flux élémentaire

[Isis-mirka]

Bonsoir à tous,
J'ai une question concernant un exo qui traite des flux sortant de volumes.
J'utilise depuis peu de temps la notion de flux et je bloque sur cette question:
on a une fonction qui a tout point de l'espace R3 associe un vecteur A.
on considère un parallélépipède rectangle infinitésimal centré en M(x,y,z) et on note d3V son volume
on a dphi(M)=A.dS(m) où dphi(M) est le flux élémentaire sur une surface dS centrée en M

question: exprimer le flux élementaire d3phi sortant du volume considéré en fonction du vecteur A, ses dérivées et delta(x), delta(y) et delta(z)


merci d'avance pour vos idées
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[calculair]

bonjour
Le flux sortant est la différence entre le flux entrant et le flux sortant

le flux traversant la face cote X est dPhi = A dsx

le flux sortant est dphi' =( A + da/dx) dSx

pour la composante x du flux dPhi/dx = da/dx dS

[Isis-mirka]

Bonsoir,
merci de m'avoir répondu.
je ne comprend pas très bien:Le flux sortant est la différence entre le flux entrant et le flux sortant : comment est-ce possible ?
de plus, pour le flux sortant, pourquoi prend-t-on une dérivée ?

merci d'avance

[calculair]

bonjour,

Si le vecteur A varie en fonction de sa position ( pour dire les choses simplement )

au point X sa valeur est A. C'est la postion de la face d'entrée du parralepipede

un peut plus loin au point X + dX, la valeur du vecteur sera A + dA/dX * dX


Apres du calcule le flux entrant Phi entrant = A ds

Le flux sortant ( A + dA) ds

l'ecart est dA dS

en fait dA est en fait la derivée partielle de A selon X derond A / derond X

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isis-mirka]

ok je commene à saisir la chose.
dans la question qui suit, je dois changer la forme de ce flux élémentaire pour faire apparaitre nabla.A et d3V
Que vaut donc le dS de l'écart dAdS ?
parceque je trouve qu'il vaut selon x , dydz, seon y, dxdz.....en analysant "avec les mains" mais quelle serait alors son expression ?
merci

[calculair]

Bonjour

Il suffit de faire le calcul selon X, puis Y puis Z


La variation du flux total est donc la somme selon les 3 compsantes

[Isis-mirka]

je suis parti sur dAdS= différentielle de A*dS
et ceci vaut donc: (drondA*dx/drondx+...+drondA*dz/drondz)dS
or, on veut cette expression:
d3phi=(nabla.A)d3V
je suis parti de celle-ci:
d3phi=(drondA/drondx+...+drondA/drondz)d3V
or, d3V=dxdydz il me semble,
donc:d3phi=drondA*dxdydz/drondx+...+drondA*dxdydz/drondz=dydz(drondA/drondx)+...+dxdy(drondA/drondz)

où me suis-je trompé ?

[pephy]

bonjour

comme vous l'avez indiqué plus haut le dS n'est pas le même pour chaque direction.

suivant x on a:
suivant y on a:
suivant z on a:

Il suffit de faire la somme

[Isis-mirka]

Bonjour,
d'accord, je fais la somme:
j'obtiens alors: dphi=d3v*(drondAx*dx/drondx+.....)
mais comment retomber ensuite sur l'intrégrale d'une surface ?
j'ai trouvé: intrégrale double(dAx+dAy+dAz)dS
mais il aurait fallu trouver intrégrale double(Ax+Ay+dAz)dS et là on aurait eu A.dS (A en vecteur ici) ?

merci

[pephy]

Re
Je ne saisis pas votre problème.
vous avez
L'intégrale de volume de cette quantité se transforme en intégrale de surface par le théorème de Green-Ostrogradski

[LPFR]

Bonjour.
Je pense que ce fascicule peut vous apporter des réponses:
http://forums.futura-sciences.com/at...aire-nabla.pdf
Au revoir.

[Isis-mirka]

merci pour ce fascicule qui est tres complet.
mais je n'arrive malheureusement pas toujours pas à résoudre mon exo...

[calculair]

Bonjoiur

Soit tu n'as pas tout compris, soit on a pas bien comp^ris ton problème.....

[Isis-mirka]

je me suis mal exprimé certainement.
en fait, à partir de l'expression dephi=(nabla.A)d3V, je dois en déduire la formule de green ostrogradsky , et non pas l'utiliser comme le suggérait Pephy...

[calculair]

Bonjour,
C'est pourtant ce que l'on a fait

on a calculer les flux sur toutes les surfaces, on peut donc considreré que la surface est fermée

[Isis-mirka]

on avait: dphi=d3v*(drondAx*dx/drondx+.....) (voir message 8 pour plus de lisibilité).
or, moi je tombe sur : intrégrale double(dAx+dAy+dAz)dS
il aurait fallu trouver intrégrale double(Ax+Ay+Az)dS et là on aurait eu A.dS car (A en vecteur ici) (Ax+Ay+Az)dS=produit scalaire de A par dS non ?
et dans ce cas seulement, on retombe sur Green.
mais avec intrégrale double(dAx+dAy+dAz)dS, je n'y arrive pas ...
quelque chose cloche dans ma démo, mais quoi....

[LPFR]

Re.
Prenez un volume quelconque et divisez-le en petits parallélépipèdes dxdydz.
Remarquez que le flux qui sort d'une petite face entre par la face suivante et ceci pour toutes les faces sauf celles qui donnent sur la surface extérieure du volume.
Si vous faites la somme de dephi=(nabla.A)d3V sur tout le volume, seule vous restera à gauche le total de flux crée dans le volume et à droite l'intégrale de volume de la divergence du champ. Ce qui est ce que vous voulez démontrer.
Il vous manque peut-être d'ajouter le tout le flux créé à l'intérieur est égal à l'intégrale de surface du flux sur la surface entourant le volume.
A+

[Isis-mirka]

ok j'ai compris !
merci beaucoup à tous !