Pression en amont et en aval d'une turbine d'hydrolienne

[Arturus]

Bonjour,

Dans un devoir portant sur l'utilisation des courants de marée en vue de production d'électricité, on étudie l'écoulement de l'eau de mer à travers les pales en rotation d'une hydrolienne.
Voici d'abord les différentes hypothèses de travail :
- L'eau de mer est considérée comme un fluide parfait et incompressible.
- L'écoulement est permanent, sauf au voisinage immédiat des pales.
-L'énoncé définit un système constitué par le tube de courant s'appuyant sur les pales en rotation. Ce système fermé est limité par la surface du tube de courant, mais aussi par une section S₁ (entrée du tube) très en amont des pales et par une section S₂ (sortie du tube) très en aval.
- De plus, deux sections S_e et S_s délimitent l'entrée et la sortie des pales par l'eau (elles sont donc à l'intérieur du système défini).
- On suppose que l'écoulement est laminaire en amont et en aval des pales, donc dans tout le tube, sauf entre S_e et S_s, où il y a une discontinuité de charge (heureusement).

On montre d'abord que v_e=v_s (par conservation du débit volumique et d'après l'hypothèse de l'incompressibilité de l'eau de mer)
Puis, on nous demande d'exprimer P₁ et P₂, sachant que :

1. les pressions P₁ et P₂ aux sections S₁ et S₂ sont supposées être la même qu'en dehors du tube, puisque les sections considérées sont suffisamment éloignées de l'hydrolienne.
2. la hauteur des pales (10 m de diamètre) est supposée négligeable devant la hauteur h d'immersion de l'hydrolienne.

Et là, alors que la question m'a semblé facile...je bloque. Je cherche, je cherche. Rien ne vient.

Je ne peux pas utiliser l'équation de Bernoulli, surtout que c'est ce qu'il faut faire à la question d'après (Cf. remarque). Il est clair qu'on ne peut pas définir une ligne de courant entre l'entrée du tube et sa sortie, en raison de la turbulence au niveau des pales.
Je ne peux évidemment pas utiliser la formule de l'hydrostatique, puisque l'hydrolienne est censée être en plein courant de marée et que la profondeur h n'est pas donnée.
Pour la vitesse d'écoulement de l'eau de mer, on nous indique juste qu'elle est inférieure à 5 m/s.

Je me doute que la pression est inférieure en sortie du tube de courant à celle en entrée, en raison de la perte de charge au niveau de l'hydrolienne (qui est censée récupérée cette énergie "perdue" par l'eau).

Bref, la réponse est peut-être très simple, mais je ne parviens pas à la voir.

Remarque: On nous demande à la question suivante d'établir le lien entre P₁, P_e, v₁ et v_e (même chose pour la partie du tube de courant en aval). Là, j'utilise la formule de Bernoulli, légitimement utilisable d'après les hypothèses (fluide parfait, écoulement laminaire et stationnaire, incompressibilité) et c'est plutôt simple.
La question encore après concerne la puissance cédée par l'eau à l'hydrolienne.

Si vous avez tout lu (merci !!), merci de m'indiquer ce qui ne va pas dans mon raisonnement. Je ne veux pas forcément LA réponse, mais une ou des indications susceptibles de m'éclairer.

Merci.
Au revoir.
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[Arturus]

les pressions P₁ et P₂ aux sections S₁ et S₂ sont supposées être la même qu'en dehors du tube, puisque les sections considérées sont suffisamment éloignées de l'hydrolienne.

Je n'ai pas pu modifier un petit détail, donc je le fais ici. J'aurais dû écrire "sont supposées avoir la même valeur qu'en dehors du tube".

[Dynamix]

Salut
En l' absence d' un dessin il est difficile comprendre ton problème , mais :

On montre d'abord que v_e=v_s (par conservation du débit volumique et d'après l'hypothèse de l'incompressibilité de l'eau de mer)

Me fait sursauter .
Pour que les vitesses soient égale il faut que les sections le soient assis .
De même pour la pression dynamique .
Pour qu' hydrolienne ou une éolienne fournisse de l' énergie , il faut que le fluide en perde , donc que sa vitesse soit modifiée .

[Arturus]

Je me doute que la pression .... qui est censée récupérée cette énergie "perdue" par l'eau).[/B].

"qui est censée récupérer cette énergie "perdue" ", plutôt.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arturus]

Oui, c'est vrai, les sections sont égales. Et, je me suis aussi fait cette réflexion. Mais comment les vitesse ne peuvent pas être égales, si l'eau n'est pas compressible et que Se = Ss ?

[Arturus]

De plus, c'est la charge totale qui a diminué au passage par les pales, donc pas nécessairement la vitesse.

[Dynamix]

En plus elle tourne .
C' est sa variation de moment cinétique qui produit le couple .
Cette rotation correspond à une énergie .

[Arturus]

Voici le schéma (que je ne parviens pas à rendre plus petit):

[sitalgo]

B'jour,

Faut pas chercher midi à quatorze heures, en un point éloigné de la turbine la pression est rho.g.h.

[Arturus]

La valeur de h n'est pas donnée.
Le fluide est en mouvement.

[sitalgo]

La pession statique de base n'est pas importante pour la suite. Tu peux rajouter un rho.v²/2 pour la bonne forme.

"les pressions P1 et P2 aux sections S1 et S2 sont supposées être la même qu'en dehors du tube, puisque les sections considérées sont suffisamment éloignées de l'hydrolienne."
Tout est dit là, l'hydrolienne n'a plus d'influence.

[Arturus]

Je peux écrire que : P1+1/2 rhô v₁²+rhô g h = cste , puisque l'écoulement est laminaire aussi loin de l'hydrolienne. Mais, ça ne m'indique pas l'expression de P1. Pareil pour P2.
A la rigueur, pour la suite, je vais pouvoir obtenir :
P₁-P₂=1/2 rhô (v₂² -v₁² ).

[Arturus]

Au pire, je me contente de cette dernière relation, puisque c'est cela qui me semble utile ensuite.
Merci quand même pour vos réponses.
Au revoir.

[sitalgo]

P₁-P₂=1/2 rhô (v₂² -v₁² ).

Oui, j'allais le proposer.

[Dynamix]

Si au moins on connaissait l' énoncé exacte du problème et les question posées , on pourrais t' aider .
Mais on ne sais pas trop ce que tu dois obtenir , il est donc difficile de te dire comment l' obtenir .

[Arturus]

Bon, voyons voir...

En fait, l'énoncé est vraiment long, mais très intéressant. Il s'agit de l'utilisation des courants marins dus aux marées, pour produire de l'énergie électrique.
La partie A est de la mécanique céleste, qui amène au phénomène de marées.

La partie B concerne l'utilisation de l'énergie des courants marins par une hydrolienne.

Il comprend d'abord un B.I: "Relations générales" sur la mécanique des fluides.

La partie B.II. "modélisation de l'écoulement de l'eau de mer au voisinage de l'hydrolienne" demande de justifier les hypothèses qui seront utilisées par la suite : eau de mer assimilée à un fluide parfait et incompressible,écoulement permanent du courant marin (sauf au voisinage des pales), écoulement laminaire en amont et en aval de l'hydrolienne. Bref, ça sent le Bernoulli à plein nez...

La partie B.III "Puissance récupérable par une hydrolienne" décrit le tube de courant, tel que je vous l'ai décrit avec peut-être un peu plus de détail que je l'ai fait. Puis suivent les questions.

Je recopie :
La figure représente le tube de courant qui rencontre les pâles de l'hélice hydrolienne. Celle-ci se trouve entre les sections S_e et S_s (je ne sais pas écrire les sigmas) de même surface S (égale à la surface balayée par une pâle lors de sa rotation).
Dans ce tube de courant l'eau circule de la section S₁ vers la section S₂. On note v_i la vitesse de l'eau traversant la section S_i, supposée uniforme sur cette section et de direction orthogonale à S_i. On note de même P_i la pression sur S_i. L'eau contenue à l'instant t dans ce tube de courant entre les sections S₁ et S₂ constitue un système que l'on dénommera A.
Q1 : Dans quelle(s) portion(s) du tube de courant l'hypotèse d'un écoulement laminaire et permanent est-elle acceptable?
Q2 : Quelle relation a-t-on entre v_e et v_s?
Q3 : Les sections S₁ et S₂ sont prises suffisamment éloignées de l'hydrolienne pour que la pression ait même valeur qu'en dehors du tube de courant. En supposant la hauteur des pales négligeables devant la profondeur H d'immersion de l'hydrolienne, exprimer P₁ et P₂.
Q4 : Etablir une relation entre P1, Pe, v1 et Ve, ... idem entre P2, Ps, v2 et vS.
Q5 : Quelles sont les expressions de la puissance apportée par la force de pression de l'eau traversant la section Se, et de celle emportée par l'eau traversant la section Ss? En déduire la puissance totale cédée par l'eau au contact de l'hydrolienne, en fonction de v1, v2 et ve.


Seule la question 3 me pose un réel problème, à moins que je ne me sois fourvoyé par ailleurs.
--> L'hypothèse concernant la hauteur des pales permet, il me semble, de supposer que la pression est uniforme sur toute la section S_i (i=1 ou 2), puisque la profondeur y varie peu. La hauteur H n'interviendra donc pas, dans les calculs.
--> Le fait que la pression ait même valeur qu'en dehors du tube de courant" permet d'utiliser la relation de Bernoulli sur une ligne de courant située en dehors du tube (à côté). Cela permet de déterminer la différence P₁-P₂.
Hormis la différence entre P1 et P2, je ne vois pas ce qui permettrait de calculer l'une ou l'autre de ces pressions séparément.

JE NE DEMANDE PAS QU'ON REPONDE POUR MOI A LA QUESTION Q5, que j'ai cherché, sans l'avoir terminé.

[sitalgo]

Bon, je vois venir le problème.
Avec "Les sections S1 et S2 sont prises suffisamment éloignées de l'hydrolienne pour que la pression ait même valeur qu'en dehors du tube de courant" la pression est la pression courante du milieu, en l'occurrence rho.g.H.
Donc P1 = P2.
Avec ça tu attaques la Q4 en bernoulliant..

[Arturus]

B'jour,

Faut pas chercher midi à quatorze heures, en un point éloigné de la turbine la pression est rho.g.h.

Eh oui, c'est ça, tu avais bien raison... L'écoulement est permanent donc l'accélération du vecteur vitesse est nulle. Le milieu étant non visqueux, on applique alors l'équation d'Euler et on retrouve alors la formule de l'hydrostatique.
Ce qui est logique, puisque loin du tube de courant, le liquide est en mouvement rectiligne uniforme (le principe de relativité de Galilée nous indique que les lois de la mécanique sont les mêmes que si le fluide était immobile).
Non, mais vraiment, des fois... je me noie dans un ... tube de courant de rien du tout. Mais, j'aime qu'un résultat, même simple et "évident", soit correctement montré.
Merci à vous tous, cependant.