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La transformée de Fourier pour les nuls

  1. #1
    Wenneguen

    La transformée de Fourier pour les nuls

    Bonjour,

    j'aurais voulu savoir si vous connaissiez un site (autre que wikipédia), un document ou un livre qui détaillerait de façon détaillée le principe de la transformée de Fourier, davantage d'un point de vue physique (traitement du signal) que d'un point de vue mathématique.
    Question subsidiaire : quelle est la différence entre la transformée de Fourier d'une fonction et la série de Fourier d'une fonction ?

    Merci beaucoup

    -----


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  3. #2
    albanxiii

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Bonjour,

    Vous n'avez rien trouvé sur le net ?
    Une série de Fourier est définie pour une fonction périodique. Une transformée de Fourier, pour n'importe quel type de fonction, mais généralement non périodique (pourvu que l'intégrale converge).
    Commencez-donc par les séries de Fourier, ça vous facilitera la compréhension de la transformée.

    @+
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  4. #3
    albanxiii

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Re,

    Si je vous parle de géométrie et de projection, ça n'est pas trop mathématique ?
    Ensuite, pour que ça nous serve ici, il faut aussi parler d'espece vectoriel et de bases de cet espace vectoriel.

    On peut montrer que les fonctions forment une base de l'espace vectoriel des fonctions de période .
    Une fonction réelle de peut donc s'exprimer par son développement sur cette base. C'est ce développement qu'on appelle sa série de Fourier. Les coefficients de la série sont égaux à , ce sont les coefficients de la projection de sur la base .

    Est-ce que cela vous parle ? Un peu ? Beaucoup ? Pas du tout ?

    @+
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  5. #4
    Wenneguen

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Oui en fait les séries de Fourier je connais, je suis en maths spé et c'est au programme, ce qui n'est pas le cas de la transformée de Fourier. Je n'ai pas de problème avec les maths que j'ai même tendance à préférer à la physique, mais j'aurais besoin d'informations un peu moins abstraites (" plus physique ") dans un cadre particulier (TIPE...).
    Y a-t-il un lien entre la série de Fourier d'une fonction et la transformée de Fourier de cette fonction ? N'hésitez pas si vous avez une référence vers laquelle me diriger

  6. #5
    GrisBleu

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Salut

    Du point de vue physique, la TF decompose ton signal en sinusoide. Comme quand tu decomposes un vecteur sur une base. Qund j'avais ton age, pour etablir, en physique, les diagrammes de bode, on "passait en notation complexe". En fait, c'est juste utiliser l'equation differentielle sur la TF et regarder ce que ca donne sur chaque vecteur de base

    Pour tes questions plus techniques
    Les series de Fourier s'applique aux fonctions periodiques, et la base est denombrable (les exp -inwt)
    La TF s'applique aux fonctions integrables (ou de carre integrable en travaillant un peu), la base est continue (les exp -itw). Une fonction periodique n'etant ni dans L1 ni dans L2, tu ne peux appliquer la TF sans voir arriver des problemes de convergence.
    Le lien est que si tu utilises les distributions, les TF des fonctions périodiques devraient redonner (a verifier) les series de Fourier mais avec des deltas
    ++

  7. #6
    LPFR

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Bonjour.
    Peut-être qu'un exemple concret sera plus parlant.
    Prenons la décomposition en série de Fourier un signal périodique de période T forme d'une impulsion carrée de durée tau. Vous l'avez surement calculé.
    Le résultat est une série de raies, écartées de 1/T (je parle en fréquence, pas en pulsation) et dont l'enveloppe des amplitudes est un sinus cardinal dont le premier zéro se situe à 1/tau. (Faites un petit dessin à main levée avec l'enveloppe en pointillé).
    Les physiciens dessinent des "raies" car, en pratique, leur largeur n'est pas nulle. Mais les matheux dessinent uniquement un point au niveau de l'enveloppe. Ça me coute de le dire, mais ce sont les matheux qui ont raison. Il n'y a que les points.
    Maintenant, regardez comme évolue le dessin quand vous augmentez la période T sans modifier tau.
    Les points vont se déplacer le long de l'enveloppe vers la gauche en se rapprochant entre eux. Quand la période tendra vers infini, les points formeront une ligne continue égale à l'enveloppe: c'est la transformée de Fourier.
    Au revoir.

  8. #7
    Wenneguen

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Merci pour vos réponses. J'aurais cependant quelques questions supplémentaires en ce qui concerne la transformée de Fourier discrète d'un signal numérique (un son), et plus particulièrement son interprétation " spectrale ".

    Je me base sur cette définition de la transformée de Fourier discrète :
    On appelle transformée de Fourier discrète d’une suite de N termes , la suite de termes
    , définis par .

    Ma question est donc : si est l'amplitude du signal à " l'instant k " (au kème échantillon plutôt), que représente ?

  9. #8
    Wenneguen

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Désolé pour le double post, mais j'étoffe ma question ; à l'aide du logiciel Matlab, j'ai calculé le module de la transformée de Fourier discrète d'un signal (un son d'environ 1 seconde) ainsi que son spectre, et voici les résultats :

    Module de la transformée de Fourier discrète : transformée de fourier.jpg

    Spectre : spectre.jpg

    Comment les interpréter, que représente chacun d'entre eux ? En particulier, je pensais que le calcul de la transformée de Fourier du signal me donnerait son spectre, alors que visiblement ça n'est pas du tout le cas. Quel est le lien entre transformée de Fourier et spectre ?

    Merci.
    Dernière modification par Wenneguen ; 30/05/2013 à 14h20.

  10. #9
    albanxiii

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Re-bonjour,

    Citation Envoyé par Wenneguen Voir le message
    mais j'aurais besoin d'informations un peu moins abstraites (" plus physique ")
    Pardon de revenir défendre mon point de vue, mais j'ai du mal à voir plus concret que la décomposition d'un vecteur dans une base particulière d'un espace vectoriel...
    Si vous faites un TIPE, vous êtes en spé, donc je ne vais pas parler de mécanique quantique, de vecteur d'état et de base de vecteurs propres, mais c'est pareil.

    Il y des choses qu'on ne peut pas démonter jusqu'à ce qu'il ne reste zéro degré d'abstraction. L'explication de LPFR est exactement la même que la mienne (puisque ), mais sur un exemple concret. Il est vrai que voir des exemples peut aider à comprendre. Mais dites vous aussi que les progrès en physique sont souvent faits qu'on on monte dans l'abstraction (exemple : quand Faraday a introduit la notion de champs à la place des forces pour l'électromagnétisme).

    @+
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  11. #10
    LPFR

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Bonjour Albanxiii.
    Les "champs" de Faraday n'étaient que des "zones d'influence".
    Faraday était "nul" en maths (il avait une formation de relieur).
    C'est son ami et protecteur Maxwell qui mit en forme cette idée de champ.
    Mais Faraday était un génie de la physique expérimentale.
    Cordialement,

  12. #11
    Wenneguen

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    " Ma question est donc : si est l'amplitude du signal à " l'instant " (au kème échantillon plutôt), que représente ?

    " Comment les interpréter, que représente chacun d'entre eux ? En particulier, je pensais que le calcul de la transformée de Fourier du signal me donnerait son spectre, alors que visiblement ça n'est pas du tout le cas. Quel est le lien entre transformée de Fourier et spectre ? "

    Vous pourriez m'éclairer là-dessus svp ?
    Dernière modification par Wenneguen ; 30/05/2013 à 19h26.

  13. #12
    Wenneguen

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Correction de mon message précédent :


    " Ma question est donc : si est l'amplitude du signal à " l'instant k " (au kème échantillon plutôt), que représente (tel que je l'ai défini quelques messages plus hauts) ?

    " Comment les interpréter, que représente chacun d'entre eux ? En particulier, je pensais que le calcul de la transformée de Fourier du signal me donnerait son spectre, alors que visiblement ça n'est pas du tout le cas. Quel est le lien entre transformée de Fourier et spectre ? "

    Vous pourriez m'éclairer là-dessus svp ?

  14. #13
    maxwellien

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Bonjour, la fonction qu'on trouve après avoir calculé la tranformée de Fourier d'une fonction est la forme algébrique de son spectre et représente donc l'amplitude pour chaque fréquence (variable continu) mise à part les fréquences négatives qui n'ont pas de sens physique.

  15. #14
    Wenneguen

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    D'accord merci pour ta réponse
    Sais-tu comment on obtient alors le spectre ? (la deuxième image)

  16. #15
    stefjm

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Citation Envoyé par maxwellien Voir le message
    [...]mise à part les fréquences négatives qui n'ont pas de sens physique.
    Bien sûr qu'on peut trouver un sens physique à une fréquence négative...
    Et encore heureux...
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  17. #16
    maxwellien

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    on peut trouver un sens physique à une fréquence négatives
    Par exemple pour le son ça représenterai quoi une fréquence négative?

    Sais-tu comment on obtient alors le spectre ?
    On calcule l'intégrale complexe de +inf à -inf de la fonction f(t) multipliée par exp(-iwt) et on obtientune fonction f(w).

  18. #17
    stefjm

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Citation Envoyé par maxwellien Voir le message
    Par exemple pour le son ça représenterai quoi une fréquence négative?
    Si vous m'autorisez deux sons dont l'un est déphasé de pi par rapport à l'autre, vous avez la réponse à votre question.

    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  19. #18
    Wenneguen

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Citation Envoyé par maxwellien Voir le message

    On calcule l'intégrale complexe de +inf à -inf de la fonction f(t) multipliée par exp(-iwt) et on obtientune fonction f(w).
    Oui c'est ce que j'ai fait avec Matlab en prenant le module de la fonction fft appliquée à mon signal (qui utilise la version discrète de la transformée de Fourier, et donc pas d'intégrale) et j'obtiens ce résultat :
    fft de bonjour.jpg

    Alors qu'en effectuant une analyse de fréquence du même signal avec le logiciel audacity, j'obtiens ce résultat (différent du précédent a priori) : analyse de fréquence bonjour .jpg
    La fonction pwelch ( " pxx = pwelch(x) returns the power spectral density (PSD) estimate " ) de Matlab semble donner le même résultat qu'audacity : pwelch de bonjour.jpg

    Quel est donc le lien entre le module de la transformée de Fourier et l'analyse de fréquence, puisque les deux résultats sont visiblement différents ?

  20. #19
    b@z66

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Si vous m'autorisez deux sons dont l'un est déphasé de pi par rapport à l'autre, vous avez la réponse à votre question.


    Bof, mais bon, il faut bien reconnaitre que dès que l'on sort une expression du type "sens physique", on en arrive toujours à ce genre de débat inutile. Ce que vous rappelez n'est finalement que le fait qu'en utilisant la formule d'Euler, on introduit des fréquences négatives d'exponentielles complexes pour différencier les sinus et cosinus réels(ou même complexe). En gros, tout ça reste des maths et les fréquences négatives n'ont au final pas plus de "sens physique" que les fréquences positives(même débat que d'utiliser des nombres complexes ou des températures négatives en physique).
    Dernière modification par b@z66 ; 31/05/2013 à 13h25.
    La curiosité est un très beau défaut.

  21. #20
    GrisBleu

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Citation Envoyé par Wenneguen Voir le message
    " Ma question est donc : si est l'amplitude du signal à " l'instant " (au kème échantillon plutôt), que représente ?
    si x est un signal temporel et X sa TF, alors tu as
    x[n] est le signal au temps n
    X[k] est le siganl a la frequence k. |X[k]|^2 est l'energie de la frequence k, Arg X[k] est sa phase

    Citation Envoyé par Wenneguen Voir le message
    " Comment les interpréter, que représente chacun d'entre eux ? En particulier, je pensais que le calcul de la transformée de Fourier du signal me donnerait son spectre, alors que visiblement ça n'est pas du tout le cas. Quel est le lien entre transformée de Fourier et spectre ? "
    Le module au carre de la TF est le spectre d'energie (ou de puissance, ca depend), l'argument te donne la phase (ce sont les diagrammes de Bode). X[k] est le spectre car ca te donne le contenu frequentiel (en k)

    ++

  22. #21
    Wenneguen

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Merci beaucoup GrisBleu. Cependant, il me reste quelques questions :

    - Question un peu facultative, mais es-tu sûr que l'expression " X(k) est le signal à la fréquence k ait un sens " ?
    - Questions qui m'intéresse davantage : pourquoi le résultat de
    Code:
    abs(fft(mon_signal))
    sur Matlab semble être pair (cf mes images) ?
    - " l'analyse en fréquence " d'audacity, ou encore le résultat de " pwelch(mon_signal) " sur matlab (cf mes images) semblent n'être qu'une partie du résultat de
    Code:
    abs(fft(mon_signal))
    (comme si seules les premières fréquences avait été conservées). Est-ce le cas ? Si oui, pourquoi ces analyses fréquentielles ne conservent-elles qu'une partie du module de la transformée de Fourier du signal ? Comment est déterminée la dernière fréquence conservée ?

    Merci

  23. #22
    stefjm

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Citation Envoyé par b@z66 Voir le message
    Bof, mais bon, il faut bien reconnaitre que dès que l'on sort une expression du type "sens physique", on en arrive toujours à ce genre de débat inutile. Ce que vous rappelez n'est finalement que le fait qu'en utilisant la formule d'Euler, on introduit des fréquences négatives d'exponentielles complexes pour différencier les sinus et cosinus réels(ou même complexe). En gros, tout ça reste des maths et les fréquences négatives n'ont au final pas plus de "sens physique" que les fréquences positives(même débat que d'utiliser des nombres complexes ou des températures négatives en physique).
    Oui, car ce qui a un sens physique, c'est le carré de la fréquence et pas seulement la fréquence positive ou négative.
    Cela se voit sur la réponse impulsionnelle de l'oscillateur en 1/(p^2+w0^2) dont les pôles sont +j.w0 et -j.w0.
    Un signal qui tourne à l'endroit et un qui tourne à l'envers.
    L'intérêt de la chose n'apparait qu'avec deux signaux au moins, car avec un seul signal, bien malin qui peut dire dans quel sens il tourne.
    Avec deux signaux, la notion de déphasage fait sens, ou bien la notion de modulation d'amplitude met bien en évidence les deux raies d'un sinus.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  24. #23
    b@z66

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Oui, car ce qui a un sens physique, c'est le carré de la fréquence et pas seulement la fréquence positive ou négative.
    Cela se voit sur la réponse impulsionnelle de l'oscillateur en 1/(p^2+w0^2) dont les pôles sont +j.w0 et -j.w0.
    Un signal qui tourne à l'endroit et un qui tourne à l'envers.
    L'intérêt de la chose n'apparait qu'avec deux signaux au moins, car avec un seul signal, bien malin qui peut dire dans quel sens il tourne.
    Avec deux signaux, la notion de déphasage fait sens, ou bien la notion de modulation d'amplitude met bien en évidence les deux raies d'un sinus.
    Je suis d'accord mais tout ça reste des maths. C'est tenter d’utiliser l'expression "sens physique" qui, à mon sens, n'a aucun sens(que ce soit à l'endroit ou à l'envers) ou alors donnez moi une définition de ce fameux sens. Les maths en physique ne sont qu'un outil abstrait pour modéliser.
    La curiosité est un très beau défaut.

  25. #24
    stefjm

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Bonjour,
    Pour la définition de sens physique, le mieux est de demander aux physiciens de ce forum, à celui qui a posé la question (maxwellien) et à LPFR qui est celui d'entre nous qui en parle le plus sur FSG sans le définir.

    Perso, n'étant pas physicien, je m'adapte à la définition qu'on me donnera...

    Dans le cas ici, je dirais même que c'est qui a un sens physique (en vertu de ), ce qui va évidement faire bondir ceux pour qui les complexes etc...

    Cordialement.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  26. #25
    GrisBleu

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Salut

    Quelques elements de reponses:
    +
    Citation Envoyé par Wenneguen Voir le message
    es-tu sûr que l'expression " X(k) est le signal à la fréquence k ait un sens " ?
    A une normalisation pres , du genre frequence = k * frequence echantillonage /nombre de points
    +
    Citation Envoyé par Wenneguen Voir le message
    pourquoi le résultat de
    Code:
    abs(fft(mon_signal))
    sur Matlab semble être pair (cf mes images) ?
    La TF d'une fonction reelle est paire
    Au vue de tes questions, tu devrais plus regarder un cours sur la TF (ou sa version discrete)
    + Pour pwelch la doc matlab dit clairement " If x is real-valued, pxx is a one-sided PSD estimate. If x is complex-valued, pxx is a two-sided PSD estimate"
    De mon point de vue, si tu as le temps et l'acces a une BU, le meilleur bouquin sur la TF des signaux numeriques du point de vue ingenieur (y a pas toutes les subtilités L1, L2, les disctributions et autres) est "Discrete time signal processing" d'oppenheim. Si tu cherches quelquechose traitant des signaux continus (et plus theoriques), je n'ai pas de reference aussi claires. Mais comme tu travailles sur Matlab, tu traites de signaux numeriques

  27. #26
    stefjm

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Bien sûr qu'on peut trouver un sens physique à une fréquence négative...
    Et encore heureux...
    Si c'est dans wikipédia...

    Citation Envoyé par fr.wikipedia.org/wiki/Grandeur_physique
    On appelle grandeur physique toute propriété de la science de la nature qui peut être quantifiée par la mesure ou le calcul, et dont les différentes valeurs possibles s'expriment à l'aide d'un nombre réel ou d'un nombre complexe, souvent accompagné d'une unité de mesure.
    A priori, pas de raison d'écarter une fréquence réelle négative.

    J'ai ouvert une nouvelle discussion sur le theme :
    Difficile question du «sens physique» d'une grandeur
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  28. #27
    obi76

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    A priori, pas de raison d'écarter une fréquence réelle négative.
    Pas de raison ne veut pas dire que ça a un sens. Tu m'explique le "sens physique" de "-1" événement par seconde... ?
    Des gens qui savent le faire, il y en a plein, des gens qui savent ce qu'ils font, nettement moins.

  29. #28
    stefjm

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    1 événement par seconde à rebrousse temps? (en utilisant les conventions algébriques habituelles)
    1 événement opposé par seconde dans le bon sens?

    Ou plus classique, le "-" permet de dire que c'est périodique en caractérisant deux pôles imaginaires purs et la racine carré donne la pulsation ou la fréquence.

    Ce dernier "-" permet d'ailleurs de faire la différence entre 1 par seconde (périodique) et seulement un truc qui dure 1 seconde. (apériodique)

    Il n'y a qu'à demandé...
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  30. #29
    obi76

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    1 événement par seconde à rebrousse temps? (en utilisant les conventions algébriques habituelles)
    Ca ne change rien au problème. Tu m'expliques le "sens physique" de 1 événement par "-1" seconde... ?
    Des gens qui savent le faire, il y en a plein, des gens qui savent ce qu'ils font, nettement moins.

  31. #30
    invite6754323456711
    Invité

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Il n'y a qu'à demandé...
    La construction des nombres. Je recherche toujours le sens physique à leur donner.

    Patrick
    Dernière modification par invite6754323456711 ; 01/06/2013 à 12h24.

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