Capillarité, ménisque et perturbation

[Snowey]

Bonjour

Je dois réaliser, dans le cadre d'un mini-projet de maths, la résolution numérique d'une EDP elliptique, mais j'aimerais si possible éviter de traiter de la fameuse membrane élastique avec son équation de Poisson.
De façon absolument indépendante, je m'intéresse depuis peu de temps aux phénomènes liés à la capillarité, j'ai d'ailleurs commencé à lire Gouttes, bulles, perlets et ondes de Quéré, Brochard-Wyart et de Gennes (j'adore !).
J'aimerais lier les deux, en résolvant numériquement une équation issue de cette belle physique des surfaces.
Seulement j'ai besoin de votre aide.
Voilà la problématique que je voudrais poursuivre: quelle est la surface perturbée d'un plan d'eau dans lequel plonge une "fôret" de fibres ?
Cela m'est inspiré de la lecture de l'ouvrage déjà cité.


Prenons d'abord le cas d'une seule fibre, de rayon b, plongée dans de l'eau.



Il est mentionné que loin de cette distance capillaire , la fibre crée une perturbation de la surface décrite par l'équation en deux dimensions .
On peut la comprendre à une dimension en disant que la courbure loin du ménisque est faible donc s'approche par , et que l'égalité des pressions hydrostatique et de Laplace donne .

D'autres calculs sont menés, notamment celui de la hauteur estimée du ménisque.

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1) On peut utiliser l'équation de Laplace pour avoir une idée de la forme du ménisque (la gravité est alors faible dans un rayon de l'ordre de la longueur capillaire ) parametrée par (si l'angle de mouillage est nul, r étant la distance à la fibre et la hauteur du ménisque).
Pour estimer h, le raisonnement proposé est alors le suivant: "Le profil donné par cette équation ne peut pas être raccordé avec le réservoir infini. C'est la gravité qui empêche le ménisque de s'étendre indéfiniment. En lui imposant une extension latérale maximale égale à la longueur capillaire, avec et l'équation précédente conduit à "
Grosso modo, on a donc estimé la hauteur du ménisque dans cette configuration simple.

Bilan: J'obtiens bien une EDP elliptique qui modélise la perturbation de la surface de l'eau loin d'une fibre, mais il me manque des conditions aux limites pour pouvoir en faire quoique ce soit. Or, étant dans une zone (loin relativement à la longueur capillaire du fluide), je ne sais pas que dire des conditions proche de la fibre ! (à l'infini, l'altitude est nulle)
Auriez vous des pistes pour pouvoir exploiter cette modélisation ?

Si c'est le cas, j'aimerais essayer de généraliser ça (dans un second temps) à une situation de plusieurs fibres disposées dans l'eau (de façon convenable, c'est à dire notamment éloignées de quelques longueurs capillaires au minimum).

Un grand merci d'avance à ceux qui me liront et décideront de m'aiguiller !

PS: si vous pensez que c'est une reflexion vouée à l'échec ou idiote faîtes m'en part. Je suppose que cet effet de perturbation est très léger pour une fibre mais pour plusieurs ... ?

PS bis: pour la condition aux limites recherchée, j'avais pensé à utiliser la hauteur du ménisque. Sauf qu'à cet endroit l'équation elliptique ne modélise absolument pas la surface.
Egalement j'avais pensé à regarder la conservation du volume pour estimer l'altitude moyenne à une distance de la fibre. Sauf qu'en travaillant en plan d'eau "infini" cela ne marche pas (le volume ne se quantifie pas). Peut être travailler dans une "flaque restreinte" (mais pas trop, sinon je crois savoir que d'autres phénomènes se produisent pour une trop faible épaisseur, pression de disjonction, longueur de cicatrisation, etc... et puis la deuxième condition aux limites se complexifie du même coup).
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[LPFR]

Bonjour.
Je suis d'accord sur le livre (que j'ai dans ma bibliothèque).
Mais je ne vois pas l'utilité de le calculer en tant que perturbation alors que l'équation différentielle peut s'écrire pour l'ensemble de la surface.
Les conditions limites sont données par l'angle de contact liquide-solide (zéro pour l'eau-verre).
Au revoir.

[Snowey]

Merci de répondre.
C'est seulement que ce n'est pas une equation différentielle linéaire elliptique :/
Finalement j'essaie de retrouver une forme semblable avec l'équation approximee aux grandes distances.

[Snowey]

Je suis preneur de toute suggestion.
Notamment, si vous pensez que c'est infaisable sans être tiré par les cheveux alors j'abandonne :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[VirGuke]

Que penses tu de le modéliser comme une source ?

En fait la fibre est une singularité pour ton équation elliptique, je dirais que tu peux résoudre
.

[Snowey]

je ne sais pas ...

Pour que la surface perturbée obtenue soit un minimum intéressante (et donc quasi-plate) je pense qu'il vaut mieux laisser deux fibres distantes de quelques longueurs capillaires (là ou la gravité intervient peu) + une zone effective d'eau libre ou on observe la perturbation. Mais cette zone libre ne doit pas être trop grande sinon on ne peut pas voir les effets de la capillarité à longue distance (car ils sont sans doute très faibles). Du coup un Dirac me semble inapproprié puisque les zones de singularité sont plutôt larges. Je pensais plutôt m'orienter vers une condition aux limites sur la zone qui entoure chaque fibre ( à quelques distances capillaires d'elle donc). Mais laquelle ... ?

[VirGuke]

un Dirac me semble inapproprié puisque les zones de singularité sont plutôt larges

Pourquoi ça??

Introduire un Dirac dans la courbure c'est juste une discontinuité dans le gradient, la taille de la zone perturbée va varier continument en fonction de l'importance de la discontinuité.

En fait pour moi, utiliser ton équation linéarisée c'est implicitement se placer à une échelle très supérieure à la taille de la fibre (et la longueur capillaire), donc contracter ce qui se passe au niveau de la fibre en un point.

Je pensais plutôt m'orienter vers une condition aux limites sur la zone qui entoure chaque fibre ( à quelques distances capillaires d'elle donc)

Si tu veux, tu pourrais prendre un domaine de calcul, exclure un disque de rayon et fixer comme condition limite la dérivée normale. Mais ça, si tu fais tendre la taille du disque vers 0 ça revient à un dirac dans le laplacien.
Je dis la dérivée normale parce qu'elle est fixée par la courbure et l'angle de contact avec la fibre alors que la hauteur est fixée par le niveau local (genre la présence d'un autre fibre ^^). Après ce qu'on fait des fois pour améliorer ce genre de conditions limites c'est que tu peux calculer analytiquement une perturbation de ton calcul autour de la fibre pour évaluer comment la dérivée au bord de ton domaine varie en fonction de ce qui est imposé à l'extérieur.

edit : J'oubliais, les conditions limites sont plus ou moins faciles à imposer en fonction de la méthode numérique choisie, donc ça va dépendre de ça aussi, parce qu'un Dirac en différences finis c'est pas la joie

[Snowey]

edit : J'oubliais, les conditions limites sont plus ou moins faciles à imposer en fonction de la méthode numérique choisie, donc ça va dépendre de ça aussi, parce qu'un Dirac en différences finis c'est pas la joie

Effectivement !
Je dois utiliser Freefem++, et éventuellement compléter avec des études sur Scilab. Et comme je dois effectuer une analyse théorique préalable, j'aimerais (au moins dans un premier temps) ne pas utiliser de Dirac.
Je pense comme vous que les fibres sont des perturbations relativement ponctuelles (le diamètre sera assez faible de toute façon), mais pour optimiser la perturbation (la rendre intéressante, en somme) je pensais qu'il fallait une configuration où elle se voit. Or si j'espace trop mes fibres, on risque de ne plus rien voir, ne pensez vous pas ? (en 1D, loin de la fibre)

Je n'avais pas pensé à une condition sur la dérivée, mais en effet elle ne dépend que de l'angle de raccord entre le fluide et la fibre puisqu'à cette distance on néglige la gravité.
En réutilisant le profil calculé dans le livre (courbure nulle), j'obtiens donc à une distance de l'ordre de la longueur capillaire j'aurai la condition (je ne sais pas si l'approximation est utile).
J'ai l'impression que cela peut marcher !

je vais me lancer, ou du moins essayer.

[VirGuke]

Moi je me méfierai de l’interaction entre les deux fibres dans la mesure où tu vas flirter avec les limites du modèle.

Par contre je serai curieux de voir le résultat.

[Snowey]

Je vais essayer de finir les simulations aujourd'hui, mais j'avais prévu de toute façon de prendre 3 espacements différents entre fibres pour tester (demi-longueur capillaire, qques longueurs capillaires et une dizaine de longueurs capillaires). Egalement je me demandais si cela change grand chose de prendre pour condition aux limites au bord du domaine une dérivée nulle.

[maybemaybenot]

Bonjour,

je suis peut-être complètement largué mais je ne comprends pas quel est le problème que tu te poses. Je m'explique en commentant en vert ce que tu écris :

Bonjour

Je dois réaliser, dans le cadre d'un mini-projet de maths, la résolution numérique d'une EDP elliptique, mais j'aimerais si possible éviter de traiter de la fameuse membrane élastique avec son équation de Poisson.
De façon absolument indépendante, je m'intéresse depuis peu de temps aux phénomènes liés à la capillarité, j'ai d'ailleurs commencé à lire Gouttes, bulles, perlets et ondes de Quéré, Brochard-Wyart et de Gennes (j'adore !).
J'aimerais lier les deux, en résolvant numériquement une équation issue de cette belle physique des surfaces.
Seulement j'ai besoin de votre aide.
Voilà la problématique que je voudrais poursuivre: quelle est la surface perturbée d'un plan d'eau dans lequel plonge une "fôret" de fibres ?
Cela m'est inspiré de la lecture de l'ouvrage déjà cité.


Prenons d'abord le cas d'une seule fibre, de rayon b, plongée dans de l'eau. [longueur capillaire = 3mm. Je la note lc, c'est plus simple]

Pièce jointe 246945

Il est mentionné que loin de cette distance capillaire , la fibre crée une perturbation de la surface décrite par l'équation en deux dimensions .
On peut la comprendre à une dimension en disant que la courbure loin du ménisque est faible donc s'approche par , et que l'égalité des pressions hydrostatique et de Laplace donne . [ce ne serait pas plutôt p0+rho g z ?]

D'autres calculs sont menés, notamment celui de la hauteur estimée du ménisque.

 Cliquez pour afficher

1) On peut utiliser l'équation de Laplace pour avoir une idée de la forme du ménisque (la gravité est alors faible dans un rayon de l'ordre de la longueur capillaire ) parametrée par (si l'angle de mouillage est nul, r étant la distance à la fibre et la hauteur du ménisque).
Pour estimer h, le raisonnement proposé est alors le suivant: "Le profil donné par cette équation ne peut pas être raccordé avec le réservoir infini. C'est la gravité qui empêche le ménisque de s'étendre indéfiniment. En lui imposant une extension latérale maximale égale à la longueur capillaire, avec et l'équation précédente conduit à "
Grosso modo, on a donc estimé la hauteur du ménisque dans cette configuration simple.

Bilan: J'obtiens bien une EDP elliptique qui modélise la perturbation de la surface de l'eau loin d'une fibre, mais il me manque des conditions aux limites [près de la fibre ou loin de la fibre ?? Tu as l'air de chercher les deux !] pour pouvoir en faire quoique ce soit. Or, étant dans une zone (loin relativement à la longueur capillaire du fluide [inférieur ou égal, tu n'es pas "loin"]), je ne sais pas que dire des conditions proche de la fibre ! [tu n'en as pas besoin, il a été trouvé un profil en cosinus hyperbolique avec la condition aux limites d'angle de contact nul.] (à l'infini, l'altitude est nulle [pas à l'infini, on a imposé la condition z=0 dès une longueur capillaire autour de la fibre])
Auriez vous des pistes pour pouvoir exploiter cette modélisation ?

Si c'est le cas, j'aimerais essayer de généraliser ça (dans un second temps) à une situation de plusieurs fibres disposées dans l'eau (de façon convenable, c'est à dire notamment éloignées de quelques longueurs capillaires au minimum) [Si tu cherches une perturbation au-delà d'une longueur capillaire, tu ne trouveras rien, les fibres ne se "voient" pas. La condition imposée ad hoc de surface plane au-delà d'une longueur capillaire est due au fait qu'on ne "peut pas raccorder" la solution trouvée et la condition à l'infini z(r>>lc)=0. Ce n'est pas une approximation, l'observation te montre qu'en effet la fibre ne perturbe pas la surface au-delà d'une longueur capillaire, et en fait avant même d'atteindre cette distance].

Un grand merci d'avance à ceux qui me liront et décideront de m'aiguiller !

PS: si vous pensez que c'est une reflexion vouée à l'échec ou idiote faîtes m'en part. Je suppose que cet effet de perturbation est très léger pour une fibre mais pour plusieurs ... ? [Si j'ai bien compris, tu cherches à te passer de cette condition "imposée" pour relier le profil en cosh et la zone plate. Je pense qu'en effet, c'est voué à l'échec. Je pense que le problème serait intéressant si au contraire tu cherchais ce qui se passe quand les fibres sont proches (tu trouveras alors une sorte de loi de Jurin à l'envers).]

PS bis: pour la condition aux limites recherchée, j'avais pensé à utiliser la hauteur du ménisque. Sauf qu'à cet endroit l'équation elliptique ne modélise absolument pas la surface.
Egalement j'avais pensé à regarder la conservation du volume pour estimer l'altitude moyenne à une distance de la fibre. Sauf qu'en travaillant en plan d'eau "infini" cela ne marche pas (le volume ne se quantifie pas). Peut être travailler dans une "flaque restreinte" (mais pas trop, sinon je crois savoir que d'autres phénomènes se produisent pour une trop faible épaisseur, pression de disjonction, longueur de cicatrisation, etc... et puis la deuxième condition aux limites se complexifie du même coup).

Enfin, as-tu fait quelques calculs d'ordre de grandeur pour savoir pour quel diamètre de fibre la condition h>>b est vérifiée et utiliser la solution h=b.ln(2.lc/b) ? C'est instructif. Si tu prends une fibre de 1mm de diamètre dans l'eau, tu trouveras une hauteur de ménisque de 1,24mm : tu ne vérifies pas la condition h>>b=0.5mm. Avec une fibre de 100 microns de diamètre, tu trouveras h=2400 microns, soit un ordre de grandeur. Là c'est bon. Imagine maintenant deux fibres de 100 microns (diamètre d'un cheveu) éloignées de 6mm (deux lc. Une suffirait) dans l'eau. Tu imagines intuitivement ce qui se passerait. La surface sera dramatiquement plane entre les deux. Je comprends que tu te poses un problème de façon "théorique", mais même en physique classique, il faut savoir reconnaître que certains problèmes ne sont pas solubles, ou alors sont de véritables problèmes de recherche, et savoir s'inspirer de l'expérience.

Dans ton dernier message, je pense que tu tournes en rond : tu cherches la courbure d'une surface plane (soit dz/dr=0) en donnant une solution dz/dr=b/lc=b/3 avec b en mm. Tu vérifies bien que plus la fibre est fine, moins son effet se fait sentir à une distance d'une longueur capillaire. Mais ça ne t'apprend pas grand chose, puisque tu sais déjà que dz/dr=0 est largement vérifié à cette distance (à ce propos, on n'a pas z(x>>lc)=exp(...) mais z=0, strictement).

Au fait, peux-tu donner explicitement l'EDP elliptique que tu trouves "loin de la fibre" ?

J'espère que j'ai été clair, et pas complètement à côté de la plaque !

A+

[Snowey]

Hm, oui j'ai bien conscience que si variations du niveau de l'eau il y a, alors elles seront "infinitésimales" (ce qui me chagrine un peu, mais bon). En fait, je voulais juste résoudre numériquement une EDP elliptique (cadre d'un devoir si l'on veut) en lien avec ce qui m'intéresse actuellement (la capillarité en somme, puisque je lis le livre cité plus haut).
En ce sens il peut être intéressant d'observer une loi de Jurin entre deux fibres, mais ce n'est absolument pas elliptique.

Je réponds à ce que tu as écrit en vert:
- ok
- non je ne crois pas
- je cherche loin de la fibre, les variations très légères de l'eau
- en effet, comme l'a fait remarquer VirGuke je "joue avec les limites" en m'éloignant le moins possible de la fibre pour que l'effet de la pente du ménisque soit encore légèrement visible.
- hm... c'était dans l'idée d'une étude loin des fibres là où en toute rigueur (mathématique mais pas vraiment physique) l'eau n'est pas parfaitement plate, cf EDP.
- on impose cette relation pour estimer la hauteur d'eau, elle n'est vraie que physiquement. Et je n'ai pas besoin de cette hauteur, je cherche à ne pas l'utiliser (sinon effectivement, je tournerais grave en rond)
- oui, c'est ce dont j'ai peur: que les fibres soient trop éloignées pour que les variations d'eau soient visibles. C'est même presque certain. Il n'empêche que la perturbation, toute ridicule qu'elle soit, existe forcément. (d'ailleurs on ne peut pas raccorder la solution du ménisque parce que c'est une approximation, quand bien même elle est largement suffisante)
- peut être, oui.

Pour finir, je dirais que si je n'avais pas eu à modéliser un phénomène elliptique, mes yeux ne se serraient pas attardés plus que ça sur la ligne du bouquin (équation loin des fibres ) puisqu'il est clair d'après l'expérience (et le sens physique) que tout cela est imperceptible si je puis dire.

PS: si vous connaissez des phénomènes physiques surprenants, ou originaux dont une partie est régie par une EDP elliptique je suis partant.
Cela fait très scolaire de demander ça, et c'est en ce sens que j'étais "content" d'avoir trouvé ma propre EDP elliptique, même si sa résolution ne va pas éclairer le monde (ah, non, l'eau n'est pas totalement plate, elle l'est presque ...)

[LPFR]

Bonjour
Si ce que vous cherchiez étaient des problèmes de physique qui donnent des équations différentielles elliptiques, il suffisait de le demander à St Google.
Vous auriez trouvé des articles comme celui-ci:
http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&...,d.d2k&cad=rja
Au revoir.

[Snowey]

Sans avoir encore lu l'article je peux vous citer les équations d'Helmholtz, l'électromagnétisme, les membranes élastiques isotropes en faibles déplacements, certains écoulements de fluides, équation de la chaleur stationnaire, diffusions (par exemple concentration d'espèces chimiques ou chimiotactisme de cellules). Je n'ai jamais dit que je n'avais pas cherché ailleurs, seulement que je voulais me démarquer !

Avec tout le respect que je vous dois, c'est irritant de se voir répondre une phrase cinglante (et gratuite) alors que l'on a pu faire des efforts, et que l'on est attentif aux remarques des autres ... Et c'est exacerbé par le "au revoir", je présume.

[VirGuke]

Et c'est exacerbé par le "au revoir", je présume.

Soir,

Ne le prends pas comme ça, LPFR termine toujours ses messages par "Au revoir", je crois que ça n'a rien de cinglant

Sinon je reste convaincu que ça vaut le coup d'essayer, surtout si c'est pour un projet/devoir numérique, quitte à dire à la fin que les équations ne reflètent pas la réalité. Comme tu le dis l'équation elliptique est vraie quand la courbure peut être approximée par le laplacien, ce qu'il te reste à faire c'est de vérifier que tes conditions limites sont consistantes.

Si c'est les problèmes capillaires qui t'intéressent lance toi, commence par une dérivée normale fixée sur tout un cercle ou un dirac sur un point et après discute des résultats, quitte à dire qu'ils sont faux, c'est tout aussi valable.

[JPL]

Je m'explique en commentant en vert ce que tu écris

Tu n'as pas lu la charte du forum : le vert est réservé à la modération.

[Snowey]

ça y est, j'ai obtenu quelques simulations qui ne me semblent pas nulles.

[VirGuke]

Stylé!

Tu peux préciser à quoi correspond quoi ?

Et par hasard, tu aurais tracé la norme et la direction du gradient?