forme des fonctions d'onde

[maxwellien]

Bonjour, j'aimerai connaitre les différentes formes de fonctions d'onde qu'on peut rencontrer en quantique, ce sont pas toutes des gaussiennes si?
Merci.
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Les fonctions d'ondes appartiennent à ce qui s'appelle un espace de Hilbert* qui est, en très gros, l'espace vectoriel des fonctions qui sont carré-intégrables (l'intégrale sur le domaine considéré de la fonction carrée est finie).
Cet espace vectoriel (comme tout espace vectoriel) admet des bases, comme les fonctions polynomiales (si le domaine considéré est fini). Il se peut que les fonctions gaussiennes constituent aussi une base pour certains domaines (à vérifier).

*En tout cas pour les états liés. Si mes souvenirs sont bons, il faut considérer l'espace des distributions pour inclure les états libres.

[albanxiii]

Bonjour,

Les gaussiennes ne sont absolument pas la généralité. C'est un cas particulier pratique (on sait faire les calculs), qui a la propriété de vérifier l'égalité dans l'inégalité de Heisenberg sur position et impulsion.
Regardez les orbitales atomiques par exemple : http://www.chm.davidson.edu/vce/atom...als/plots.html

@+

[Amanuensis]

Bonjour, j'aimerai connaitre les différentes formes de fonctions d'onde qu'on peut rencontrer en quantique, ce sont pas toutes des gaussiennes si?

Il me semble qu'il y a un a priori gênant derrière la question: la fonction d'onde est une fonction à valeurs complexes, pas réelles. Rien que cela aurait dû indiquer que cela ne peut pas se limiter à des gaussiennes.

Même dans le cas des orbitales atomiques, la visualisation est essentiellement celles de valeurs réelles (comme des probabilités de présence), mais la phase importe. Sur un site comme http://www.orbitals.com/orb/index.html, les couleurs fournissent une information sur la phase.

(Je n'ai pas regardé ce qu'il en est pour le site indiqué précédemment, je ne charge pas java. Mais j'imagine que c'est pareil.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Bonjour, j'aimerai connaitre les différentes formes de fonctions d'onde qu'on peut rencontrer en quantique, ce sont pas toutes des gaussiennes si?
Merci.

Bah c'est jamais des gaussiennes en fait
Pour les orbitales atomiques, ce sont des fonctions radiales qui décroissent en exp(-r) (pas en exp(-r^2)) fois des harmoniques sphériques. Ces fonctions radiales ne sont pas analytiques sauf pour l'atome d'hydrogéne.

[Deedee81]

Bah c'est jamais des gaussiennes en fait

Si, si, ça arrive qu'on en utilise (pour l'amplitude en fait, on aurait dû tous réagir concernant la phase !)

Dans le livre de Leonard L. Schiff, ils montrent effectivement qu'un paquet d'ondes gaussien respecte l'égalité des relations d'incertitudes (avec une définition appropriée, statistique, du symbole Delta de ces relations). Ils montrent aussi comment un tel paquet s'étale au cours du temps. Et montre de fait qu'une telle modélisation n'est pas bonne pour des orbitales (le paquet s'étale et en une fraction de seconde on est extrêmement proche de la forme stationnaire). Sauf pour des atomes de Rydberg (où on retrouve même l'approximation classique, avec rayonnement de l'électron qui "chute" vers le noyau, mais là je ne sais plus où j'ai lu le calcul, ce n'était pas dans Schiff).

[Armen92]

Bonjour,
Les fonctions propres (avec lesquelles on peut construire une fonction d'onde) sont d'une immense variété : pour l'oscillateur harmonique, ce sont des gaussiennes avec une amplitude donnée par un polynôme de Hermite, pour l'atome d'hydrogène, ce sont (pour les états liés) de simples exponentielles réelles que multiplie un polynôme associé de Laguerre, pour le puits carré à trois dimensions on obtient des fonctions de Bessel, etc, etc.
De surcroît, comme le rappelle Amanuensis, toutes ces fonctions peuvent être à valeurs complexes (sans les nombres complexes, pas de théorie quantique !). Dès lors, de quoi parle-t-on ? Du module de ces fonctions ? Et la phase, essentielle pourtant !

[maxwellien]

Les gaussiennes ne sont absolument pas la généralité. C'est un cas particulier pratique (on sait faire les calculs), qui a la propriété de vérifier l'égalité dans l'inégalité de Heisenberg sur position et impulsion.

C'est l'importance de l'acuité de la gaussienne qui va localiser plus ou moins la particule et donner ou non de l'incertitude à p et réciproquement.
Bien sur quand je parle de la forme des fonctions d'onde je parle de la forme des densitèes de probabilitées.
Il y a donc pas de solutions générales pourtant elles sont issues de solutions d'une équation différentielle?

[coussin]

Dans l'équation différentielle, y a le potentiel V(r). Tout dépend de ce terme pour que les solutions soient analytiques ou pas. Je parle des solutions de l'équation de Schroedinger. Si on parle de paquets d'onde (j'ai toujours pas compris si on parle d'orbitales ou de paquet d'onde ici...), on peut théoriquement prendre n'importe quoi comme enveloppe mais effectivement, c'est chercher les ennuis que de prendre autre chose qu'une gaussienne.

[Deedee81]

Salut,

(j'ai toujours pas compris si on parle d'orbitales ou de paquet d'onde ici...),

De fonctions d'onde, en général, et puisque l'on parle de forme gaussienne, on parle forcément de paquets d'ondes gaussiens. D'ailleurs maxwellien parle dans son dernier message de "localiser".

Il y a donc pas de solutions générales pourtant elles sont issues de solutions d'une équation différentielle?

Comme le dit coussin, tout dépend du potentiel. Selon les situations physiques, il y a un potentiel donné et donc une équation donnée.

On ne sait pas résoudre l'équation de Schrödinger en général (même si on sait en tirer beaucoup de choses). Les cas solubles analytiquement sont rares (mais précieux : potentiel coulombien, puits carré à 1, 2 ou 3D, barrière de potentiel, oscillateur harmonique, et quelques cas avec variation dans le temps). Il existe une tonne de méthode d'approximations (champ moyen, Born, méthode des variations, méthode des perturbations, ...)

Dans le cas paquet d'onde, comme le dit coussin, vaut mieux prendre le plus simple (et encore très réaliste) : le paquet gaussien.

Et encore, même comme ça, ça peut être dur. Dans le livre de Schiff il montre le résultat de la rencontre d'un tel paquet d'ondes avec une barrière de potentiel carrée à une dimension. C'est fort intéressant. Mais même dans ce cas qui semble particulièrement élémentaire, l'équation n'est pas soluble analytiquement. Il faut un calcul numérique sur une grosse bécane.