Vase percé

[Fabulous95]

Bonjour,

J'ai un problème très simple à résoudre, mais ça fait longtemps que je n'ai pas fait de méca flu et je n'y arrive pas...

C'est un vase cylindrique de hauteur 2h et de section S, ouvert à sa partie supérieure. Il est remble de mercure dans la moitié inférieure, d'eau dans la moitié supérieure.
Il y a un un orifice dans le fond de section s. Le coefficient de contraction est m. K est le rapport masse volumique eau/masse volumique mercure.
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Il s'agit de calculer le temps pour que le vase se vide complètement.


Pour calculer le temps d'écoulement du premier liquide, j'ai appliqué le théorème de Bernoulli, j'ai trouvé une vitesse initiale au niveau de l'orifice : rac(2.g.h(K+1)) et une vitesse en fonction de la hauteur du liquide inférieur : rac(2.g.h.K + 2.g.x) avec x la hauteur du liquide. Mais ce qu'il faudrait c'est la vitesse moyenne je pense non ?... Donc voilà je suis bloqué après ça...

Merci
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[LPFR]

Bonjour.
Non. La vitesse moyenne est un leurre.
La vitesse change à mesure que le niveau descend. Donc, il fait exprimer cette vitesse en fonction du niveau du liquide et la variation du niveau du liquide en fonction du temps.
Et évidement faire les deux parties du problème.
Au revoir.

[Fabulous95]

Merci et justement pourriez vous m'indiquer une piste pour calculer cette variation en fonction du temps ?

[LPFR]

Re.
Si la surface du liquide est S, la surface du trou est s et la vitesse de sortie est V, alors la vitesse de descente de la surface est v = V.s/S, car le volume qui sort est le même perdu par le vase.
Et dh = -v.dt.
Cela vous donne une équation différentielle dont la solution est une exponentielle (comme pour une baignoire).
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Fabulous95]

Merci mais pour résoudre l'équation différentielle il faut d'abord intégrer l'équation de 0 à h (hauteur du premier liquide) et dt de 0 à T (temps d'écoulement final du premier liquide), ce qui suffirait pour résoudre l'exercice finalement, puisqu'on veut déterminer le temps d'écoulement des 2 liquides. Cependant, vu la forme de v que j'ai obtenu, l'intégration me semble difficile. N'y a t-il pas une autre méthode ?

[LPFR]

Re.
Oui. L’autre méthode consiste à faire le calcul correctement sans se tromper.
Vous devez arriver à une forme du type dh/h = A.dt
A+

[Fabulous95]

Donc la vitesse de sortie rac(2.g.h.K + 2.g.x) que j'ai calculée est fausse ?