limite classique-quantique en phys. stat. votre opinion

[gatsu]

Bonjour à tous,

Je vous expose mon problème. J'enseigne dans des TD de physique statistique à des étudiants de niveau M1. Comme le cours est orienté pour un module ultérieur de matière molle, il n'y a pas physique statistique quantique. En fait un seul exercice aborde la validité d'une description classique en considérant un gaz parfait et en demandant simplement quand est ce que ce gaz ne se comporte plus classiquement.

La réponse attendue consiste à regarder quand le gaz peut il se comporter comme un gaz dégénéré i.e. en comparant la longueur thermique de de Broglie à la distance typique entre deux particules dans le gaz.

En essayant de trouver une explication physique (mais pas fausse pour autant) à ce critère, j'ai remarqué que ce n'était pas si simple que cela; ce critère étant a priori uniquement associé au caractère indiscernable des particules (il me semble), il n'aurait pas lieu d'être si les particules étaient discernables. J'ai fini par trouver une interprétation qui me satisfasse mais j'en cherche d'autres donc si vous en avez qui vous plaisent je suis tout ouïe.

Cette réflexion m'a également fait noté que le caractère fermionique ou bosonique d'une assemblée de particules indiscernables n'est qu'une facette d'un comportement quantique. En réalité, pour un système de particules indépendantes (pour faire simple), on pourrait aussi avoir une transition classique-quantique au niveau d'une seule particule : typiquement lorsque les fluctuations thermiques sont inférieures ou égales à l'écart typique entre deux raies du spectre d'énergie de la particule. Dans le cas d'un gaz parfait, cela apparait lorsque la longueur thermique de de Broglie est plus grande que la taille de la boite; on obtient alors une boite quantique (quantum dot).

J'essaie de rédiger une courte note à mes étudiants pour leur faire sentir ces deux manières d'être quantiques qui n'ont rien à voir l'une avec l'autre.

Au delà de vos idées d'interpretation physique, je vous demande votre opinion quant à l'utilité pédagogique d'une telle note. Je pense que c'est important mais j'aime beaucoup me compliquer la vie aussi, donc quelle est votre opinion sur le sujet ?

Merci d'avance

Gatsu
-----

[gatsu]

Je me permets un petit up au ca soù certains ne l'aurait pas vu...

[Nicophil]

Bonjour,

Cette réflexion m'a également fait noté que le caractère fermionique ou bosonique d'une assemblée de particules indiscernables n'est qu'une facette d'un comportement quantique. En réalité, pour un système de particules indépendantes (pour faire simple), on pourrait aussi avoir une transition classique-quantique au niveau d'une seule particule

J'essaie de rédiger une courte note à mes étudiants pour leur faire sentir ces deux manières d'être quantiques qui n'ont rien à voir l'une avec l'autre.

Peux-tu redire brièvement lesquelles ce sont ?

[Deedee81]

Salut,

Gatsu, (ces explications peuvent peut-être aussi répondre à Nicophil)

La limite statistique je connais est celle où le nombre d'états occupés devient énorme. Dans ce cas, les distributions fermioniques ou bosoniques tendent toutes les deux vers une distribution dite "Maxwell corrigée" si je me souviens bien du nom. Elle correspond à des particules non discernables mais sans caractère bosonique ou fermionique (pour des raisons évidentes, il y a tellement d'états que peu importe qu'il y ait exclusion ou pas, par exemple). Elle ne conduit (par rapport à Maxwell) qu'à des différences constantes pour certaines grandeurs. Donc, grosso modo, elle donne bien une distribution classique.

Je ne sais pas trop comment faire le lien avec l'explication sur la longueur d'onde de de Broglie. Hum.... peut-être comme pour le caractère classique d'une particule enfermée dans une boite quantique (nombre d'états énormes lorsque la longueur d'onde est très petite par rapport aux dimensions de la boite).

Je ne sais pas trop si cela apporte quelque chose d'autre ou si çà correspond à ce que tu avais en main.

Pour ce qui est du cours, je pense qu'il faut rester léger et général si ces étudiants n'ont pas besoin de la MQ dans leur formation. Sinon les pauvres vont faire une indigestion. Par contre, dire en quelques phrases (ou quelques dizaines ) pourquoi, physiquement, l'approximation classique est bonne me semble en effet une bonne idée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gatsu]

Salut,

Gatsu, (ces explications peuvent peut-être aussi répondre à Nicophil)

La limite statistique je connais est celle où le nombre d'états occupés devient énorme. Dans ce cas, les distributions fermioniques ou bosoniques tendent toutes les deux vers une distribution dite "Maxwell corrigée" si je me souviens bien du nom. Elle correspond à des particules non discernables mais sans caractère bosonique ou fermionique (pour des raisons évidentes, il y a tellement d'états que peu importe qu'il y ait exclusion ou pas, par exemple). Elle ne conduit (par rapport à Maxwell) qu'à des différences constantes pour certaines grandeurs. Donc, grosso modo, elle donne bien une distribution classique.

Je ne sais pas trop comment faire le lien avec l'explication sur la longueur d'onde de de Broglie. Hum.... peut-être comme pour le caractère classique d'une particule enfermée dans une boite quantique (nombre d'états énormes lorsque la longueur d'onde est très petite par rapport aux dimensions de la boite).

salut deedee. Merci pour cette contribution.
En effet pour ce qui est des particules indiscernables, c'est une façon (la seule ?) de l'interpréter. Pour faire intervenir la longueur de de Broglie je pensais au départ essayer de partir sur un raisonnement du type "comment se fait il que le principe de Pauli n'est pas important pour les électrons d'atomes séparés de plusieurs kilomètres par exemple ?" La réponse, il me semble, fait intervenir l'overlap des fonctions d'ondes des électrons correspondants et évidemment cet overlap est ridicule si les atomes sont séparés de plusieurs kilomètres. Le problème avec un gaz parfait dans une boite est que les fonctions d'ondes stationnaires (des particules) sont des ondes planes et que la fonction d'overlap est un delta de dirac sur la difference des impulsions. Si tu as une idée pour faire intervenir un raisonnement type recouvrement de fonction d'ondes je suis tout ouï. Le seul raisonnement que j'ai pu trouver en réfléchissant un peu fait intervenir l'argument que tu mets en avant i.e.

- si chaque particule se comporte de façon classique alors le nombre d'états qui leur est accessible est donné par leur fonction de partition individuelle qui est simplement z=V/Lambda^3 (où z est la fonctin de partition indivduelle, V le volume de la boite et Lambda la longueur thermique de de Broglie)

- imaginons maintenant que N particules soient das la boite et occupent chacun un état microscopique différent : quelle est la probabilité P(overlap) pour que, si j'ajoute une autre particule, elle soit dans le même état qu'une des particules déjà présente ?

- La réponse est simplement le ratio du nombre d'états occupés par le nombre d'états qui lui sont a priori accessible et on trouve P(overlap) = N/z = NLambda^3/V. Dire que les overlaps ne contribuent pas à la statistique dans le système revient à dire que P(overlap) est très petit devant l'unité i.e. que Lambda << (N/V)^{-1/3}, qui est le critère recherché...

Note que le raisonnement suivant imagine que chaque particule prise individuellement se comporte de façon classique, c'est pour ça que le raisonnement est juste. Ce raisonnement est typiquement juste tant que la longueur d'onde de de Broglie est petite devant la taille de la boite i.e. tant que l'espace des états est "dense". Cela souligne l'importance des deux types de limite que je veux mettre en avant.

Une façon de voir cette limite classique individuelle consiste à dire que les statistiques quantiques associées au statut d'opérateur du hamiltonien dans la fonction de partition sont "brouillées" par les statistiques classiques. Une façon de l'écrire est de recquerir que le produit de les dispersions statistiques d'origine thermique pour l'impulsion Dp et la position Dx satisfassent DpDx >> h. Dans le cas de la limite classique, Dx ~ V^{1/3} et Dp ~ (mk_B T)^{1/2} et on trouve alors
Lambda << (2pi)^{1/2} V^{1/3}, qui comme de par hasard correspond au critère qui permet d'approximer la somme discrète sur les niveaux d'énergie en intégrale lorsqu'on fait le calcul complet.

Note qu'on pourrait utiliser la saturation des inégalités de Heisenberg pour demander "sachant que la dispersion en impulsion est ce qu'elle est, quelle est la plus petite incertitude que je puisse avoir sur la position ?" on trouverait alors que c'est la longueur de de Broglie...je ne sais pas si un tel argument est suffisant pour ensuite parler de recouvrement de paquets d'ondes cela dit.

Pour ce qui est du cours, je pense qu'il faut rester léger et général si ces étudiants n'ont pas besoin de la MQ dans leur formation. Sinon les pauvres vont faire une indigestion. Par contre, dire en quelques phrases (ou quelques dizaines ) pourquoi, physiquement, l'approximation classique est bonne me semble en effet une bonne idée.

Les étudiants en question sont des chimistes de Cambridge et à vrai dire ils connaissent ou bien vont connaitre plus de trucs que moi en mécanique quantique.

[Deedee81]

Pour les inégalités de Heisenberg, c'est équivalent en effet à l'argument sur l'overlap et la longueur d'onde de de Broglie. C'est évidemment un argument qualitatif.

Note que si l'overlap n'est pas complet, alors c'est que les particules ont des états quantiques différents. Donc, pas d'exclusion de Pauli. Je ne suis donc pas sûr que ça intervienne pour ce critère. Par contre, pour le caractère discernable, ça intervient. Si deux fonctions d'onde sont nettement séparée, alors les particules sont discernables. Sinon leur caractère indiscernable influe sur les propriétés. Ca me semble donc un très bon argument.

Rien à redire sur le reste.

Je suis aussi en train de me demander s'il n'existe pas un bon bouquin sur cette limite quantique - classique. Ca doit exister. Mais après quelque recherche, je n'ai rien trouvé de probant. J'ai bien vu quelques bouquins intéressant sur la décohérence, mais je ne crois pas que ça joue un rôle important ici (les particules d'un gaz ne sont pas vraiment des objets macroscopiques ).

Les étudiants en question sont des chimistes de Cambridge et à vrai dire ils connaissent ou bien vont connaitre plus de trucs que moi en mécanique quantique.

Ah d'accord, pardon, j'avais mal compris

[gatsu]

Pour les inégalités de Heisenberg, c'est équivalent en effet à l'argument sur l'overlap et la longueur d'onde de de Broglie. C'est évidemment un argument qualitatif.

Ce n'est peut être pas clair mais je fais mention des inégalités de Heisenberg pour deux limites quantiques differentes dans mon message précédent. On est sur la même longueur d'onde là dessus ?(c'est le cas de le dire).

Note que si l'overlap n'est pas complet, alors c'est que les particules ont des états quantiques différents.

Oui et ? Le principe d'antisymétrisation est moins stricte que cela je crois. Je ne crois pas qu'on passe statistiquement d'un extrème à l'autre en général. Rien que pour la normalisation d'un état antisymétrique du type

Psi = C(|Psi1,Psi2>-|Psi2,Psi1>)

l'overlap <Psi1|Psi2> des deux fonctions d'ondes localisées intervient comme un terme d'interférence qui s'annule à longues distance. Pour prendre une terminologie de l'interférence classique, la cohérence spatiale est nulle et il n'y a pas "d'interférence".

Donc, pas d'exclusion de Pauli. Je ne suis donc pas sûr que ça intervienne pour ce critère. Par contre, pour le caractère discernable, ça intervient. Si deux fonctions d'onde sont nettement séparée, alors les particules sont discernables. Sinon leur caractère indiscernable influe sur les propriétés. Ca me semble donc un très bon argument.

Je suis un peu confus sur le principe de Pauli et le principe d'antisymmétrisation. Cela me rappelle que la distribution de Fermi-Dirac ne tient pas compte des interactions d'échange responsables entre autre du magnétisme dans les ferros. Le critère basé sur l'overlap est en effet plus riche dans le sens où il permet de se rappeler que le principe d'antisymétrisation est un peu plus que le principe de Pauli.

Il y aurait trois limites classique-quantique phénoménologiquement distinctes en fait...la troisième étant lorsque les termes d'échange modifie le spectre d'energie du système

[/QUOTE]

[gatsu]

Pour en revenir à la limite quantique associée au statut (quantique) d'opérateur du hamiltonien dans la fonction de partition, en relisant un article d'un auteur dont j'apprécie énormément les travaux (Angel Alastuey pour ne pas le nommer), je suis tombé sur la formule de Feynman-Kac pour le terme suivant :



où est la longueur d'onde thermique de de Broglie, une variable adimensionnée et un pont brownien "tiré" selon la mesure unitaire de Wiener .

L'interprétation de la formule ci dessus est que si on s'intéresse à la position d'une particule quantique alors on peut la représenter comme un objet centré en et qui a une extension typique . C'est donc une façon d'obtenir cette représentation type paquets d'ondes que je recherchais et en plus l'expression est exacte.

La fonction de partition s'écrit alors comme



La limite classique est facilement vérifiable dans le cas d'un potentiel harmonique. En effet dans ce cas, un développement limité du potentiel donne :



Comme la comparaison entre les differents ordre fait intervenir explictement , on peut regarder ce qu'il se passe pour un point "typique" et pour la distance maximale qui est la taille de la boite :

- En prenant tout d'abord une extension de la taille de la boite, on trouve que le premier ordre est négligeable (et les ordres supérieurs également) si quels que soient la constante de raideur du ressort (dans ce contexte, on pourrait voir une particule libre comme une particule attachée à un ressort de raideur très petite)

- En prenant un point typique, il faut juste comparer le second ordre avec l'ordre zero ce qui donne comparer (rigoureusement il faut en fait développer l'exponentielle, factoriser par les termes qui dépendent du chemin brownien et remarquer que les coefficients qui dépendent de x, une fois intégrés sont les moments de la distribution. Pour un oscillateur harmonique la force moyenne étant nulle, seul le deuxième terme compte.)

avec

"Typique" veut dire que et donc on a :



EDIT: au cas où ce ne serait pas clair dès le départ la limite classique correspond à négliger les contributions provenant des ponts browniens en argument du potentiel et on obtient alors la fonction de partition semi-classique :

[gatsu]

Bon j'ai finalement réussi à écrire un truc relativement court et dont je suis satisfait. Votre opinion est comme d'habitude la bienvenue. Le document peut se trouver en cliquant ici .

Maintenant, je trouve que les exemples manquent dans les differentes sections...je souhaiterais étendre par exemple certains raisonnement à des particules relativistes par exemple.
En particulier, je me demandais si traiter un corps noir comme une boite dans laquelle il y a un gaz parfait de particules purement relativistes i.e. E=pc mais ne respectant pas la statistique de Bose me conduirait à la loi de Rayleigh-Jeans et éventuellement à la loi de Wien. Est ce que quelqu'un a une opinion sur la question ?

[Deedee81]

Salut,

Excuse-moi, j'avais quelque peu perdu le fil (c'est le cas de le dire ).

Pas de remarque particulière (mais c'est du lourd ton truc, mais ça m'a l'air excellent).

En particulier, je me demandais si traiter un corps noir comme une boite dans laquelle il y a un gaz parfait de particules purement relativistes i.e. E=pc mais ne respectant pas la statistique de Bose me conduirait à la loi de Rayleigh-Jeans et éventuellement à la loi de Wien. Est ce que quelqu'un a une opinion sur la question ?

J'ai quelque doute. Peut-être en première approximation pour RJ. C'est à essayer.

J'avais vu un tel calcul, dans la loi de Planck sur la luminance, on a + 1, au lieu de -1, pour les fermions, et rien pour la statistique de Maxwell-Boltzman corrigée, c'est-à-dire la loi de Wienn. Mais je n'ai pas mes bouquins sous la main et je me méfie de ma mémoire. Donc à vérifier/essayer.

[obi76]

Je suis en train de me demander si ça ne vaudrait pas le coup, comme en maths, de faire une étiquette avec les contributions telles que celles-ci...

[Armen92]

Bonsoir,
L'importance de la longueur d'onde thermique peut aussi se voir en recherchant les corrections quantiques à la fonction de partition d'un gaz parfait.
La première d'entre elles est proportionnelle à , étant la densité (moyenne). Le même calcul fait ressortir un potentiel effectif (dépendant de la température) qui est attractif pour les bosons, répulsif pour les fermions.
Je ne connais pas les corrections d'ordre de supérieur, et sais encore moins si la série est convergente, asymptotique, etc.

[gatsu]

J'ai quelque doute. Peut-être en première approximation pour RJ. C'est à essayer.

J'avais vu un tel calcul, dans la loi de Planck sur la luminance, on a + 1, au lieu de -1, pour les fermions, et rien pour la statistique de Maxwell-Boltzman corrigée, c'est-à-dire la loi de Wienn. Mais je n'ai pas mes bouquins sous la main et je me méfie de ma mémoire. Donc à vérifier/essayer.

En fait je trouve les dérivations de Rayleigh-Jeans que j'ai pu trouver un peu louches...

Si j'imagine un gaz de particules libres avec une énergie cinétique avec alors, la première limite dont je parle donne :

ce qui est équivalent à
cela signifie que les fluctuations thermiques sont beaucoup plus grande que l'écart typique entre deux niveaux d'énergie voisins. L'idée est donc dans cette première limite, qu'on peut remplacer un spectre discret par un spectre continu, ce qui rentre bien dans les hypothèses du corps noir (un exemple physique où cela n'a pas lieu est lorsque la taille de la boite est tellement petite qu'on ne peut négliger le caractère discret des états et c'est ce qui conduit à l'interaction de Casimir entre deux plaques très rapporchées).

La première limite étant supposée vérifiée, j'ai donc un continuum d'états. La densité d'états est telle que


En intégrant et en faisant les changements de variable qui vont bien j'obtiens que la propension d'un photon à avoir une énergie est

Ce qui est le départ pour obtenir Rayleigh-Jeans. A partir de là je suis un peu troublé...il semblerait que le raisonnement d'origine soit un peu avec les mains et qu'ils en déduiraient la luminance simplement en multipliant par .

Pour ce qui est de la loi de Wien, il me semble qu'on peut l'obtenir en regardant réellement qu'elle est la densité d'energie dans le système i.e


Si on applique ça à l'équation précédente on trouve :


qui est la loi de Wien...

De façon intéressante cela dit, je rencontre un problème lorsque je veux calculer le critère de ma deuxième limite...
En effet normalement je dois comparer en gros le nombre de particules dans la boite avec la fonction de partition à une particule .

Dans le cas d'une particule relativiste on trouve



Fair enough, mais le problèe est que je ne connais pas le nombre de particules dans la boite puisqu'il peut être quelconque (à cause du potentiel chimique nul des photons). Qu'à cela ne tienne je passe donc dans l'ensemble grand canonique pour calculer le nombre moyen de photons dans la boite.

Je calcule donc d'abord :



L'expression est donc très simple, je continue donc, la moyenne du nombre de particules dans la boite est :



De façon surprenante, on trouve donc que le nombre moyen de photons dans la boite est lui même et donc en principe je ne peux pas me permettre d'ignorer le caractère bosonique des particules comme je l'ai fait plus tot.

L'ironie veut pourtant que les deux régimes limites de Rayleigh-Jeans et Wien puissent être retrouver sans utiliser de statistique bosonique et ça ça reste un mystère pour moi.