Bonjour à tous,bon j'ai un éxo de mécanique générale qui me pose un peu de souci ,la voici:
Soit E l'espace vectoriel euclidien associé à l'espace affine R^3 .On considéré f de E dans E vérifiant:
quelques soient les vecteurs u,v € E uf(v)=vf(u).On dit que f est antisymetrique.
Démontrer que f est linéaire.
J'ai essayé de partir de la définition d'une fonction linéaire et antisymetrique mais je n'y arrive pas .Votre aide sera la bienvenue!Merci.
Bonjour
c'est quoi "u f(v)" ? un produit de quelle nature ?...Envoyé par tapha1
Étonnant, non ?
C'est vectoriel puisque u et v sont des vecteurs de ce fait f(u) et f(v) sont aussi des vecteurs.
Salut
La question de lucas.gautheron est : s' agit il d' un produit vectoriel ou d' un produit scalaire de deux vecteurs
Ah oui c'est scalaire .J'avais pas bien compris sa question.
Salut, je pense qu'on peut résoudre cet exercice en prenant un autre vecteur w qui appartient à E et en le multipliant par f(u+v).
w.f(u+v)
= (u+v).f(w) d'après la propriété d'antisymétrie donnée dans l'énoncé
= u.f(w) + v.f(w)
= w.f(u) + w.f(v) en utilisant deux fois la propriété d'antisymétrie
= w.[f(u)+f(v)]
Vu que w est quelconque, ça doit suffire à démontrer que f est linéaire.
Ton raisonnement me convient bien car en introduisant un autre vecteur on peut montrer que f est linéaire et le tour est joué .J'avoue que j'avais pas pensée à ça donc merci pour ton appui !
De rien.
P.S. : il est souvent utile d'introduire un auxiliaire de calcul (comme le vecteur w) quand on a du mal à démarrer une démonstration. Il faut juste veiller à ce que le résultat final n'en dépende pas.
Bonjour
Oui. Il suffit de prendre w parmi les éléments d'une base orthogonale car f(u)+f(v) se décompose de façon unique dans cette base :
décomposition que l'on montre égale à celle de <w|f(u+v)> selon votre raisonnement.
A+
PS: pour moi f est symétrique et pas antisymétrique
Étonnant, non ?
Mais c'est l'énoncé qui dit que f antisymetrique ...
donc si c'est "dans l'énoncé" c'est forcément vrai ?
Étonnant, non ?
Oups! On dirai que j'ai mal copié le problème parce que j'avais oublié le (-) i.e:
uf(v)=-vf(u)
Mais de toute façon ,en introduisant un vecteur quelconque ça marche à tous les coups.
