Qu'est-ce que le mouvement Brownien?

[Nabuzay]

Bonjour,

En cherchant sur wikipédia , il est marqué que le mvmt Brownien est la description d'une grosse molécule dans une fluide contenant des petites molécules .

Cependant dans mon cours il n'y a pas de distinction et semble effectué l'étude sur une particule quelconque du fluide ...
Ainsi il applique le pfd sur x:

mx''= F(x)-6PiRnx'
F(x) résultant des chocs dont la moyenne est nulle au repos

Mais il dit que lorsque la particule bouge , la moyenne de F(x) est non-nulle et la force de stockes compensent cette moyenne non nulle.
Mais pourquoi est-ce qu'elle serait non-nulle si le mouvement est aléatoire ...?

De plus c'est écrit que la force de Stockes est une force visqueuse qui existe que au niveau macro ..
Pourquoi alors l'écrire sur le pfd d'une particule quelconque qui est donc micro?

Merci beaucoup pour votre aide
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[iori]

De plus c'est écrit que la force de Stockes est une force visqueuse qui existe que au niveau macro ..
Pourquoi alors l'écrire sur le pfd d'une particule quelconque qui est donc micro?

Je m'était posé la même question et la réponse avait été: normalement on ne devrait pas pouvoir le faire, mais si on le fait on retrouve des bonnes valeurs de coefs de diffusion moléculaire.
Ce n'est pas complètement satisfaisant j'en conviens.

[Nabuzay]

Merci

encore du bricolage pour la physique !! ^^

[gatsu]

Salut,

Il faudrait que tu precises ton niveau parce qu'il y a tellement de choses a dire sur ton message que je ne sais pas par ou commencer ! Et il serait bon de ne pas conclure "encore du bricolage pour la physique" a la vas vite d'autant que ton cours sur le sujet parait soit mauvais, soit mal recopie.

Lorsque tu ecris l'equation de Langevin (c'est comme cela qu'elle s'appelle) :



est en effet une force aleatoire dont la distribution de probabilite depend du temps en general (c'est ce qu'on appelle un processus stochastique en mathematique).

Pour se representer ce que cela veut dire, il faut imaginer observer plein de copies du meme systeme avec la meme condition initiale. La valeur "tiree" pour a l'instant par exemple sera differente pour chaque copie du systeme (dans les modeles discrets de mouvement Brownien, la particule va soit vers l'avant soit vers l'arriere comme si on tirait a pile ou face la valeur de la force a chaque instant).

Pour le mouvement Brownien la moyenne de sur l'ensemble des copies du systeme est effectivement nulle. Cela n'empeche pas que chaque realisation de cette force aleatoire (pour chacune des copies) n'est pas nulle. Et c'est la qu'intervient la force de Stockes qui consiste a diminuer la vitesse acquise par la particule en raison d'un plus grand nombre de collisions avec les particules "devant elle" qui la repoussent dans la direction opposee a celle de son deplacement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nabuzay]

Merci pour cette réponse gatsu

J'ai encore un peu de mal à saisir le concept:

le pfd s'applique sur une particule, ainsi F(t) correspond à la force d'un choc avec une autre particule ( ainsi F vaut souvent 0 puisque le temps de collision est petit dans le temps entre 2 chocs) et la force de stockes représente la moyenne non-nulle de cette force pour la particule selon s'y elle s'est prit plus de chocs par devant ou par derrière (alors que c'est une force qui n'existe qu'au niveau macroscopique ,.....)?


Et pourquoi F(t) est nulle en moyenne sur le système :
-car le systeme macro est au repos ? c'est alors une caractéristique du mouvement Brownien ?



Enfin on parle de mvmt et chocs de particule tout le temps , qu'est-ce que ce mvmt Brownien apporte-il en + ? Il permet de déterminer qu'est-ce qu'une particule à parcouru pendant le temps t ? (puisque de toute facon la vitesse on la connait avec l'energie cinetique de translation )

[Nabuzay]

pour mon niveau , je vais rentré en 2eme année de prépa PC

[gatsu]

le pfd s'applique sur une particule, ainsi F(t) correspond à la force d'un choc avec une autre particule ( ainsi F vaut souvent 0 puisque le temps de collision est petit dans le temps entre 2 chocs)

Non c'est le contraire la force n'est en gros jamais nulle. Elle peut etre tres probablement proche de zero mais n'est pas egale a zero pour autant....et je ne suis pas sur de comprendre l'argument que tu proposes pour justifier le fait que "F vaut souvent 0".

et la force de stockes représente la moyenne non-nulle de cette force pour la particule selon s'y elle s'est prit plus de chocs par devant ou par derrière (alors que c'est une force qui n'existe qu'au niveau macroscopique ,.....)?

Pour etre clair; la force de Stockes en s'oppose aux variations de vitesses aleatoires generees par les collisions. Ainsi, si une particule recoit un choc a t=0 et part dans une certaine direction, la force de Stockes va progressivement diminuer la vitesse jusqu'a ce que la particule perde completement la memoire de sa vitesse initiale.

Comme tu le soulignes, un tel modele ne fait a priori sens que si il y a une "grosse" particule (de taille de l'ordre du nicron ou moins) dans un "bain" de petites particules et dans ce cas il faut plein de petites collisions pour arreter le mouvement de la grosse particule et c'est la force de Stockes. Le mouvement de la grosse particule, lui, commence par un evenement rare au cours duquel les petites molecules ont toutes tappees, au hazard, quasiment dans la meme direction. Cet evenement n'est cependant rare qu'a l'echelle de temps des petites particules (qui est de l'ordre de la picoseconde a la nanoseconde) mais relativement frequent pour l'echelle de temps de la grosse particule (entre la nano et la microseconde) et evidemment tres frequent a notre echelle de temps a nous.

Maintenant, il se trouve que l'on peut aussi utiliser cette equation pour modeliser le comportement de particules "taguees" dans un gaz de particules qui ont les memes proprietes que ces dernieres sauf qu'elle ne sont pas taguees.

La phenomenologie observee est essentiellement la meme mais l'interpretation des termes n'est plus la meme. Comme je l'ai dit plus haut, pour le cas d'une grosse particule de masse ayant une friction de Stockes avec un bain de petites particules, le temps typique pour que la grosse particule perde la memoire de sa trajectoire ballistique est . Pour des particules d'un gaz ou d'un liquide qui sont toutes identiques (probleme d'autodiffusion), la vitesse va changer entierement grosso-modo a chaque collision, mais en meme temps le temps entre deux collisions est aussi distribue statistiquement. Tout se passe donc comme si le temps caracteristique pour perdre la memoire dans ces systemes etait simplement le temps typique moyen entre deux collisions et c'est cette grandeur qui rentrera dans l'equation de Langevin modelisant ces systemes.

Et pourquoi F(t) est nulle en moyenne sur le système

Cela depend de ce que tu cherches comme reponse a un pourquoi....Le F(t) est zero en moyenne parce que le systeme est suppose isotrope et uniforme et a l'equilibre.

-car le systeme macro est au repos ?

donc c'est ca oui oui essentiellement.

c'est alors une caractéristique du mouvement Brownien ?

Le fait que F(t) est nulle en moyenne est en effet une caracteristique du mouvement Brownien (on parle aussi de bruit blanc).

Enfin on parle de mvmt et chocs de particule tout le temps , qu'est-ce que ce mvmt Brownien apporte-il en + ? Il permet de déterminer qu'est-ce qu'une particule à parcouru pendant le temps t ? (puisque de toute facon la vitesse on la connait avec l'energie cinetique de translation )

J'ai du mal a comprendre la question. Mais l'idee est de comprendre le comportement d'une particule "taguee" lorsqu'elle est soumise a des tonnes de collisions avec des milliards de milliards d'autres particules dont on decide de faire abstraction. Et par ailleurs, je ne comprends pas pourquoi tu dis

puisque de toute facon la vitesse on la connait avec l'energie cinetique de translation

puisque ce n'est clairement pas le cas.

[Nabuzay]

Encore merci pour cette réponse très claire.
Cela ma permis de comprendre la nature du mouvement Brownien.

Je pensais que F(t) devrait souvent être nulle car, pour une petite molécule d'un gaz et dans son échelle de temps , elle ne subit pas tout le temps un choc , donc quand elle ne subit pas de choc F(t)=0. Maintenant , pour une plus grosse molécule , avec une échelle de temps plus grosse, je comprends pourquoi on peut dire qu'elle subit toujours des chocs et subit une résultante F(t) des chocs des petites molécules .

Cependant, qu'entends-tu par "perdre la mémoire de la vitesse initiale" , que la vitesse initiale n'a plus d'impact sur le mouvement de la particule ?

merci beaucoup

[Tryss]

Cependant, qu'entends-tu par "perdre la mémoire de la vitesse initiale" , que la vitesse initiale n'a plus d'impact sur le mouvement de la particule ?

Dans le cas d'un mouvement Brownien théorique, la vitesse initiale n'a même aucun impact sur le mouvement de la particule (et même, parler de vitesse d'une particule dont la trajectoire est un mouvement Brownien est non trivial, puisque cette dernière est non différentiable).

En fait, il faut bien se rendre compte que la force de Stokes n'est qu'un passage a la limite de ce qui se passe réellement (comme toujours dès que l'on parle de fluide). Elle n'a de sens que pour les particules dans un fluide : donc une grosse particule entourée de particules considérées comme étant infiniment nombreuses et infiniment petites. La force de Stokes (à l'échelle microscopique), c'est aussi des chocs (les mêmes d'ailleurs).

F(t), c'est la partie des chocs qui correspond aux chocs que recevrait la particule si elle était immobile, et la force de Stokes, c'est la partie des chocs qui correspond aux chocs que reçoit la particule a cause de son mouvement propre (je ne sais pas si je suis très clair). Les deux parties sont la résultante d'une infinité de chocs avec une infinité de particules (= le fluide)


Si la grosse et les petites particules sont du même ordre de grandeur, on n'a plus affaire à un fluide, et on n'a plus un vrai mouvement Brownien

[gatsu]

Dans le cas d'un mouvement Brownien théorique, la vitesse initiale n'a même aucun impact sur le mouvement de la particule (et même, parler de vitesse d'une particule dont la trajectoire est un mouvement Brownien est non trivial, puisque cette dernière est non différentiable).

La vitesse initiale importe sur un temps M/alpha et ce quelque soit l'instant qu'on ait choisi comme étant initial. Par ailleurs le fait que la vitesse ne soit pas dérivable n'est pas vraiment un problème. Ce qui aurait été un problème c'est si elle n'était pas intégrable. Heureusement le mouvement est intégrable indépendamment de la méthode d'intégration utilisée.

[Tryss]

Par ailleurs le fait que la vitesse ne soit pas dérivable n'est pas vraiment un problème. Ce qui aurait été un problème c'est si elle n'était pas intégrable. Heureusement le mouvement est intégrable indépendamment de la méthode d'intégration utilisée.

C'est la trajectoire elle même qui n'est pas dérivable : la vitesse moyenne a un sens (puisque la trajectoire est intégrable, on peut calculer sa longueur) mais pas la vitesse instantanée (au sens classique : il y a un problème si on souhaite passer à la limite)

[gatsu]

C'est la trajectoire elle même qui n'est pas dérivable : la vitesse moyenne a un sens (puisque la trajectoire est intégrable, on peut calculer sa longueur) mais pas la vitesse instantanée (au sens classique : il y a un problème si on souhaite passer à la limite)

Tu confonds l'équation de Langevin (processus de Wiener pour la vitesse) avec l'équation de Langevin suramortie (processus de Wiener pour la trajectoire) non ?
Je dois admettre que lorsqu'on parle de mvt Brownien il n'est jamais clair si on parle de l'équation de Langevin ou de sa version suramortie.

[Tryss]

Je parle de mouvement brownien, donc de processus de Wiener pour la trajectoire... mais c'est vrai que j'aurai du préciser

[gatsu]

Je parle de mouvement brownien, donc de processus de Wiener pour la trajectoire... mais c'est vrai que j'aurai du préciser

OK . Cela dit, je n'ai parle que de l'equation de Langevin ici parce que Nabuzay parlait de la force de Stockes et que l'equation qu'il ecrit est celle de Langevin. Il est vrai que la plupart du temps quand on me dit mouvement Brownien, je pense a un processus de Wiener pour la trajectoire egalement; c'est juste que dans ce fil ce n'est apparemment pas le cas...