Les 2 pulsations d'un filtre de degré 2

[fichter]

Bonjour, je me posais une question au sujet des 2 pulsations pour un filtre du 2nd ordre. Voici mon raisonnement :
Un filtre passe bas RLC du 2nd ordre ça équivaut à mettre en cascade 2 filtres passe bas du 1er ordre, un RC et un LR. Chacun de ces dernier possède une pulsation de coupure w1 et w2 pour lesquels rspct on a l’impédance du condensateur égale à R, et l’impédance de L qui égale aussi R, et c’est d’ailleurs à partir de w1 et w2, pour chacun de ces circuits qu’il y a atténuation puisqu’une fonction du type 1/1+x décroit vite dés que x>1 (donc ici à partir de w1 et w2).
Ainsi un RLC passe bas par exemple du 2nd ordre équivaut à la multiplication de ces 2 fct de transferts du 1er ordre avec les 2 pulsations de coupure. De plus on a aussi wo qui est la pulsation pour laquelle l’impédance du condensateur égale exactement celle de la bobine. Donc en résumé :
W1 est la pulsation pour laquelle un des 2 éléments réactifs va décroitre de -20db/dec car l’impédance de C ou L est égale à R
W2 est la pulsation pour laquelle l’autre élément réactif va aussi se mettre à décroitre de -20db/dec car l’impédance de C ou L est aussi égale à R
W0 est la pulsation pour laquelle l’impédance de C vaut celle de L

De là si m>1 w1 et w2 sont distinctes et donc l’impédance de C n’égale pas la valeur de la résistance à même la pulsation que celle pour laquelle l’impédance de la bobine égale celle de la résistance. Sachant que wo (pulsation pour laquelle impédance condo et bobine se valent) se situe pile au milieu de w1 etw2.
Si m=1 c’est à la même pulsation wo que l’impédance de C vaut celle de R, qui vaut celle de L.
En revanche si m<1 le discriminant étant négatif cela impliquerait que les solutions pulsations soient complexes conjugués, et c’est là qu’on a un phénomène de résonnance. Sauf que je m’interrogeais concrètement sur la signification physique de ce cas où m<1 car R n’est plus assez grand…..

Donc déjà est ce que mon raisonnement est juste, et est ce que j’ai raison de penser que si m<1 c’est comme si les pulsations w1 ou w2 n’existent plus en réel car Z du condensateur (par ex) serait déjà équivalente à celle de la bobine pour une pulsation inférieure à celle pour laquelle Zc atteindrait la valeur de R ?? et réciproquement.
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[gwgidaz]

Il est toujours très délicat de considérer que la fonction de transfert de l'ensemble des deux filtres est le produit des fonctions de transferts, car pour définir une fonction de transfert, il faut connaître la "charge" d'un filtre. Or quand on met deux filtres l'un derrière l'autre, le premier est chargé par l'entrée de l'autre, qui est une charge complexe.
Donc, pour considérer la fonction de transfert de l'ensemble, il vaut mieux traiter et calculer l'ensemble complet.
D'ailleurs, tu constateras que la réponse de tes deux filtres en série n'est pas du tout prévisible en considérant la réponse de chacun d'eux. En effet, les combinaisons selfs et capacités sont difficilement prévisibles de façon intuitive, comme tu tentes de le faire.

[fichter]

oui dans le calcul ça ne colle pas parfaitement surtout qu'on aurait 2 résistances alors que dans RLC d'ordre 2 il y en a qu'une, mais je pense que le principe est bon car il est toujours possible de décomposer le polynôme en un produit des 2 racines w1 et w2 (enfin si m>1) et on voit qu'on peut additionner les 2 courbes de gain: celle qui subit sa cassure à w1 puis est atténué de -20dB, à l'autre qui subit la sienne en w2. Et donc je pense que la 1ère pulsation de cassure correspond à celle pour laquelle l'impédance de C devient inférieure ou égale à l'impédance du reste (self+résistance), et symétriquement w2 est celle où l'impédance du condo+ résistance devient inférieure à celle de la self. D'ailleurs si m augmente et donc R aussi, alors R+L ont plus de poids et oblige w1 à diminuer pour le condo les égalise, et à l'inverse impose un w2 plus élevé pour que l'impédance de la self égale le reste, et donc la bande passante s'élargie. enfin je vais pas recommencer..
Sur le net ou par les profs en cours on n'a jamais ce genre d'explications concrètes de ce qui se passe vraiment, et c'est dommage parce que je trouve ça intéressant.
En revanche il y a un truc simple auquel j'ai pas de réponses, les pulsations w1 et w2 en tant que solutions de l'équation du 2nd degré devrait l'annuler, or ces pulsations n'annulent jamais l'impédance totale puisqu'au minimum quand w=wo on a Z=R..
??

[gwgidaz]

Bonjour,
Peux-tu nous préciser comment tu vois tes deux filtres de 1er ordre du départ? Circuits en L ? R série puis C à la masse, suivi de self série, et de R à la masse? ou quoi d'autre?
Et qu'appelles-tu impédance totale? On parle d'impédance totale pour un dipôle, pas pour un filtre, qui est un quadripôle...

[A voir en vidéo sur Futura]

[fichter]

bien en théorie pour un passe bas RLC ce serait un passe bas RC où on prend la sortie aux bornes de C, en série avec un passe bas LR où on prend là aussi classiquement la sortie aux bornes de R.

[fichter]

bien en théorie pour un passe bas RLC ce serait un passe bas RC de 1er ordre classique où on prend la sortie aux bornes de C, en série avec un passe bas LR où on prend là aussi classiquement la sortie aux bornes de R.
Pour l'impédance totale je parlais du dénominateur de la fct de transfert qui correspond au circuit RLC série, donc l'impédance de la tension d'entrée sur laquelle s'établit le rapport;
et pour la question que je posais, c'est ce dénominateur que les racines ou pôles sont censés annulés, sauf que ça n'arrive jamais à moins que les racines soient purement imaginaires, cad en cas d'oscillations si on a un LC sans Résistances, et pourtant on parle de racines et de pôles quand même...

[gwgidaz]

Bonjour,

Je ne vois pas ce qui te gênes que les racines du dénominateur ne soient pas purement imaginaires... Si elles sont de la forme A +jB, où est le problème?

En fait, la fonction de transfert peut servir à résoudre deux types de problèmes :

1) La réponse fréquentielle du filtre , auquel cas on effectue la multiplication du signal d'entrée par la fonction de transfert ( et les termes A et B sont liés au coefficient de surtension)

2) La réponse impulsionnelle . Dans ce cas, ces nombres A et B donnent la forme des oscillations libres amorties d'un tel système : une exponentielle réelle ( exp A) multipliée par une exponentielle complexe exp jB.

[fichter]

bien c'est le fait qu'on dise que les poles ou racines peuvent annuler le dénominateur, mais elle ne peuvent jamais l'annuler puisque R est toujours positif et c'est logique puisque L et C agissent dans un axe déphasé de 90° par rapport à l'axe de R. Donc à moins que R soit nul (cas où on a un circuit oscillant pur) les poles n'annulent jamais le dénominateur. Où alors j'ai pas bien compris la définition des poles et racines...

[gwgidaz]

Le dénominateur a toujours des racines , même si elles sont complexes. mais j'ai l'impression que tu veux en tirer des conséquences simples, ce qui n'est pas le cas.
En fonction des configurations des racines dans le plan complexe, on peut dire à quelle catégorie le filtre appartient ( filtres de Bessel, de Tchébitchev, de Cauer, etc...)
Ces filtres se distinguent entre autre par les variations du temps de propagation de groupe, très important quand on fitre des signaux numériques. Tu peux approfondir le problème, tu verras, c'est très intéressant ...

[fichter]

oui je vois, faut pas que je m'attende à avoir au final un simple nombre parce que le résultat sort toujours selon les 2 axes et donc en complexe. Même dans la forme normalisée où c'est en fait l'impédance de C qui sert de référence tant en module (ramené à 1) qu'en origine des axes, la résistance qui passe en imaginaire restera toujours perpendiculaire et donc indépendante de L et C.
Sinon oui je confirme, l'électricité en physique c'est ce que je trouve de plus intéressant.