Tunnel percé sur un diamètre de la Terre.

[invite2ec0a62b]

Bonsoir tout le monde,
l'énoncé d'un exo est le suivant :
on imagine que l'on perce un tunnel le long d'un diamètre de la Terre. A l'une des extrémités du tunnel on abandonne sans vitesse initiale un objet de masse m assimilé à un point ponctuel. On néglige toute force autre que la force gravitationnelle terrestre et on suppose que le référentiel terrestre est galiléen.

1- Etablir l'équation différentielle du mouvement, préciser la nature du mouvement, exprimer sa période T, calculer l'ordre de grandeur de T, et commenter cette valeur.
Je trouve une éq diff harmonique : avec . J'ignore ce qu'on attend comme commentaire. Je trouve à peu près T=1h25min.
2-La propriété précédente peut-elle donner lieu à une application pratique ? Laquelle ?
Alors là, je n'y vois que du feu !
Merci de poster un message .
Cordialement.
-----

[invitecaafce96]

Bonsoir,
Mais quelle hypothèse faites vous pour g en allant vers le centre de la Terre ?

[Amanuensis]

C'est en clair dans l'équation: -w²x, et la valeur de w² est indiquée.

Mais la question est peut-être comme cela a-t-il été justifié ?

[albanxiii]

Bonjour,

edit : lire le ps en premier....


C'est un exercice que j'ai traité dans un autre cadre il y a quelques temps. Je trouve comme vous pour l'expression de la pulsation avec l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre (avec les approximatons habituelles qui permette d'écrire ceci). Je trouve également comme vous pour la période. Sauf que la demi-période est plus parlante puisque c'est le temps mis pour faire un aller ou un retour.

On remarque au passage que cette période est indépendante de la longueur du tunnel ! Et que la vitesse maximal (à mi-parcours) est de 5,45 km/s = 19640 m/s !!!

Si on prend les coordonnées (latitude et longitude) de Paris (48,52° N, 2,2° E) et Tokyo (35,42° N, 139;46° E), on peut calculer la longueur du tunnel et la profondeur à laquelle il doit descendre à l'intérieur de la Terre. On trouve 1761 km. Il doit faire assez chaud à cette profondeur.

En espérant vous apporter quelques éléments pour avancer.

@+

ps : je me rend compte que vous ne parliez que d'un tunnel percé selon un diamètre, alors que moi je parle d'un tunnel percé entre deux points de la surface, peu importe leur position relative : on ne passe pas forcément par un diamètre. Ce qui est "marrant" c'est que la pulsation est la même dans tous les cas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecaafce96]

Re,
Mais dites moi, les amis, à la première oscillation, dans le cas du diamétre, on dépasse de combien le centre de la Terre ?
Voulez vous bien me détailler l'application numérique ? Merci à vous .

[albanxiii]

Bonjour catmandou,

Si on ne tient pas compte des frottements, et pertes en général, on a un mouvement qui est celui d'un oscillateur harmonique. Si on démarre sans vitesse, on arrive à l'autre bout avec une vitesse qui s'annule et on passe par le centre avec une vitesse maximale. Mais je ne suis pas sur de comprendre votre question en la relisant....

@+

[invitecaafce96]

Re,
J'ai compris mon erreur grâce à votre réponse : je pensais que l'objet allait finir par s'arrêter au centre de la Terre ( oscillations amorties ), mais pour cela, il faut prendre en compte frottements et pertes diverses .

[invite625ce2f4]

Bonjour ALbanxiii,

Vous dîtes qu'une fois au centre de la Terre C l'objet lâché avec une vitesse nul et une vitesse maximale arrivé en C, celui-ci continuerai sa route toute en décélérant jusqu'à l'autre bout du tunnel jusqu'à annuler à nouveau sa vitesse et revenir en arrière ainsi de suite et ne jamais s'arrêter?

Antoine

[invite6dffde4c]

Bonjour ALbanxiii,

Vous dîtes qu'une fois au centre de la Terre C l'objet lâché avec une vitesse nul et une vitesse maximale arrivé en C, celui-ci continuerai sa route toute en décélérant jusqu'à l'autre bout du tunnel jusqu'à annuler à nouveau sa vitesse et revenir en arrière ainsi de suite et ne jamais s'arrêter?

Antoine

Bonjour.
Oui. S'il n'y a pas de frottements.
(Mais une fois qu'on a fait un trou qui traverse la terre, on peut ignorer les frottements ! On n'est plus à ces détails près !)
Au revoir.

[inviteb6b93040]

On remarque au passage que cette période est indépendante de la longueur du tunnel ! Et que la vitesse maximal (à mi-parcours) est de 5,45 km/s = 19640 m/s !!!

Si on prend les coordonnées (latitude et longitude) de Paris (48,52° N, 2,2° E) et Tokyo (35,42° N, 139;46° E), on peut calculer la longueur du tunnel et la profondeur à laquelle il doit descendre à l'intérieur de la Terre. On trouve 1761 km. Il doit faire assez chaud à cette profondeur.

En espérant vous apporter quelques éléments pour avancer.

@+

ps : je me rend compte que vous ne parliez que d'un tunnel percé selon un diamètre, alors que moi je parle d'un tunnel percé entre deux points de la surface, peu importe leur position relative : on ne passe pas forcément par un diamètre. Ce qui est "marrant" c'est que la pulsation est la même dans tous les cas.

Bonjour,

Vous avez donné l'application pratique
Ce qui veux dire qu'un tunnel rectiligne sous vide ne consommerait pas d'énergie pour faire voyager des capsules de Paris à Tokyo (9714.482 km à vol d'oiseaux) à 5,45 km/s au maximum à mis parcours avec freinage automatique à l’arrivé et 1g maxi ?
ça fait le voyage en combien de temps ?

[invite625ce2f4]

Bonjour.
Oui. S'il n'y a pas de frottements.
(Mais une fois qu'on a fait un trou qui traverse la terre, on peut ignorer les frottements ! On n'est plus à ces détails près !)
Au revoir.

Re,
C'est vrai qu'une fois qu'on a un trou qui traverse la terre il ne dois plus y avoir grand chose qui soit gênant !
Au revoir.

[invitecaafce96]

Re,
Pourquoi vous moquez vous de cet énoncé virtuel ?
Au contraire, je le trouve très didactique ....

[stefjm]

Le fait que la terre tourne un peu perturbe sans doute un peu la trajectoire dans le tunnel.

[albanxiii]

Re-bonjour,

ça fait le voyage en combien de temps ?

Sknbernoussi a donné le temps d'aller-retour dans le tout premier message du fil.
De mon côté, j'avais trouvé 43 minutes pour l'aller.

Ce qui est remarquable, mais qui s'explique sans mystère, c'est que ce temps est le même quels que soient les deux points de la surface de la Terre qu'on relie par un tunel rectiligne. Donc, que l'on passe par le centre de la Terre ou pas.

Ceci résulte de la modélisation qu'on a fait, et de l'expression du champ de gravité dans la Terre (il est linéaire en r = distance au centre de la Terre). Cela conduit à l'équation du mouvement d'un oscillateur harmonique. Donc, la période est la même, quelle que soit l'amplitude.

Bien sur, c'est un modèle simplifié, mais en général on commence toujours par du simple et on rajoute des détails si besoin. Ici, pas besoin, personne ne pourrait survivre à un tel voyage....

@+

[invite937a1923]

Bonjours,

Ils en parlaient dans le documentaire L'Univers et ses mystères, et 43 minutes (42 minutes dans le documentaires) est la bonne réponse. Ils l'appellent le Gravity express. http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_train (Ici, 42,2 minutes ou 2530,30 secondes).

[albanxiii]

Re,

Cela ne sert pas à grand chose de donner une précision trop importante sur les valeurs trouvées (je trouve 2532 secondes, soit 42 minutes et 12 secondes, ce qui n'a guère de sens... enfin, les 12 secondes) compte tenu des approximations faites. La Terre n'est pas ronde, et la valeur de utilisée est plus ou moins arbitraire.

Par contre, l'ordre de grandeur est intéressant tout comme le fait que cette durée de traversée est la même pour tout couple de points à la surface de la Terre.

@+

[Amanuensis]

Notons que c'est la demi-période de l'orbite circulaire rasant la surface...

[invitecaafce96]

Bonjour,
Je commence à creuser le tunnel demain . Mais, l'antipode de mon jardin tombe au large de la Nouvelle Zélande .
Que va t il se passer avec l'eau de l'Océan Pacifique une fois mon tunnel terminé et bien étanche ???

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Une fois l'équilibre atteint, vous aurez un puits d'eau salé dont le niveau sera celui de la mer de ce côté de la terre.
Au revoir.

[invitecaafce96]

Bonjour,
Merci. Et donc, la pression hydrostatique au centre du tunnel sera bien 2 fois Rho.g.r/2 ?

[invite6dffde4c]

Bonjour,
Merci. Et donc, la pression hydrostatique au centre du tunnel sera bien 2 fois Rho.g.r/2 ?

Bonjour.
Non. Elle serait (en gros) une seule fois rhô.R/2.g.
En prenant la densité constante (ce qui est loin d'être le cas pour des pressions aussi élevées).
À ces pressions la densité de l'eau serait 30 fois plus élevée qu'à la surface.
Donc, il faudrait faire le calcul pour un fluide compressible, comme pour la pression atmosphérique.
Au revoir.

[invitecaafce96]

Re,
Oublions les problèmes de fluide compressible, ce que je ne comprends pas , c'est pourquoi UNE seule fois rhô.g.R/2 ? Alors qu'il y a 2 colonnes d'eau en opposition ?

[invite6dffde4c]

Re.
Imaginez que vous séparez les deux colonnes au centre par une paroi. S'il y a une seule colonne, elle subira une force P.S. Avec la colonne de l'autre côté, la force sera équilibrée par une autre de même valeur. Et la pression de chaque côté sera P. Et vous pourrez ouvrir un trou dans la paroi sans que rien ne se passe.
A+

[invitecaafce96]

Re,
Merci, c'est bon; En fait, c'est comme au fond d'un tube en U .

[danyvio]

De mon côté, j'avais trouvé 43 minutes pour l'aller.

Ce qui est remarquable, mais qui s'explique sans mystère, c'est que ce temps est le même quels que soient les deux points de la surface de la Terre qu'on relie par un tunel rectiligne. Donc, que l'on passe par le centre de la Terre ou pas.

Les Parisiens qui se cognent le RER tous les matins aimeraient bien un tel tunnel En parler à la RATP !

[invite4f5c1664]

En réalité, en procédant à une intégration de la force gravitationnelle sur un volume différentiel terrestre, on obtiens la constante w=3*G*Mt/(Rt^3), et ainsi on trouve non plus 1h45, mais 42min, ce qui correspond aux valeurs courrament trouvés dans les corrections et la littérature scientifique.