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La transformée de Fourier pour les nuls

  1. Wenneguen

    Date d'inscription
    avril 2011
    Localisation
    Brest
    Messages
    131

    La transformée de Fourier pour les nuls

    Bonjour,

    j'aurais voulu savoir si vous connaissiez un site (autre que wikipédia), un document ou un livre qui détaillerait de façon détaillée le principe de la transformée de Fourier, davantage d'un point de vue physique (traitement du signal) que d'un point de vue mathématique.
    Question subsidiaire : quelle est la différence entre la transformée de Fourier d'une fonction et la série de Fourier d'une fonction ?

    Merci beaucoup

    -----

     


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  2. albanxiii

    Date d'inscription
    novembre 2010
    Localisation
    92
    Âge
    43
    Messages
    9 535

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Bonjour,

    Vous n'avez rien trouvé sur le net ?
    Une série de Fourier est définie pour une fonction périodique. Une transformée de Fourier, pour n'importe quel type de fonction, mais généralement non périodique (pourvu que l'intégrale converge).
    Commencez-donc par les séries de Fourier, ça vous facilitera la compréhension de la transformée.

    @+
    Not only is it not right, it's not even wrong!
     

  3. albanxiii

    Date d'inscription
    novembre 2010
    Localisation
    92
    Âge
    43
    Messages
    9 535

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Re,

    Si je vous parle de géométrie et de projection, ça n'est pas trop mathématique ?
    Ensuite, pour que ça nous serve ici, il faut aussi parler d'espece vectoriel et de bases de cet espace vectoriel.

    On peut montrer que les fonctions forment une base de l'espace vectoriel des fonctions de période .
    Une fonction réelle de peut donc s'exprimer par son développement sur cette base. C'est ce développement qu'on appelle sa série de Fourier. Les coefficients de la série sont égaux à , ce sont les coefficients de la projection de sur la base .

    Est-ce que cela vous parle ? Un peu ? Beaucoup ? Pas du tout ?

    @+
    Not only is it not right, it's not even wrong!
     

  4. Wenneguen

    Date d'inscription
    avril 2011
    Localisation
    Brest
    Messages
    131

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Oui en fait les séries de Fourier je connais, je suis en maths spé et c'est au programme, ce qui n'est pas le cas de la transformée de Fourier. Je n'ai pas de problème avec les maths que j'ai même tendance à préférer à la physique, mais j'aurais besoin d'informations un peu moins abstraites (" plus physique ") dans un cadre particulier (TIPE...).
    Y a-t-il un lien entre la série de Fourier d'une fonction et la transformée de Fourier de cette fonction ? N'hésitez pas si vous avez une référence vers laquelle me diriger
     

  5. GrisBleu

    Date d'inscription
    avril 2005
    Âge
    37
    Messages
    1 044

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Salut

    Du point de vue physique, la TF decompose ton signal en sinusoide. Comme quand tu decomposes un vecteur sur une base. Qund j'avais ton age, pour etablir, en physique, les diagrammes de bode, on "passait en notation complexe". En fait, c'est juste utiliser l'equation differentielle sur la TF et regarder ce que ca donne sur chaque vecteur de base

    Pour tes questions plus techniques
    Les series de Fourier s'applique aux fonctions periodiques, et la base est denombrable (les exp -inwt)
    La TF s'applique aux fonctions integrables (ou de carre integrable en travaillant un peu), la base est continue (les exp -itw). Une fonction periodique n'etant ni dans L1 ni dans L2, tu ne peux appliquer la TF sans voir arriver des problemes de convergence.
    Le lien est que si tu utilises les distributions, les TF des fonctions périodiques devraient redonner (a verifier) les series de Fourier mais avec des deltas
    ++
     


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  6. LPFR

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    42 948

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Bonjour.
    Peut-être qu'un exemple concret sera plus parlant.
    Prenons la décomposition en série de Fourier un signal périodique de période T forme d'une impulsion carrée de durée tau. Vous l'avez surement calculé.
    Le résultat est une série de raies, écartées de 1/T (je parle en fréquence, pas en pulsation) et dont l'enveloppe des amplitudes est un sinus cardinal dont le premier zéro se situe à 1/tau. (Faites un petit dessin à main levée avec l'enveloppe en pointillé).
    Les physiciens dessinent des "raies" car, en pratique, leur largeur n'est pas nulle. Mais les matheux dessinent uniquement un point au niveau de l'enveloppe. Ça me coute de le dire, mais ce sont les matheux qui ont raison. Il n'y a que les points.
    Maintenant, regardez comme évolue le dessin quand vous augmentez la période T sans modifier tau.
    Les points vont se déplacer le long de l'enveloppe vers la gauche en se rapprochant entre eux. Quand la période tendra vers infini, les points formeront une ligne continue égale à l'enveloppe: c'est la transformée de Fourier.
    Au revoir.
     

  7. Wenneguen

    Date d'inscription
    avril 2011
    Localisation
    Brest
    Messages
    131

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Merci pour vos réponses. J'aurais cependant quelques questions supplémentaires en ce qui concerne la transformée de Fourier discrète d'un signal numérique (un son), et plus particulièrement son interprétation " spectrale ".

    Je me base sur cette définition de la transformée de Fourier discrète :
    On appelle transformée de Fourier discrète d’une suite de N termes , la suite de termes
    , définis par .

    Ma question est donc : si est l'amplitude du signal à " l'instant k " (au kème échantillon plutôt), que représente ?
     

  8. Wenneguen

    Date d'inscription
    avril 2011
    Localisation
    Brest
    Messages
    131

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Désolé pour le double post, mais j'étoffe ma question ; à l'aide du logiciel Matlab, j'ai calculé le module de la transformée de Fourier discrète d'un signal (un son d'environ 1 seconde) ainsi que son spectre, et voici les résultats :

    Module de la transformée de Fourier discrète : transformée de fourier.jpg

    Spectre : spectre.jpg

    Comment les interpréter, que représente chacun d'entre eux ? En particulier, je pensais que le calcul de la transformée de Fourier du signal me donnerait son spectre, alors que visiblement ça n'est pas du tout le cas. Quel est le lien entre transformée de Fourier et spectre ?

    Merci.
    Dernière modification par Wenneguen ; 30/05/2013 à 14h20.
     

  9. albanxiii

    Date d'inscription
    novembre 2010
    Localisation
    92
    Âge
    43
    Messages
    9 535

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Re-bonjour,

    Citation Envoyé par Wenneguen Voir le message
    mais j'aurais besoin d'informations un peu moins abstraites (" plus physique ")
    Pardon de revenir défendre mon point de vue, mais j'ai du mal à voir plus concret que la décomposition d'un vecteur dans une base particulière d'un espace vectoriel...
    Si vous faites un TIPE, vous êtes en spé, donc je ne vais pas parler de mécanique quantique, de vecteur d'état et de base de vecteurs propres, mais c'est pareil.

    Il y des choses qu'on ne peut pas démonter jusqu'à ce qu'il ne reste zéro degré d'abstraction. L'explication de LPFR est exactement la même que la mienne (puisque ), mais sur un exemple concret. Il est vrai que voir des exemples peut aider à comprendre. Mais dites vous aussi que les progrès en physique sont souvent faits qu'on on monte dans l'abstraction (exemple : quand Faraday a introduit la notion de champs à la place des forces pour l'électromagnétisme).

    @+
    Not only is it not right, it's not even wrong!
     

  10. LPFR

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    42 948

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Bonjour Albanxiii.
    Les "champs" de Faraday n'étaient que des "zones d'influence".
    Faraday était "nul" en maths (il avait une formation de relieur).
    C'est son ami et protecteur Maxwell qui mit en forme cette idée de champ.
    Mais Faraday était un génie de la physique expérimentale.
    Cordialement,
     

  11. Wenneguen

    Date d'inscription
    avril 2011
    Localisation
    Brest
    Messages
    131

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    " Ma question est donc : si est l'amplitude du signal à " l'instant " (au kème échantillon plutôt), que représente ?

    " Comment les interpréter, que représente chacun d'entre eux ? En particulier, je pensais que le calcul de la transformée de Fourier du signal me donnerait son spectre, alors que visiblement ça n'est pas du tout le cas. Quel est le lien entre transformée de Fourier et spectre ? "

    Vous pourriez m'éclairer là-dessus svp ?
    Dernière modification par Wenneguen ; 30/05/2013 à 19h26.
     

  12. Wenneguen

    Date d'inscription
    avril 2011
    Localisation
    Brest
    Messages
    131

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Correction de mon message précédent :


    " Ma question est donc : si est l'amplitude du signal à " l'instant k " (au kème échantillon plutôt), que représente (tel que je l'ai défini quelques messages plus hauts) ?

    " Comment les interpréter, que représente chacun d'entre eux ? En particulier, je pensais que le calcul de la transformée de Fourier du signal me donnerait son spectre, alors que visiblement ça n'est pas du tout le cas. Quel est le lien entre transformée de Fourier et spectre ? "

    Vous pourriez m'éclairer là-dessus svp ?
     

  13. maxwellien

    Date d'inscription
    février 2011
    Localisation
    là où la cte de Planck vaut 1000 J.S
    Messages
    642

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Bonjour, la fonction qu'on trouve après avoir calculé la tranformée de Fourier d'une fonction est la forme algébrique de son spectre et représente donc l'amplitude pour chaque fréquence (variable continu) mise à part les fréquences négatives qui n'ont pas de sens physique.
     

  14. Wenneguen

    Date d'inscription
    avril 2011
    Localisation
    Brest
    Messages
    131

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    D'accord merci pour ta réponse
    Sais-tu comment on obtient alors le spectre ? (la deuxième image)
     

  15. stefjm

    Date d'inscription
    avril 2008
    Localisation
    Zut! C'est pas homogène! Ben t'as qu'à mélanger...
    Messages
    13 165

    Re : La transformée de Fourier pour les nuls

    Citation Envoyé par maxwellien Voir le message
    [...]mise à part les fréquences négatives qui n'ont pas de sens physique.
    Bien sûr qu'on peut trouver un sens physique à une fréquence négative...
    Et encore heureux...
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
     


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