijective (car strictement monotone). Or c'est justement l'hypothèse du physicien : quand on sépare les variables "avec les mains", on se retrouve avec un qu'il faut intégrer et qui n'a pas de sens si F s'annule. L'hypothèse que le physicien impose naturellement est donc suffisante pour toute application.

En thermo par exemple, cela marche parce qu'on fait cela lorsqu'on considère une intégrale pour un type de transformations particulier qui contraint le mouvement sur une ligne qui n'est ni verticale, ni horizontale dans le plan des deux variables thermodynamiques considérées.

[azizovsky]

Si 3 est solution et 4 est solution, alors on peut penser que 3,5 est aussi solution.
Par contre pas certain que 12 soit aussi solution...

Avant de vouloir gagner du temps, il faut savoir un minimum ce que l' on fait

Désolé LPRF , c'est moi qui'a commencé (sans arriére pensée... , c'était le matin...) ,OK , le sujet de la discution est pourquoi on décompose une fonction U(x,y,...) en produit U(x,y,...)=A(x).B(y)....par exemple celle de l'onde U''(x,t)/t=v²U''(x,t)/x ,avec le signe / dérivation seconde par rapport au variable x ou t la question du fil est pourquoi on pose U(x,t)=A(x).B(t) :séparation des variables ,ce que je voulais dire.( A(x)et B(t) deux solutions de deux équations... ).