Demontrer le Principe d'incertitude sans utiliser les opérateurs mathématiques

[khoder_mazen]

Bon Soir ,
1-
dans wiki nous lisons :
"ce principe étant démontré par les équations, il devient un théorème"
quelle equations ?
est ce que l'equation de schrodinger est suffisant pour montrer le principe d'incertitude ? ou bien nous avons besoins encore (ou seulement) de la relation de transformation de fourier
entre la fonction d'onde dans l'espace de position (existé dans l'equation de schrodinger) est la fonction d'onde dans l'espace de quantité de mouvement (c'est a dire l'amplitude d'existence de quantité de mouvement en fonction de l'amplitude d'existence de position ) ?
2-
peut on donner la demonstration compléte sans utiliser les opérateurs mathématiques ?
Merci beaucoup.
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[Deedee81]

Salut,

L'équation de Schrödinger n'est pas suffisante en soit, il faut aussi son interprétation probabiliste.

La seule démonstration que je connais n'utilisant pas les opérateurs utilise en effet les transformées de Fourier. Elle consiste à montrer "l'incertitude" dans le produit position * longueur d'onde d'un paquet d'onde (c'est un théorème en optique). Puis par l'équivalence longueur d'onde <-> impulsion, on obtient Heisenberg. C'est dans beaucoup de bouquins.

Il doit exister d'autres méthodes. Peut-être plus simple ? (je connais aussi des déductions utilisant des expériences de pensée, mais là on ne peut pas vraiment parler de démonstration).

[ordage]

Salut,

L'équation de Schrödinger n'est pas suffisante en soit, il faut aussi son interprétation probabiliste.

La seule démonstration que je connais n'utilisant pas les opérateurs utilise en effet les transformées de Fourier. Elle consiste à montrer "l'incertitude" dans le produit position * longueur d'onde d'un paquet d'onde (c'est un théorème en optique). Puis par l'équivalence longueur d'onde <-> impulsion, on obtient Heisenberg. C'est dans beaucoup de bouquins.

Il doit exister d'autres méthodes. Peut-être plus simple ? (je connais aussi des déductions utilisant des expériences de pensée, mais là on ne peut pas vraiment parler de démonstration).

Salut
Dans cet esprit, il y a une démonstration dans l'annexe H du livre "ondes et ondelettes" de Barbara Burke Hubbard (ed. Pour la Science-diffusion Belin).
L'auteur considère une fonction f "normée" (intégrale de -l'infini à + l'infini égale à 1), et sa transformée de Fourier F, comme des distributions de probabilité de variances respectives v et V et montre (en utilisant entres autres l'inégalité de Schwarz) qu'il y a une relation entre les intégrales des variances associées correspondant à la relation d'incertitude.
Je crois qu'il vaut mieux dire relation d'incertitude que principe d'incertitude, puisqu'on voit ici que c'est une conséquence du formalisme utilisé (qui n'est pas fortuit pour autant il est vrai).
Cordialement

[Deedee81]

Merci pour cette référence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[khoder_mazen]

merci beaucoup Deedee81 et ordage
encore une question s'il vous plait:
la relation (la transformation de fourier) entre l'amplitude de probabilite d'existence et l'amplitude de probabilité de quantité de mouvement est un postulat dans la mecanique quantique ou par exemple nous pouvons deduire ca (la relation) de l'equation de schrodinger ?

[ordage]

merci beaucoup Deedee81 et ordage
encore une question s'il vous plait:
la relation (la transformation de fourier) entre l'amplitude de probabilite d'existence et l'amplitude de probabilité de quantité de mouvement est un postulat dans la mecanique quantique ou par exemple nous pouvons deduire ca (la relation) de l'equation de schrodinger ?

Bonjour
La démonstration à laquelle j'ai fait référence, fait un calcul purement formel n'utilisant que des propriétés mathématiques propres à ce type de fonctions et leur transformée de Fourier comme le fait que la multiplication dans l'espace de Fourier correspond à un facteur près à la dérivation dans l'espace physique ainsi que le théorème Parseval (la transformée de Fourier est une isométrie), et de l'inégalité de Schwarz sur les produits scalaires . Comme cette démo, largement explicitée, fait 3 pages, il est difficile de la résumer en quelques lignes, mais il n'y a aucune référence à l'équation de Schrödinger. .
Cordialement

[khoder_mazen]

Merci beaucoup ordage
je compris bien ce que vous dire, mais la transformation de fourier elle meme entre la position (l'amplitude de probabilite) et la quantitée de mouvement (l'amplitude de probabilite) est un
postulat dans la mecanique quantique ?

[Armen92]

Merci beaucoup ordage
... mais la transformation de fourier elle meme entre la position (l'amplitude de probabilite) et la quantitée de mouvement (l'amplitude de probabilite) est un
postulat dans la mecanique quantique ?

Non, c'est une conséquence des équations fondamentales.

[Floris]

Sinon, l'autre façon simple de démontrer l’inégalité d'Heisenberg est de faire l’inégalité, fréquence.periode> ou = à la période

En effet les inégalités d'Heisenberg sont basé sur le fait qu'il faut un temps supérieur à la période pour connaitre avec précision la fréquence, et vice et versa.

[khoder_mazen]

Merci beaucoup Armen92 et Floris ,
Pouvons nous deduire l'amplitude de probabilité de quantité de mouvement en fonction de l'amplitude de probabilité l'existence (c'est a dire Transformation de fourier)
en utilisant seulement l'equation de schrodinger et sa signification statistique ?

[Deedee81]

Salut,

Pouvons nous deduire l'amplitude de probabilité de quantité de mouvement en fonction de l'amplitude de probabilité l'existence (c'est a dire Transformation de fourier)
en utilisant seulement l'equation de schrodinger et sa signification statistique ?

Je ne l'ai jamais vu déduite comme ça mais ça doit pouvoir se faire, oui.

Enfin, si, je l'ai déjà vu, mais sur des cas particulier (calcul de la dispersion d'un paquet d'ondes).

P.S. c'est amplitude de probabilité de position, pas d'exsistence

[albanxiii]

Bonjour,

Sinon, l'autre façon simple de démontrer l’inégalité d'Heisenberg est de faire l’inégalité, fréquence.periode> ou = à la période

En effet les inégalités d'Heisenberg sont basé sur le fait qu'il faut un temps supérieur à la période pour connaitre avec précision la fréquence, et vice et versa.

Absolument pas !

@+

[khoder_mazen]

Merci Deedee81 ,
s'il vous plait peut on donner une référence qui deduire l'amplitude de probabilité de quantité de mouvement en fonction de l'amplitude de probabilité de position
en utilisant seulement l'equation de schrodinger et sa signification statistique (sans postuler l'operateur de quantité de mouvement ) ?

[Deedee81]

Salut,

s'il vous plait peut on donner une référence qui deduire l'amplitude de probabilité de quantité de mouvement en fonction de l'amplitude de probabilité de position
en utilisant seulement l'equation de schrodinger et sa signification statistique (sans postuler l'operateur de quantité de mouvement ) ?

C'est un peu compliqué car tous les livres que je connais introduisent les opérateurs assez vite. On trouve toutefois des choses assez intéressantes utilisant le formalisme des fonctions d'onde et l'équation de Schrödinger dans le Leonard L. Schiff Quantum Mechanic. Il y a peut-être de meilleure références de ce point de vue.

[mariposa]

Merci Deedee81 ,
s'il vous plait peut on donner une référence qui deduire l'amplitude de probabilité de quantité de mouvement en fonction de l'amplitude de probabilité de position
en utilisant seulement l'equation de schrodinger et sa signification statistique (sans postuler l'operateur de quantité de mouvement ) ?

Bonjour,

Il me semble que j'ai répondu a ta question ici:

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post4667138 (post 8)

Ta question est mal posée et tu tournes en rond:

L'équation de Schrodinger s'écrit avec l'opérateur quantité de mouvement.

Ce qui veut dire qu il est impossible de se passer de l'opérateur quantité de mouvement.

Grosso modo:

On écrit en mécanique l'énergie d'une particule:

e = p2/2.m + v(x) equation 1

On replace chaque grandeur classique par un opérateur cad:

H = P2/2m + V(X) équation 2

H, P, X sont désormais des opérateurs. Comment les écrire?

a l'énergie e correspond le générateur de déplacement temporelle E= i.d/dt

A la quantité de mouvement p correspond le générateur des translations spatiales P = i.d/dx

a la quantité position x correspond l'opérateur X

L'équation 2 s'écrit:

i.h d/dt (F(x,t) =[ -h2/2.m d2/d2x + V(x)] F(x,t)

Ceci est l'équation de Schrodinger


Comme tu peux le constater l'équation de Schrodinger est une conséquence inévitable de l'opérateur quantité de mouvement.

J'ai rajouté hbarre dont l'explication est dans mon post ci-dessus.


Par ailleurs tu peux vérifier que on ne peut pas avoir une valeur de x et de p simultanément parce que un générateur de translation ne peut commuter avec la valeur d'un point non translaté. C'est qualitativement évident et cela se démontre aisément en calculant un commutateur:


[-i.d/dx , x ] qui ne peut être égale a zéro.


Tout cela est de la mathématique.

Ce qui est postulé c'est la correspond grandeur classique-opérateur quantique.

Ce qui vient de la physique c'est h qui donne la mesure de la non commutativité

[khoder_mazen]

Bonsoir mariposa,
je crois que mon question a de sens ,
dans se link :
http://physicspages.com/2011/01/17/p...-and-momentum/
l'auteur deduire la valeure moyenne <P> en utilisant seulement l'equation de schrodinger en posant <P> = m d<x>/dt sans postuler l'operateur de quantité de mouvement ,
pourquoi on ne peut pas deduire la relation complete entre la position et quantité de mouvement (TF) sans l'operateur de quantité de mouvement ?
je vois <P> = m d<x>/dt est plus intuitif de la concept de l'operateur !
on peut compris l'equation de shrodinger sans connaitre l'operateur c'est une equation d'onde c'est a dire bien sure l'operateur implique l'equation de shrodinger mais mathematiquement l'equation de shrodinger n'implique pas necessairement l'operateurs ... .
Merci.

[Deedee81]

Salut,

on peut compris l'equation de shrodinger sans connaitre l'operateur c'est une equation d'onde c'est a dire bien sure l'operateur implique l'equation de shrodinger mais mathematiquement l'equation de shrodinger n'implique pas necessairement l'operateurs ... .

En fait ce sont bien des opérateurs.... auxquels on ne donne pas le nom. Sans plus. Ce qui me fait d'ailleurs dire que les opérateurs c'est quand même pas si compliqué (enfin, ça dépend jusqu'où on va, évidemment).

P.S. c'était juste une précision, ça ne change rien à la déduction donnée en lien que je n'ai pas eut le temps examiner.

[khoder_mazen]

Merci beaucoup.