Spinneurs- Formule de Lichnerowicz.

[Oss118]

Bonjour,
Dans le cadre de mon cours sur les operateurs de Dirac, mon prof a passe toute une seance a nous prouver la formule de Lichnerowicz. Je n'ai rien compris a la formule, tant a sa demonstration qu'a son interet. Quelqu'un pourrait il m'expliquer ? Car je nage.
Merci.
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[invite02232301]

Bonjour,
Peux tu etre plus explicite sur ce que tu entend pas formule de Lichnerowicz?

[invite02232301]

J'ai trouvé cette formule là, sur le wiki, est ce bien celle la (je pense que oui)?

[invite02232301]

Bon j'ai essayé de comprendre la formule en question... mais ca me parait compliqué , ya trop de choses que je maitrise pas qui rentrent en jeu.
Désolé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

Bonjour,

ce qui est généralement appelé formule de Lichnerowicz est en effet ce qui se trouve dans le lien indiqué par MiPaMa.
Sur une variété spin M, on a le fibré des spineurs S et l'opérateur de Dirac est un opérateur différentiel d'ordre 1
agissant sur les spineurs, i.e. les sections de S. En coordonnées locales, on a où les sont les matrices de Dirac et est la dérivation covariante.

La formule de Lichnerowicz permet de calculer le carré de l'opérateur de Dirac: où est l'adjoint de la dérivation covariante et R est la courbure scalaire de M. C'est très facile à prouver: c'est un calcul purement local. La première étape utilise la définition des matrices de Dirac, , ce qui donne Le premier terme est déjà ce qu'on veut. Le deuxième terme contient la courbure de la connexion sur S. Pour le relier à la connexion sur M, il faut réfléchir un peu (en particulier savoir relier les descriptions explicites des algèbres de Lie des groupes Spin et SO) mais ça ne prend que quelques lignes.

Le point essentiel de cette formule est que l'opérateur est positif. En utilisant de plus que est autoadjoint,
et si M est compacte, on déduit par intégration de la formule de Lichnerowicz l'inégalité:

pour tout spineur s.
Si la courbure scalaire R est partout strictement positive, on en déduit que la seule solution possible de l'équation est
s=0. C'est un résultat extrêmement fort: un contrôle sur la géométrie de M donne un contrôle sur les solutions d'une équation aux dérivées partielles sur M. En combinant ce résultat avec le théorème de l'indice, on peut obtenir une obstruction topologique à l'existence de métriques de courbure scalaire partout strictement positive.
On en déduit qu'il existe des variétés différentielles compactes n'admettant pas de métrique de courbure scalaire partout strictement positive (exemple: surface K3).
Ce résultat est remarquable quand on le compare au fait qu'on sait que toute variété différentielle compacte de dimension au moins 3 admet une métrique de courbure scalaire partout strictement négative.

Conclusion: la formule de Lichnerowicz est un exemple typique de résultat local, très simple à démontrer, qui après intégration, par un argument de positivité, donne des contraintes globales très fortes liant géométrie et analyse. Il existe de nombreux autres exemples du même style (formule de Bochner...)