élastique idéal - qui converge vers un point

[acx01b]

Bonjour,

Je cherche à étudier l'équation d'un élastique (fermé) idéal dans le plan 2D (le plan complexe) qui à partir d'une certaine position cherche à se contracter en un point.

Mon élastique c'est où est le temps et est le paramétrage de l'élastique, avec qui se confond avec

1. Si je choisis l'équation j'aurai des phénomènes oscillatoires stationnaires et mon élastique pourra ne pas converger vers un point.
   En effet, si à mon élastique est à l'arrêt et a la forme d'un cercle de rayon 1 alors , me donne comme solution qui oscille sans s'arrêter.
   
2. Si je choisis l'équation alors je reprends ,
   je cherche une solution de la forme
   
   je pose ce qui donne le polynôme caractériques ,
   ,
   
   • si est petit, et
     donc donc
     
   • sinon est grand, , ,
     ou au final j'ai et
     
   Donc je n'ai plus ce phénomène oscillatoire dans le cas de l'élastique en forme de cercle.

Mais comment faire pour prouver que dans le cas général, quelque soit l'état de l'élastique au départ, il convergera vers un point ? Je suppose qu'il faut trouver un invariant du style

énergie totale = énergie potentielle + énergie cinétique + pertes

et prouver que les pertes font converger les deux autres vers 0 ?

Merci
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[acx01b]

pardon j'ai mélangé des x et des u : c'est la même variable

Je pense que la solution est de décomposer en série de Fourier puisque est le paramétrage du lacet mais il peut très bien aussi être périodisé.




Puis on résout pour chaque comme précédemment.
On trouve de la même manière que converge vers le point le coefficient constant de la série de Fourier.

Pour les énergies potentielles et cinétiques (et les pertes) je suppose qu'on doit les déduire facilement des coefficients de Fourier ?

Ça m'amène à la question suivante : si maintenant l'élastique est contraint de se mouvoir dans un ouvert connexe du plan complexe ? Quelle équation de collision devrais-je utiliser pour assurer la convergence vers un point, et pour que reste par rapport à chacune des variables (si l'état initial était ) ?

Merci

[acx01b]

sinon pour l'énergie cinétique je pense que ça va :



donc

avec la "densité angulaire" de l'élastique

mais je n'arrive pas toujours pas à déterminer les autres quantités : énergie potentielle, pertes / énergie totale

Est-ce que quelqu'un aurait la gentillesse de me donner un coup de pouce ?

Est-ce que j'ai le droit de considérer l'équation sans perte
pour déterminer à partir des conditions initiales (vitesse nulle donc uniquement de l'énergie potentielle) l'énergie cinétique que ça aurait donné, et donc en déduire l'énergie potentielle initiale ?

Merci