Bonjour à tous et joyeuses fêtes,
Je suis depuis quelques jours coupés de mes livres et je suis assailli par un doute affreux, si on prend un champ de vecteur en RG, peut il s'ecrire globalement comme une somme finie? J'utilise ici les conventions de sommation d'Einstein.
Joyeuses fêtes.
Bonjour,
En l'etat on pourrait repondre oui comme non a ta question, peux tu etre un peu plus explicite?
Bonjour. Oui, si l'espace-temps peut être décrit par une seule carte de coordonnées
Ca depend egalement.
Si dans la somme on ne s'autorise a prendre que maximum 4 termes (sur l'espace temps, variété de dimension 4 donc), alors effectivement dans le cas general on ne peut pas. Mais meme sur une variété qui n'est pas un ouvert de R^4 et meme si on se limite a une somme de 4 termes, on peut quand meme parfois ecrire globalement une champ de vecteur comme ca (par exemple sur un tore), une condition necessaire et suffisante est d'etre parallelisable.
Mais meme en disant cela, on extrapole un peu la question parce qu'en toute rigueur les champs \partial_x_i ne sont pas definis globalement.
Si dans la somme on s'autorise plus de 4 termes, alors on peut toujours ecrire un champ de vecteur globalement comme l'expression donnée, par le lemme d'Uryshon.
