Observable "vectorielle" en physique quantique

[Amanuensis]

Bonjour,

Un petit truc me perturbe sur l'usage des mots "observable" ou "opérateur" en MQ. Ce cours de réflexion vient de la discussion http://forums.futura-sciences.com/ph...quantique.html, parlant du commutateur [r,p].

Si je prends (exemple représentatif) l'entrée "observable" du Wiki, on trouve d'une part la définition

Les valeurs propres de , autrement dit les résultats possibles de l'opération de mesure, doivent être des nombres réels.

qui peut se lire comme quoi ce qui est mesuré est un unique nombre réel (la valeur propre);

et d'autre part dans les exemples des opérateurs tels que ce qui est mesuré est un vecteur, comme , , ou ,dans

la position ,
l'impulsion
la vitesse
le moment cinétique orbital


Une première question est quelle peut être la notion de "valeur propre" pour ces opérateurs?

Ma première réaction a été de considérer que c'est juste une notation pour un "tableau 1D" de "vrais opérateurs", "la" valeur propre étant alors le tableau 1D des valeurs propres. Mais cela n'a de sens que s'ils commutent, il me semble (faut un vecteur propre commun). C'est valable pour , et . Mais cela ne l'est pas pour il me semble.

Alors, est-ce que est un opérateur bona fide (et comment comprendre "valeur propre"?), ou est-ce un abus de notation ?

Et, question subsidiaire, quelle est la signification du commutateur de deux opérateurs "vectoriels"? Le tableau 1D des commutateurs? La matrice 2D des commutateurs? Autre chose? Ou est-ce une extrapolation inadaptée des notations (i.e., on ne peut parler des commutateurs qu'à propos de deux opérateurs réels comme Lx et Ly)?

Précision: mes questions portent essentiellement sur le vocabulaire, il n'y a pas de problème "technique".
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[geometrodynamics_of_QFT]

Hello,
Selon moi, l'opérateur n'est pas une observable, car il ne commute pas avec l'hamiltonien, contrairement à l'opérateur (vectoriel lui aussi) quantité de mouvement ou position, qui lui commute.

Par contre, tout comme les composantes de l'opérateur quantité de mouvement, les composantes de commutent avec l'hamiltonien, et sont donc observables. C'est la particularité du spin : on ne peut déterminer sa valeur que selon un axe à la fois...Cela provient sans doute du produit vectoriel de deux observables dont il est issu.

ce document (page 3) le montre bien.

Cela correspond-il à votre question?

[Amanuensis]

Cela correspond-il à votre question?

Oui et non. Je vois cela comme une opinion, que je traduis comme quoi parler de l'opérateur est un abus de notation (et de concept).

C'est aussi ce que je pressens, mais d'un autre côté c'est bel et bien employer dans certains textes.

Si voir cela comme un abus conceptuel est consensuel, il y a une petite contradiction...

[geometrodynamics_of_QFT]

Je pense voir ce que vous voulez dire, et je crois qu'il faut l'interpréter comme une étape de l'abstraction purement mathématique, afin de construire l'observable "moment angulaire selon telle direction". On pourrait très bien construire ces 3 observables sans passer par l'étape "moment angulaire vectoriel", mais directement à partir des composantes de la position et de la quantité de mouvement...Dans ce cas-là, plus de problème conceptuel?

[A voir en vidéo sur Futura]

[geometrodynamics_of_QFT]

Et, question subsidiaire, quelle est la signification du commutateur de deux opérateurs "vectoriels"?

Si ces opérateurs commutent avec l'hamiltonien, mais pas entre eux, il sont conjugués, et leur commutateur peut se voir comme décrivant la structure du groupe de Lie dont il font partie, et ainsi permettre de quantifier canoniquement le champ exprimé en fonction de ces deux opérateurs....(= l'espace de phase dans lequel on quantifie)

[Amanuensis]

Je vais repose la question autrement. (Je suis un peu étonné de l'absence de réponses sur ce fil ; usuellement il y a bien plus de réactivité à des questions sur la physique quantique...)

Prenons l'exemple dans le Wiki:

Exemples d'observables:

le moment cinétique orbital

Une autre option serait d'écrire

le moment cinétique orbital , représenté par les observables et


Est-ce que les deux expressions sont aussi conceptuellement correctes l'une que l'autre, ou est-il plus propre de ne pas parler d'une observable "vectorielle" et d'indiquer seulement les observables réelles, comme dans la seconde expression?

[geometrodynamics_of_QFT]

Est-ce que les deux expressions sont aussi conceptuellement correctes l'une que l'autre, ou est-il plus propre de ne pas parler d'une observable "vectorielle" et d'indiquer seulement les observables réelles, comme dans la seconde expression?

selon mon point de vue, il est tout aussi "conceptuellement correct" de parler d'opérateur "moment cinétique orbital" tel que défini dans la 1ère expression : un opérateur (fusse-t-il vectoriel) ne doit pas nécéssairement être une observable pour être "conceptuellement" correct et bien défini.

Si ton soucis est le fait de faire intervenir un opérateur (dont les valeurs propres sont) non-observable(s) dans la définition d'opérateurs (dont les valeurs propres sont) observables, comme je le disais, définis directement les composantes du moment angulaire (ou son carré) à partir des opérateurs ("obervables") quantité de mouvement et position. tu éviteras ainsi de passer par une étape mathématique faisant intervenir un opérateur dont les valeurs propres ne sont pas observables, ce qui semble te chagriner...

Il n'y a pas de problème plus fondamental à ta question, du moins si je l'ai bien comprise.

[gatsu]

Bonjour,

Un petit truc me perturbe sur l'usage des mots "observable" ou "opérateur" en MQ. Ce cours de réflexion vient de la discussion http://forums.futura-sciences.com/ph...quantique.html, parlant du commutateur [r,p].

Si je prends (exemple représentatif) l'entrée "observable" du Wiki, on trouve d'une part la définition

Les valeurs propres de , autrement dit les résultats possibles de l'opération de mesure, doivent être des nombres réels.

qui peut se lire comme quoi ce qui est mesuré est un unique nombre réel (la valeur propre);

et d'autre part dans les exemples des opérateurs tels que ce qui est mesuré est un vecteur, comme , , ou ,dans

la position ,
l'impulsion
la vitesse
le moment cinétique orbital


Une première question est quelle peut être la notion de "valeur propre" pour ces opérateurs?

Ma première réaction a été de considérer que c'est juste une notation pour un "tableau 1D" de "vrais opérateurs", "la" valeur propre étant alors le tableau 1D des valeurs propres. Mais cela n'a de sens que s'ils commutent, il me semble (faut un vecteur propre commun). C'est valable pour , et . Mais cela ne l'est pas pour il me semble.

Alors, est-ce que est un opérateur bona fide (et comment comprendre "valeur propre"?), ou est-ce un abus de notation ?

Et, question subsidiaire, quelle est la signification du commutateur de deux opérateurs "vectoriels"? Le tableau 1D des commutateurs? La matrice 2D des commutateurs? Autre chose? Ou est-ce une extrapolation inadaptée des notations (i.e., on ne peut parler des commutateurs qu'à propos de deux opérateurs réels comme Lx et Ly)?

Précision: mes questions portent essentiellement sur le vocabulaire, il n'y a pas de problème "technique".

Salut,

Très bonne remarque. Mais n'est ce pas la raison pour laquelle on a besoin de specifier un axe de quantification des qu'on s'attaque au moment cinétique ? Et que du coup, par consequent, la norme de ce dernier est toujours supérieure a la valeur maximale de cette projection ?

[Amanuensis]

Mais n'est ce pas la raison pour laquelle on a besoin de specifier un axe de quantification des qu'on s'attaque au moment cinétique ?

Ce qui revient à n'admettre comme observable que résultat d'une projection, donc une observable "réelle" (i.e., dont le résultat de mesure est un unique réel).

Et que du coup, par consequent, la norme de ce dernier est toujours supérieure a la valeur maximale de cette projection ?

Là aussi, cela ne fait intervenir que des observables "réelles" (L² pour la norme, et une projection).

Je pense que cela va dans le sens de dire que la non-commutation des projections oblige à se limiter aux observables "réelles".

[geometrodynamics_of_QFT]

Mais n'est ce pas la raison pour laquelle on a besoin de specifier un axe de quantification des qu'on s'attaque au moment cinétique ?

quelle raison exactement? vous avez copié l’entièreté du message original, difficile de voir à quoi vous faites allusion.

La raison pour laquelle on doit spécifier un axe de quantification est que, contrairement aux opérateurs quantité de mouvement et position (dont les observables peuvent être vectorielles), l'opérateur "moment cinétique" ne commute pas avec l'hamiltonien, mais seulement ses composantes (ou son carré)...

[gatsu]

Ce qui revient à n'admettre comme observable que résultat d'une projection, donc une observable "réelle" (i.e., dont le résultat de mesure est un unique réel).



Là aussi, cela ne fait intervenir que des observables "réelles" (L² pour la norme, et une projection).

Je pense que cela va dans le sens de dire que la non-commutation des projections oblige à se limiter aux observables "réelles".

Pour le moment cinétique oui mais pour les autres opérateurs vectoriels, voir ca comme un tableau 1D de valeurs propres reelles obtenues a partir d'un vecteur propre commun me semble être la bonne manière de le concevoir.

[gatsu]

quelle raison exactement? vous avez copié l’entièreté du message original, difficile de voir à quoi vous faites allusion.

La raison pour laquelle on doit spécifier un axe de quantification est que, contrairement aux opérateurs quantité de mouvement et position, l'opérateur "moment cinétique" ne commute pas avec l'hamiltonien, mais seulement ses composantes (ou son carré)...

Desole mais je pense que l'opérateur hamiltonien n'a rien a voir la dedans. Vu que les composantes du moment cinetique ne commutent pas entre elles, cela n'a aucun sens d'imaginer specifier chacune de leur valeur propre en meme temps. Il faut donc choisir un axe de quantification pour s'intéresser a une projection en particulier; c'est le maximum d'information qu'il est possible d'obtenir (avec la norme) pour un moment cinétique. Encore une fois, cela n'a rien a voir avec une quelconque commutation avec l'hamiltonien.

[geometrodynamics_of_QFT]

Desole mais je pense que l'opérateur hamiltonien n'a rien a voir la dedans. Vu que les composantes du moment cinetique ne commutent pas entre elles, cela n'a aucun sens d'imaginer specifier chacune de leur valeur propre en meme temps. Il faut donc choisir un axe de quantification pour s'intéresser a une projection en particulier; c'est le maximum d'information qu'il est possible d'obtenir (avec la norme) pour un moment cinétique. Encore une fois, cela n'a rien a voir avec une quelconque commutation avec l'hamiltonien.

Si on parle d'observables, ça a forcément à voir avec l'hamiltonien. Je sous-entendais, mais cela me parait évident, qu'on ne peut mesurer en même temps que des opérateurs qui commutent entre eux (principe d'incertitude d'heisenberg). Cela coulant de source, il s'ensuit que puisque les composantes du moment cinétique ne commutent pas, on doive choisir un axe de quantification.

[gatsu]

Si on parle d'observables, ça a forcément à voir avec l'hamiltonien.

Ah bon ? Pourquoi ?

[Amanuensis]

Et, question subsidiaire, quelle est la signification du commutateur de deux opérateurs "vectoriels"? Le tableau 1D des commutateurs? La matrice 2D des commutateurs? Autre chose? Ou est-ce une extrapolation inadaptée des notations (i.e., on ne peut parler des commutateurs qu'à propos de deux opérateurs réels comme Lx et Ly)?

Pour cette question là, je pense avoir compris le jeu d'écriture. Il amène à dénoter le commutateur de deux opérateurs vectoriels comme le "produit vectoriel" des opérateurs. On trouve ainsi l'écriture (sans les chapeaux...)



qu'on peut comprendre comme




pour exprimer les relations de commutation des composantes de L. Le commutateur est alors lui-même un "opérateur vectoriel".

On aurait alors, sauf erreur de ma part:







Vu comme ça, la notion d'opérateur vectoriel est une notation pour un concept qui est différent de celui d'opérateur "réel", et dont l'intérêt viendrait de ces écritures compactes. (En plus du rapprochement avec la mécanique classique.)

(Au passage cela donne une réponse à la question posée dans le fil http://forums.futura-sciences.com/ph...quantique.html, source initiale de mes interrogations.)

Reste que les deux concepts seraient distincts, et qu'il serait erroné d'appliquer aux "opérateurs vectoriels" les assertions qu'on trouve à propos des opérateurs "réels".

Et il est peut-être utile de restreindre "observable" aux opérateurs réels (pour ne pas véhiculer l'idée qu'on puisse nécessairement "observer" complètement le résultat d'un "opérateur vectoriel").

[Amanuensis]

On aurait alors, sauf erreur de ma part:

Mouais... Cela ne colle pas vraiment, cela ne prend en compte que la partie anti-symétrique. Manque les commutateurs genre [x,px]...

Pas si clair du coup qu'on puisse avoir un système d'écriture qui tienne la route avec ces "opérateurs vectoriels"...

[geometrodynamics_of_QFT]

Merci, je confondais un peu avec l'opérateur d'évolution dans la représentation de Heisenberg.

vive la physique quantique

[lucas.gautheron]

Bonjour,

Si on parle d'observables, ça a forcément à voir avec l'hamiltonien. Je sous-entendais, mais cela me parait évident, qu'on ne peut mesurer en même temps que des opérateurs qui commutent entre eux (principe d'incertitude d'heisenberg). Cela coulant de source, il s'ensuit que puisque les composantes du moment cinétique ne commutent pas, on doive choisir un axe de quantification.

1) en général P, X et H ne commutent pas, je ne comprends pas votre post #2
2) ce qui compte pour pouvoir définir l'observable "vectorielle" c'est que les observables composantes commutent, le reste n'a pas d'importance.

Je vais repose la question autrement. (Je suis un peu étonné de l'absence de réponses sur ce fil ; usuellement il y a bien plus de réactivité à des questions sur la physique quantique...)

Prenons l'exemple dans le Wiki:


Une autre option serait d'écrire

le moment cinétique orbital , représenté par les observables et


Est-ce que les deux expressions sont aussi conceptuellement correctes l'une que l'autre, ou est-il plus propre de ne pas parler d'une observable "vectorielle" et d'indiquer seulement les observables réelles, comme dans la seconde expression?

On peut définir les observables qui ne posent pas de problèmes , , . Du coup on peut faire l'analogie avec la construction classique en terme de produit vectoriels en construisant (etc.)

Parler d'observable me semble en revanche incorrect.

A+

[geometrodynamics_of_QFT]

1) en général P, X et H ne commutent pas, je ne comprends pas votre post #2

je l'ai reconnu dans mon post précédent (à la manière de Feynman) ^^

2) ce qui compte pour pouvoir définir l'observable "vectorielle" c'est que les observables composantes commutent, le reste n'a pas d'importance.

tout à fait d'accord.

[gatsu]

Parler d'observable me semble en revanche incorrect.

En meme temps, pour être qualifie d'observable un opérateur doit être auto-adjoint c'est tout. Chaque composante du moment cinétique doit être auto-adjointe....et c'est le cas non ? Cela marche probablement également si on se donne une definition d'adjoint pour un opérateur vectoriel qui impliquerait un produit scalaire spatiale en plus du produit hermitique. Cela n'implique pas (je crois) que l'opérateur en question doive avoir un spectre de valeurs propres de dimension 3.

[Amanuensis]

Parler d'observable me semble en revanche incorrect.

Il semble qu'il y ait une opinion partagée que celle-là pose problème, OK

On peut définir les observables qui ne posent pas de problèmes , , . Du coup on peut faire l'analogie avec la construction classique en terme de produit vectoriels en construisant (etc.)

Si on admet R et P comme observables, quel sens donner au commutateur [R,P]? Est-ce une observable, qu'est-ce que cela mesure, est-ce un opérateur scalaire, vectoriel, tensoriel?

J'en reviens toujours aux mêmes questions.

Pour moi, soit on peut construire un "langage" cohérent autour de la notion d'opérateur vectoriel, et cela doit tout couvrir (et pas se limiter à quelques cas "qui marchent bien") ; soit ce sont des facilités d'écriture non rigoureuses, mais comprises par les praticiens et plus ou moins bien comprises par les moins praticiens. Peut-être un peu rigide, mais les maths demandent un minimum de rigidité (appelée rigueur aussi...).

[geometrodynamics_of_QFT]

Si on admet R et P comme observables, quel sens donner au commutateur [R,P]? Est-ce une observable, qu'est-ce que cela mesure, est-ce un opérateur scalaire, vectoriel, tensoriel?
J'en reviens toujours aux mêmes questions.

comme je le disais plus haut, le commutateur [R, P] (qui est un scalaire complexe valant ih), lorsqu'on quantifie un champ dans cet espace de phase, représente la structure du groupe de Lie représentant les symétries du champ et/ou de l'interaction (par leur analogie avec les backets de Poisson), et du coup, fournissent l'équation d'évolution du champ par la relation dA/dt = partial A/partial t + {A, H}, où A est une observable fonction de x et p et {.} est un bracket de poisson (différent d'un anti-commutateur...)

[geometrodynamics_of_QFT]

{.} est le bracket de poisson (différent d'un anti-commutateur...)

construit sur base du commutateur : ih{A,H}=[A,H]

[lucas.gautheron]

En meme temps, pour être qualifie d'observable un opérateur doit être auto-adjoint c'est tout. Chaque composante du moment cinétique doit être auto-adjointe....et c'est le cas non ? Cela marche probablement également si on se donne une definition d'adjoint pour un opérateur vectoriel qui impliquerait un produit scalaire spatiale en plus du produit hermitique. Cela n'implique pas (je crois) que l'opérateur en question doive avoir un spectre de valeurs propres de dimension 3.

Quels sont pour vous les vecteurs propres du moment cinétique "3D" ?

Il semble qu'il y ait une opinion partagée que celle-là pose problème, OK



Si on admet R et P comme observables, quel sens donner au commutateur [R,P]? Est-ce une observable, qu'est-ce que cela mesure, est-ce un opérateur scalaire, vectoriel, tensoriel?

J'en reviens toujours aux mêmes questions.

Pour moi, soit on peut construire un "langage" cohérent autour de la notion d'opérateur vectoriel, et cela doit tout couvrir (et pas se limiter à quelques cas "qui marchent bien") ; soit ce sont des facilités d'écriture non rigoureuses, mais comprises par les praticiens et plus ou moins bien comprises par les moins praticiens. Peut-être un peu rigide, mais les maths demandent un minimum de rigidité (appelée rigueur aussi...).

Si on veut tout faire proprement, il faut déjà trouver un espace dans lequel R et P sont bien des opérateurs, donc des endomorphismes : or ils transforment des champs scalaires en champs vectoriels
et pour [R,P], c'est une bonne question, il faut un produit qui donne un caractère de groupe, et je ne vois pas.
Donc j'ai l'impression qu'il s'agit d'une notation.

A+

[gatsu]

Quels sont pour vous les vecteurs propres du moment cinétique "3D" ?
A+

je me suis mal exprime en parlant de "dimension 3" car evidemment il y a en general bien plus de trois vecteurs de bases.

Ce que je voulais dire c'est que bien que l'objet moment cinetique peut etre defini comme un operateur vectoriel a 3d (de la maniere dont tu l'as fait par exemple), il ne me semble pas que cela implique que les 3 composantes doivent avoir des vecteurs propres communs.

En MQ, il y a toujours cette distinction (peut etre inutile, confuse et tres discutable) entre ce qui existe et ce qui est accessible a une mesure donnee (au sens d'une mesure destructive). Ainsi, ce n'est pas parce qu'on ne peut pas mesurer la composante x de la position et de l'impulsion d'une particule au cours d'une seule mesure destructive, que cela n'a pas de sens d'imaginer que la particule a quand meme une impulsion meme si on mesure uniquement sa position.

Ba pour le moment cinetique c'est pareil; c'est un operateur vectoriel et meme une observable vectorielle (au sens ou toute les composantes sont potentiellement observables) mais toutes les composantes ne sont pas observables en meme temps..et alors ?

[Amanuensis]

Ainsi, ce n'est pas parce qu'on ne peut pas mesurer la composante x de la position et de l'impulsion d'une particule au cours d'une seule mesure destructive, que cela n'a pas de sens d'imaginer que la particule a quand meme une impulsion meme si on mesure uniquement sa position.

CFD, "contrafactual definiteness"

[invite02232301]

En meme temps, pour être qualifie d'observable un opérateur doit être auto-adjoint c'est tout.

Ca n'est malheureusement pas si simple. Les opérateurs auto-adjoints qui sont des observables caracteristent parfaitement un systeme (à 2 3 grains de sables pres), en fait l'algèbre des observables est plus "primitive" que celle des operateurs auto-adjoints qui réalisent ces observables.

[Murmure-du-vent]

Pourriez vous jeter un coup d'oeil à ceci

J'essaie de m'assurer que (1.5) est correct.
L'interet est le suivant un dirac etant pair sa derivee est nulle à l'origine donc les operateurs champs electrique et champ magnétiques commutent au meme point!

On a ici typiquement deux operateurs vectoriels et l'auteur applique sans broncher la regle du commutateur associe au produit vectoriel.
Dans les formules 1.2 et 1.3 il utilise pour un operateur vectoriel le produit d'un operateur (les bien connus operateur d'annihilztion et de creation) et d'un vecteur (le vecteur unitaire e en gras). Peut etre est un produit tensoriel?

Ca a l'air d'etre couramment utilisé en quantification electromagnétique en jauge de Coulomb.
La justification que j'essaie de manipuler se trouve page 226 du livre Photons et atomes de Tannoudji Dupont-Roc et Grynberg.
(on peut trouver son pdf)

[coussin]

Il est faux de dire que la dérivée d'un Dirac est nul à l'origine. Un Dirac n'est pas une fonction...

[Murmure-du-vent]

Je ne serai pas plus rigoriste qu'Alain Aspect qui écrit page 175

"
Il apparait en particulier que la derivee de s'annulant en r = r' par suite du caractere pair de
et
commutent lorsqu'ils sont pris au meme point"

Les dérivees sont bien sur prises au sens des distributions.