équation de Schrödinger, U(1) et le 4-potentiel

[Castitatis]

Bonjour,

j'suis récemment tombé sur pdf (j'ai pas eu intelligence d'enregistrer) qui parlait de l'invariance de jauge de l'équation de Schrödinger par rapport à U(1), où la transformation est . Quand on rend le changement de phase local on fait apparaitre les champs compensatoires et pour les dérivées.


où ces champs se transforment lors d'un changement de phase comme ça :


Donc exactement comme les transformation du 4-potentiel en électromagnétisme qui laissent invariantes de jauge les équations de Maxwell.

L'auteur faisait alors remarquer, qu'à partir de l'équation Schrödinger qui est classique (au sens non-relativiste) on arrive à retrouver l’électromagnétisme (via le 4-potentiel) qui est relativiste!
Je trouvais ça intrigant et j'me demandais comment c'était possible? pure coïncidence?
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[mariposa]

Bonjour,

j'suis récemment tombé sur pdf (j'ai pas eu intelligence d'enregistrer) qui parlait de l'invariance de jauge de l'équation de Schrödinger par rapport à U(1), où la transformation est . Quand on rend le changement de phase local on fait apparaitre les champs compensatoires et pour les dérivées.


où ces champs se transforment lors d'un changement de phase comme ça :


Donc exactement comme les transformation du 4-potentiel en électromagnétisme qui laissent invariantes de jauge les équations de Maxwell.

L'auteur faisait alors remarquer, qu'à partir de l'équation Schrödinger qui est classique (au sens non-relativiste) on arrive à retrouver l’électromagnétisme (via le 4-potentiel) qui est relativiste!
Je trouvais ça intrigant et j'me demandais comment c'était possible? pure coïncidence?

Bonsoir,

Non ce n est pas le hasard et cela correspond aux theorie generales des theories de jauge. a noter que dans la presentation que tu prsentes la RR n'apparait pas explicitement car il faudrait montrer que A et V forment un quadrivecteur ce qui n'est pas le cas. Cela est lié au fait que l invariance de jauge locale n'a rien a voir avec l invariance relativiste. Ce sont 2 choses totalement independantes.

[Castitatis]

a noter que dans la presentation que tu prsentes la RR n'apparait pas explicitement car il faudrait montrer que A et V forment un quadrivecteur ce qui n'est pas le cas

Donc le et qu'on introduit dans l'équation de Schrödinger ne sont pas les composantes du 4-potentiel? Mais ça représente quoi alors?

[mariposa]

Donc le et qu'on introduit dans l'équation de Schrödinger ne sont pas les composantes du 4-potentiel? Mais ça représente quoi alors?

Si ce sont bien les 4 composantes d'un quadrivecteur, mais dans l invariance de jauge cela n intervient pas. Autrement dit tu es censé ignorer que les équations de Maxwell sont strictement relativistes. C est pourquoi tu as une équation invariante de jauge en partant d une équation decSchrodinger qui n est pas relativiste.

Tu peux formellement recommencer le calcul avec un V' et un A' et tu auras la même démonstration.

autre remarque: tu n as pas fait intervenir que t,x, y,z formait un quadivecteur

[A voir en vidéo sur Futura]

[Castitatis]

tu n as pas fait intervenir que t,x, y,z formait un quadivecteur

C'est pas le cas non?

Mais donc et de l'équation de Schrödinger se transforment différemment de de l'équation de Maxwell dans un changement de référentiel?

[albanxiii]

Bonjour,

j'suis récemment tombé sur pdf (j'ai pas eu intelligence d'enregistrer) qui parlait de l'invariance de jauge de l'équation de Schrödinger par rapport à U(1), où la transformation est . Quand on rend le changement de phase local on fait apparaitre les champs compensatoires et pour les dérivées.

Serait-ce http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain....quant/RQ2.pdf ?

D'ailleurs, vous avez le même concept développé de façon un peu différente dans les autres cours de théorie quantique des champs, disponibles à la même page : http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain/ ("Cours (DEA de Physique nucléaire et des particules, Grenoble, 1981-82)" et "Cours (DEA Champs, Particules, Matières, Paris 7, 1992-93)").

@+

[mariposa]

C'est pas le cas non?

Mais donc et de l'équation de Schrödinger se transforment différemment de de l'équation de Maxwell dans un changement de référentiel?

Comme tu as une équation de Schrodinger qui n est pas invariante de Lorentz tu ne peux pas faire une transformationde Lorentz je n aurais pas du mentionner V' et A'

[Castitatis]

D'ailleurs, vous avez le même concept développé de façon un peu différente dans les autres cours de théorie quantique des champs, disponibles à la même page : http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain/ ("Cours (DEA de Physique nucléaire et des particules, Grenoble, 1981-82)" et "Cours (DEA Champs, Particules, Matières, Paris 7, 1992-93)").

ah voilà merci, oui c'était dans un des cours manuscrits que j'avais vu ça mais je retrouve plus quel pdf c'était...

Comme tu as une équation de Schrodinger qui n est pas invariante de Lorentz tu ne peux pas faire une transformationde Lorentz

Oui, mais donc et se transforment différemment?

[Castitatis]

Enfin ce qui me trouble c'est que ça semble être les mêmes objets sans l'être.
Qu'est ce qui nous permet de dire que c'est en fait l'électromagnétisme dans le cas de Schrödinger? Comment ça se transforme sous changement de phase puis en voyant le parallèle avec l'invariance de jauge de l'électrodynamique?

[mariposa]

Enfin ce qui me trouble c'est que ça semble être les mêmes objets sans l'être.
Qu'est ce qui nous permet de dire que c'est en fait l'électromagnétisme dans le cas de Schrödinger? Comment ça se transforme sous changement de phase puis en voyant le parallèle avec l'invariance de jauge de l'électrodynamique?

Bonjour,

Il me semble que ce qui te troubles est une question methodologique. Je te fais la proposition suivante:

Suposons que tu étudies les équations de Maxwell et que tu introduis le 4 vecteur ( V, Ax,....) et avec la transformée de Lorenz L tu as ( V',A', ...) = L (V, Ax, ....) oû L est une matrice 4°4 qui melange les composantes du quadripotentiel. On supose que tu ignores le changement de jauge.

Maintenant tu écris ton équation de Schrodinger couplées au champ électromagnetique ( V, Ax,....).

que fait un changement de jauge locale defini comme un changement de phase en chaque point de l'espace-temps?

Il effectue des translations separees sur chaque composante du quadripotentiel. On peut donc écrire a partir de ( V, Ax,....)

(V'', Ax'', .....) = ( V + dg(r,t)/dt, Ax + dg(r,t)/dx, .....)

On voit bien la difference a partir de ( V, Ax, .....) on obtiend 2 nouveaux quadripotentiels dans le premier cas on a des transformztions de Lorentz qui melangent les composantes qui forment le groupe SO (1,3) et dans le deuxieme cas des quadripotentiels obtenus par des translations séparées sur chaque composante induites par la rotation U(1) des phases locales.

[albanxiii]

Re-bonjour,

ah voilà merci, oui c'était dans un des cours manuscrits que j'avais vu ça mais je retrouve plus quel pdf c'était...

Des deux cours de TQC, je préfère "Sur le champs", et j'ai trouvé ce chapitre http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain...urs/SLC.08.pdf qui commence par l'invariance de jauge locale. Je n'ai pas cherché dans "La clé des champs".

@+