Physique du solide : Oscillations de Bloch

[dolan-duck]

Bonjour à tous,

Comme vous pouvez le constater, je suis assez nouveau sur ce forum et ceci est mon premier fil. Je suis content de m'être inscrit ici, enfin un endroit où on peut parler un peu science, c'est sympa.

Bref, ma question est sur mon cours de physique du transport.
On se place dans le modèle semi-classique, dans le cas d'un cristal parfait à l'origine d'un potentiel périodique perturbant la dynamique des électrons (décrits ici par les fonctions d'onde de Bloch) en donnant une structure de bande à leur spectre énergétique. On soumet le système à un champ électrique E uniforme et constant.

En développant en série de Fourier selon la périodicité du réseau réciproque l'énergie (vp du hamiltonien) de l'électron placé dans le réseau, on arrive à montrer que le champ cristallin n’apparaît plus que dans la relation de dispersion.

Avec l'équation de Schrödinger + les équations canoniques de H, on arrive à montrer que : .
Ça ressemble farouchement à un espèce de PFD faisant intervenir le moment cristallin k. Ce dernier s'intègre facilement.
On obtient donc une expression de la vitesse des e- qui est .
Jusque là tout va bien.

Après, mon cours me dit : "Comme les comportements en t et k de la vitesse sont les mêmes, la vitesse des e- reste bornée : ils effectuent des oscillations dites de Bloch".
Je ne comprend pas comment on tire ces renseignements de l'expression de la vitesse (certainement que la réponse doit être simple mais je "bloch")...
En plus, je m'attendrais à une expression en cos/sin de E pour des oscillations...?

Puis, questions subsidiaires :
_ Est ce que cela signifie qu'il ne peut pas y avoir de courant continu aux bornes d'un cristal parfait (seulement un courant alternatif)?!
_ Dans ce cas pourquoi le cuivre, par exemple, peut il conduire un courant continu comme on le fait toujours dans n'importe quel dispositif électronique? Défauts cristallins? Phonons?

Merci pour vos réponses et éclaircissements.
Bien sûr, n'importe quelle remarque annexe est la bienvenue.

Bonne journée.
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[Jeanthon]

Salut,

Je dirais que ca vient de la relation de dispersion. En traçant E en fonction de k, tu obtiens une structure de bande comme tu l'as dis. En regardant ton graph E(k), tu constates (en gros) que lorsque k augmente, E augmente, puis diminue, puis augmente....
Or la vitesse de l'electron est lié au gradient de l’énergie, comme tu l'as aussi indiqué! Donc la vitesse oscille, c'est évident en regardant le graph de la dispersion.

Questions subsidiaires :

Je suis très mal placé pour répondre à ça, attend donc confirmation, mais voila mon opinion :

Dans un champ électrique constant, chaque electron voit effectivement sa vitesse osciller, mais à l'échelle à laquelle tu fais la mesure de courant, le collectif (milliards d’électrons) fait que ces oscillations sont "noyées", et tu mesures bien un flux continu de courant.

De plus dans un cristal ordinaire, donc contenant des impuretés, le libre parcours moyen d'un electron est extrêmement faible, et les oscillations ne sont pas mesurables. Je pense que l'electron n'a pas le temps d'osciller, il rencontre systématiquement une impureté en phase d’accélération. Il faut fabriquer un cristal extrêmement pur pour être capable de mesurer ces oscillations.

Voila

Encore une fois, c'est à prendre avec des pincettes, je ne suis pas expert.

[dolan-duck]

Salut,

Merci beaucoup pour ta réponse.

Donc, selon toi, c'est à cause de la relation de dispersion E(k).
C'est vrai que quand on regarde le graphe on a l'impression que E "oscille" en fonction de k, mais ce sont des "oscillations" formelles?
Je veux dire par là que c'est précisément parce ce graphe est périodique (avec a, le pas du cristal) que l'on a l'impression que E est une fonction oscillante de k.

En plus, le graphe de la relation de dispersion est périodique mais on se limite toujours à la première période, ie la première zone de Brillouin, vu que tout ce qui est en dehors de la PZB est une redite : on peut toujours ramener par translation du réseau réciproque toute étude dans la PZB, non?

Du coup, les oscillations de Bloch ne seraient pas des oscillations "physiques" (au sens ou il y a une réelle périodicité du mouvement), mais plutôt formelles car dus à la périodicité du réseau réciproque??

Enfin, pour finir avec les autres questions, si j'ai bien compris, le régime oscillatoire des électrons de Bloch, est brisé parce que ces derniers entrent en collision avec les impuretés (irrégularités du réseau? -> ce qui correspondrait à la non-vérification des conditions de diffraction de Bragg?).
En gros, on pourrait dire que la période d'oscillation T est supérieure à le temps de libre parcours moyen des électrons, non?

Si tu as des idées et des commentaires sur ce que je viens de baragouiner, je suis preneur!!
En tout cas, merci. Bonne journée.

[Jeanthon]

Salut,

Ta question m'a perturbé! J'ai repensé un peu à tout ca, je vais essayer de detailler un peu ce qui se passe.

Premiere chose, tu entends quoi par oscillation formelle? De mon point de vue, E est une fonction periodique de k et puis c'est tout! Que ce soit un sinus, ou autre, qu'importe!

Deuxieme chose, je vais essayer de détailler un peu ces histoires de vitesse, oscillation, champ.... Il pourrait y avoir des imprecisions (voir des erreurs?? )

Les oscillations de Bloch sont bien physiques!!

Pour commencer on considere le probleme sans champ electrique. On regarde la relation de dispersion, on constate bien que comme E est une fonction periodique de k, lorsqu'on cherche à augmenter le k d'un electron, sa vitesse va alterner : positive, négative, positive....
MAIS ce n'est pas une chose qui se produit spontanément : en l'abscence de champ, pourquoi cet electron verrait son impulsion grandir? La relation de dispersion te dit uniquement que la vitesse est une fonction périodique de k. Donc un electron ayant un k donné, va conserver la même vitesse indefiniment.

Mais alors qu'est ce que sont les oscillations de Block? Pour repondre à cette question, appliquons un champ electrique. Ta relation de dispersion va quelque peu changer, mais elle garde la périodicité. J'essairai ce soir de mettre ca en equation. Mais qualitativement, tu devrais observer que lorsque k augmente (ce qui arrive effectivement dans ce cas la, puisqu'un champ electrique est appliqué), la vitesse oscille nouveau mais le mouvement global n'est pas nul, il est selon la direction du champ. L'electron accelere, puis ralenti, puis accelere de nouveau...... Ce sont les oscillations de Bloch. Ca n'est pas des oscillations autour d'une position d'equilibre, mais des oscillations de la vitesse.

Une de tes questions portait le courant alternatif ou continu. Tu comprends bien que lorsque tu appliques un champ, des milliards d'electron se mettent en mouvement, et ces oscillations ne veulent plus rien dire. Tu mesures un flux d'electron point barre. Le courant est continu. Rien à voir avec un courant alternatif.

Au niveau des impuretés je ne sais pas ce que sont les conditions de Braggs, mais je pense que tu as raison en disant que la période d'oscillation est plus grande que le libre parcours moyen. En plus il me semble que les limites de la zones de Brillouins correspondent à des energies très grande, rarement atteintes (pas du tout sur de cette derniere affirmation).


Voila j'espere que ca va t'aider. En tout cas moi ca me remis les choses d'aplomb d'y repenser un peu

Sujet traité simplement dans :

Applications de la Mécanique Quantique
, De l’atome au solide
Claude ASLANGUL
11.3.1
Mouvement dans un champ électrique constant dans le temps

A telecharger gratuitement

[A voir en vidéo sur Futura]

[dolan-duck]

Salut,

Pour l'histoire des oscillations formelles, j'y ai repensé après coup et je me suis dit : "en fait, elle est stupide cette réflexion : E est une fonction périodique de k, alias oscillations -> point barre, pas besoin de chercher midi à 14h !".

Ensuite, j'ai lu le chapitre que tu m'as indiqué sur le pdf que tu m'as donné, il est très bien ce cours. Il m'a permis d'éclaircir pas mal de choses.
Et justement, dedans est traitée cette histoire de : "les comportements en t et k de la vitesse sont les mêmes".
Et donc, si j'ai bien compris :

1) Si je me place dans le cas d'un métal (c'est à dire qu'il y a des états inoccupés en bord de PZB), en appliquant un champ électrique, on augmente k selon la direction du champ.

2) En suivant la relation de dispersion E(k) (cf graphe), l'énergie de l'électron va jouer au yoyo : augmenter, diminuer, augmenter, diminuer, etc.

3) Or l'expression de la vitesse de groupe (cf #1) nous dit que k augmente lorsque t augmente (k fonction croissante de t), donc au final, la vitesse elle aussi joue au yoyo en fonction du temps : elle augmente, diminue, etc. Ce qui revient pour l'électron a accélérer, puis décélérer, etc -> l'électron fait donc des oscillations de Bloch!!

4) Par contre ces oscillations se font sur des échelles de temps et de distance qui sont très petites (libre parcours moyen) : elles sont noyées par le mouvement d'ensemble et le régime est brisé par les collisions avec les impuretés.

C'est bon? J'ai juste?

Enfin, ma question portait sur la nature des impuretés qui cassent le régime oscillatoire : ce sont des défauts cristallins? Irrégularités du réseau?

Et parce que tu as posé la question : les conditions de Bragg (il aurait plutôt fallu que je parle de condition de diffraction de Laue, en fait...), c'est une loi qu'on utilise en Cristallographie qui permet de dire à quelle condition (sur k) un rayonnement incident va pouvoir être diffracté par un cristal.

Voilà, en tout cas, tout ça m'a bien aidé pour comprendre et je te remercie.
Bonne journée.

[Jeanthon]

Salut, je reponds taaaard!

1) Si je me place dans le cas d'un métal (c'est à dire qu'il y a des états inoccupés en bord de PZB), en appliquant un champ électrique, on augmente k selon la direction du champ.

2) En suivant la relation de dispersion E(k) (cf graphe), l'énergie de l'électron va jouer au yoyo : augmenter, diminuer, augmenter, diminuer, etc.

3) Or l'expression de la vitesse de groupe (cf #1) nous dit que k augmente lorsque t augmente (k fonction croissante de t), donc au final, la vitesse elle aussi joue au yoyo en fonction du temps : elle augmente, diminue, etc. Ce qui revient pour l'électron a accélérer, puis décélérer, etc -> l'électron fait donc des oscillations de Bloch!!

4) Par contre ces oscillations se font sur des échelles de temps et de distance qui sont très petites (libre parcours moyen) : elles sont noyées par le mouvement d'ensemble et le régime est brisé par les collisions avec les impuretés.

Je crois bien que oui

Enfin, ma question portait sur la nature des impuretés qui cassent le régime oscillatoire : ce sont des défauts cristallins? Irrégularités du réseau?

Ou impuretes dans le sens de impureté . Des atomes, des molecules d'une autre sorte par exemple.

[Jeanthon]

Au fait je suis étonné que personne de plus éclairé n'est pris part à la discussion, le sujet est pourtant très classique il me semble.

[dolan-duck]

Salut Jeanthon,

Merci pour tes précisions.

C'est vrai que ça m'a aussi un peu étonné d'avoir si peu de réactions...
Certainement que le sujet du fil n'est pas aussi prenant qu'une discussion sur "le fameux boson"...
En tout cas j'ai appris quelques trucs et c'est ça que je retiens.

[Makalu]

Bonjour,

Après, mon cours me dit : "Comme les comportements en t et k de la vitesse sont les mêmes, la vitesse des e- reste bornée : ils effectuent des oscillations dites de Bloch".
Je ne comprend pas comment on tire ces renseignements de l'expression de la vitesse (certainement que la réponse doit être simple mais je "bloch")...
En plus, je m'attendrais à une expression en cos/sin de E pour des oscillations...?

Comme il a déjà été dit, la vitesse des électrons est une fonction périodique dans l'espace k. Cela vient du fait que les électrons peuvent réfléchis par les plans du réseau cristallin. La fonction d'onde d'un électron est donc la superposition d'une onde "incidente" et des différentes ondes réfléchies. En fonction du vecteur d'onde, la contribution des ondes réfléchies est plus ou moins importante. Pour certains vecteurs d'onde déterminés par la loi de Bragg-von Laue, les ondes réfléchies peuvent devenir aussi importantes que l'onde incidente de telle sorte que la vitesse des électrons s'annule selon certaines directions.

Puis, questions subsidiaires :
_ Est ce que cela signifie qu'il ne peut pas y avoir de courant continu aux bornes d'un cristal parfait (seulement un courant alternatif)?!
_ Dans ce cas pourquoi le cuivre, par exemple, peut il conduire un courant continu comme on le fait toujours dans n'importe quel dispositif électronique? Défauts cristallins? Phonons?

En principe, un courant continu peut générer un courant alternatif du fait des oscillations de Bloch. Mais en pratique les électrons subissent des collisions (avec les imperfections du cristal et les ondes de vibration) avant qu'ils n'aient pu être réfléchis. Ces collisions ne sont pas prises en compte dans le modèle de Bloch.

[Jeanthon]

La vitesse des électrons est une fonction périodique dans l'espace k. Cela vient du fait que les électrons peuvent réfléchis par les plans du réseau cristallin. La fonction d'onde d'un électron est donc la superposition d'une onde "incidente" et des différentes ondes réfléchies. En fonction du vecteur d'onde, la contribution des ondes réfléchies est plus ou moins importante. Pour certains vecteurs d'onde déterminés par la loi de Bragg-von Laue, les ondes réfléchies peuvent devenir aussi importantes que l'onde incidente de telle sorte que la vitesse des électrons s'annule selon certaines directions.

Bonjour,
Je ne savais pas! On s'est contentait de déterminer l'équation d'onde et d'en tirer les conclusions, sans mentionner la cause physique de telles oscillations. A quel moment le voit on? J'imagine que c'est dans la démonstration du théorème de Bloch mais je ne voit pas.

[Makalu]

Je ne savais pas! On s'est contentait de déterminer l'équation d'onde et d'en tirer les conclusions, sans mentionner la cause physique de telles oscillations. A quel moment le voit on? J'imagine que c'est dans la démonstration du théorème de Bloch mais je ne voit pas.

C'est malheureusement assez symptomatique de l'enseignement en France qui fait la part belle aux développements mathématiques en laissant de côté les concepts physiques. Le théorème de Bloch nous apprend que la fonction d'onde d'un électron plongé dans un potentiel périodique peut s'écrire sous la forme d'une onde plane dont l'amplitude est modulée par une fonction périodique



En utilisant la décomposition de Fourier de l'amplitude, nous pouvons réécrire la fonction d'onde comme une superposition d'ondes planes





étant un vecteur d'onde du réseau réciproque.

Les amplitudes de chacune des ondes planes sont déterminées par la solution de l'équation de Bloch et dépendent du potentiel périodique considéré.

Je te conseille de lire le livre de Ashcroft et Mermin.

[gatsu]

Salut,

Question idiote en passant : l'energie est une fonction périodique de k si on reste sur la même bande non ? Qua faudrait-il faire pour qu'un électron change de bande par l'application d'un champ électrique ?

[Makalu]

Question idiote en passant : l'energie est une fonction périodique de k si on reste sur la même bande non ?

Oui.

Qua faudrait-il faire pour qu'un électron change de bande par l'application d'un champ électrique ?

Des transitions interbandes sont possibles si l'amplitude du champ électrique et/ou sa fréquence sont suffisamment grandes. Mais dans ce cas, la description semi-classique en termes de paquets d'onde avec un vecteur d'onde dépendant du temps cesse d'être valable.

[dolan-duck]

Bonjour à tous,

Merci pour ces précisions Malaku.

Comme il a déjà été dit, la vitesse des électrons est une fonction périodique dans l'espace k. Cela vient du fait que les électrons peuvent réfléchis par les plans du réseau cristallin. La fonction d'onde d'un électron est donc la superposition d'une onde "incidente" et des différentes ondes réfléchies. En fonction du vecteur d'onde, la contribution des ondes réfléchies est plus ou moins importante. Pour certains vecteurs d'onde déterminés par la loi de Bragg-von Laue, les ondes réfléchies peuvent devenir aussi importantes que l'onde incidente de telle sorte que la vitesse des électrons s'annule selon certaines directions.

Cette remarque est très intéressante, merci.

C'est malheureusement assez symptomatique de l'enseignement en France qui fait la part belle aux développements mathématiques en laissant de côté les concepts physiques.

Comme vous le dites, nous, français, sommes très axés sur les calculs, moins sur le sens physique (il ne m'a pas fallu longtemps pour voir qu'un Feynman n'avait pas grand chose à voir avec un Ngô...).

Tant que j'y suis, autant en profiter, j'aurais d'autres questions :

Des transitions interbandes sont possibles si l'amplitude du champ électrique et/ou sa fréquence sont suffisamment grandes. Mais dans ce cas, la description semi-classique en termes de paquets d'onde avec un vecteur d'onde dépendant du temps cesse d'être valable.

J'avais pas forcément remarqué mais maintenant que vous le dites, je vois dans mon cours que tous les calculs qui ont été conduits ont été fait dans une seule bande n.
Cela voudrait dire que le modèle semi-classique ne permet de décrire que les métaux? Pourtant, le modèle semi-classique n'exclue en rien l'existence de la structure de bande pour le spectre énergétique de l'électron....?
Alors comment faire pour les semi-conducteurs? Est ce qu'il y a un effet physique, agissant sur le paquet d'onde par exemple, qui accompagne/traduit une transition interbande?

Enfin, si vous avez un cours de transport à me proposer qui permette de réfléchir un peu sur le côté physique de la chose (pas que sur les calculs comme le mien), je suis preneur.

Merci d'avance.

[gatsu]

Merci Makalu pour ta réponse. Du coup j'ai une autre question idiote en repassant...

Comme un solide est en gros une très très grosse molécule avec comme propriétés induites des bandes de spectre continu, est ce qu'il y a moyen d'interpréter l'effet d'un champ électrostatique comme un effet Stark ?

[Makalu]

Bonjour,

J'avais pas forcément remarqué mais maintenant que vous le dites, je vois dans mon cours que tous les calculs qui ont été conduits ont été fait dans une seule bande n.

Oui, le modèle semi-classique présuppose que les électrons restent toujours dans la même bande.

Cela voudrait dire que le modèle semi-classique ne permet de décrire que les métaux?

En fait, c'est plutôt le contraire Le modèle semi-classique ne s'applique pas à des électrons complètement libres puisque dans ce cas les électrons devraient être indéfiniment accélérés par le champ électrique au lieu de décrire des oscillations de Bloch.

Pourtant, le modèle semi-classique n'exclue en rien l'existence de la structure de bande pour le spectre énergétique de l'électron....? Alors comment faire pour les semi-conducteurs?

La validité du modèle semi-classique est d'autant meilleure que les bandes sont bien séparées les unes des autres puisqu'alors la probabilité qu'un électron saute dans la bande supérieure est très faible. Ce modèle est donc très bien adapté à la description des semi-conducteurs.

Est ce qu'il y a un effet physique, agissant sur le paquet d'onde par exemple, qui accompagne/traduit une transition interbande?

Il est possible de mettre en évidence ces transitions interbandes en étudiant par exemple les propriétés optiques. Les matériaux isolants et semi-conducteurs sont transparents aux ondes électromagnétiques dont la fréquence est inférieure à une certaine valeur . Pour que l'onde soit absorbée (matériaux opaques), il faut que son énergie soit supérieure à l'énergie du gap
: les électrons peuvent ainsi sauter de la bande de valence à la bande de conduction. Il est alors facile de voir que .

Enfin, si vous avez un cours de transport à me proposer qui permette de réfléchir un peu sur le côté physique de la chose (pas que sur les calculs comme le mien), je suis preneur.

Un des ouvrages classiques est le livre de Ashcroft et Mermin, "Solid State Physics" qui a été traduit en français et qu'on trouve généralement dans toutes les bibliothèques universitaires. Ce livre date un peu mais fournit une introduction très pédagogique au sujet.

[Makalu]

Oui, tout à fait. L'application d'un champ électrique sur un solide conduit à une décomposition des bandes électroniques tout comme dans le cas d'une seule molécule. Dans le contexte d'un solide, on parle d'effet Wannier-Stark. En fait, l'effet Stark "ordinaire" n'est qu'un cas particulier dans la limite où un matériau ne possède aucun électron libre (les électrons sont tous localisés dans les atomes ou molécules).

L'apparition d'une sous-structure des états électroniques est associée à la localisation des électrons. Ceci peut se comprendre avec le modèle semi-classique. En présence d'un champ électrique, les électrons décrivent des oscillations de Bloch: ils se déplacent dans une direction jusqu'à ce que leur vitesse s’annule puis rebroussent chemin et ainsi de suite. Autrement dit, les électrons ne sont plus délocalisés dans tout le solide mais n'occupent qu'une certaine région. Cette région est d'autant plus réduite que le champ est important.

[apap]

Ce lien donne des explications... meme si cela arrive un peu tard ... http://www.college-de-france.fr/site...6-14-09h30.htm