Changement de base des états en MQ

[sunisoc]

Bonjour à tous,

On dit en cours de Mécanique quantique qu'on peut exprimer l'état d'un système en choisissant une base (qui peut être l'ensemble des états stationnaires, ou autres système de base ...)



Disons que j'ai le choix entre deux systèmes de base de vecteurs ( de dimension , et de dimension ) pour exprimer l'état de mon système.
Pour passer d'une base à l'autre, je forme une matrice de passage , sauf que cette matrice n'est pas carrée donc non inversible. Le passage n'est du coup, qu'à sens unique.

Mes questions: Est ce que, ce que je raconte a un sens? Si oui, les bases ne sont donc pas toujours reliées entre elles par une seule matrice de passage?

Merci à tous.
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[Roxen]

Bonjour,

Le problème dans ton raisonnement vient du fait que, comme tes deux familles de vecteurs sont des bases d'un meme espace de Hilbert (espace des états quantiques), elles comportent nécéssairement le même nombre de vecteurs (Rappel : une base d'un espace vectoriel de dimension n comporte exactement n vecteurs, et c'est généralisable au cas Hilbertien)

Le seul cas ou on peut avoir éventuellement un "problème" c'est si l'espace de Hilbert est de dimension infinie, auquel cas la notion de "matrice de passage" n'est de toute façon pas correctement définie étant donné qu'une matrice n'est bien définie que en dimension finie. Dans ce cas, le problème vient simplement de l'interprétation en termes de matrices (Du moins, pour cette dernière partie, je pense, et il faudrait peut etre mieux attendre de voir si quelqu'un corrobore mon interprétation).

[sunisoc]

Merci pour votre réponse.

En fait c'est en lisant le traitement de la molécule d'ammoniac en MQ que toutes ces questions me sont venues dans la tête.

Premièrement: Le Hamiltonien du système avec le double puits symétrique a ses états stationnaires: . On peut utiliser les fonctions correspondantes pour exprimer l'état du système : .

Deuxièmement: D'un coté, je me suis aussi dit qu'ont peut écrire complètement l'état du système avec comme seules bases, les deux états dits: gauche et droit .

Et c'est la liaison entre la première famille de base qui est de dimension et la deuxième famille de dimension qui est à l'origine de mes questionnements.

Dans les livres, ils réduisent la première famille à deux seuls états très proche (pair-impair), et c'est une approximation bien justifiée.
Sauf que moi je veux généraliser un peu.

Est ce qu'il y a des erreurs dans mes raisonnements?

Merci à tous.

[Roxen]

J'ai l'impression que vous essayez de "mélanger" deux concepts différents : Dans le cas de la molécule d'ammoniac DANS LE FONDAMENTAL l'état du système est effectivement déterminé par la position de l'atome d'Azote par rapport au plan contenant les hydrogènes : Vos fameux et . L'histoire de la base infinie des états stationnaires vaut lorsqu'on considère les éventuelles excitations de l'état fondamental de l'ammoniac : les états excités, qui sont effectivement décrits par des états propres , où n est le niveau d'excitation du système. En fait, les états D et G sont les deux états de plus basse énergie pour la molécule.
Tout dépend finalement de ce que vous appellez "état" du système : son état d'excitation ou son état de "forme" !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Murmure-du-vent]

les etats gauche et droit appartiennent à des espaces de Hilbert de dimension n/2 chacun.
pas de problrmr de dimesion n/2 + n/3 = n

[sunisoc]

J'ai l'impression que vous essayez de "mélanger" deux concepts différents : Dans le cas de la molécule d'ammoniac DANS LE FONDAMENTAL l'état du système est effectivement déterminé par la position de l'atome d'Azote par rapport au plan contenant les hydrogènes : Vos fameux et . L'histoire de la base infinie des états stationnaires vaut lorsqu'on considère les éventuelles excitations de l'état fondamental de l'ammoniac : les états excités, qui sont effectivement décrits par des états propres , où n est le niveau d'excitation du système. En fait, les états D et G sont les deux états de plus basse énergie pour la molécule.
Tout dépend finalement de ce que vous appelez "état" du système : son état d'excitation ou son état de "forme" !

Donc si j'ai bien compris, c'est seulement à l'état fondamental que l'histoire de "gauche-droite" a un sens. Par contre je n'ai pas compris, pourquoi on ne peut plus parler d'état gauche ou droite quand la molécule est excitée? Comment comprendre s'il vous plait?

Merci pour votre intervention.

[sunisoc]

pas de problrmr de dimesion n/2 + n/3 = n

Pouvez vous de developper un peu s'il vous plait, je suis un peu perdu.

[Pio2001]

pas de problrmr de dimesion n/2 + n/3 = n

n/2 + n/2 = n

[Murmure-du-vent]

En physique 5/6 me semble etre une bonne approximation de 1
Alors: meme pas mal.

De meme pour problrmr de dimesion!

[Noix010]

Je ne pense pas du tout qu'il y ait des espaces de Hilbert différents pour les états excités et l'état fondamental

Il y a effectivement un changement de base et si l'espace est de dimension finie alors les deux bases ont le même nombre de vecteurs.

En dimension infini, il y a plusieurs points auxquels il faut faire attention. Les profs devraient certainement commencer par donner cette définition (de Cantor ou Dedekind) de l'infini: c'est un ensemble pour lequel il y a une bijection avec un sous-ensemble propre. La conséquence en ait qu'il pourrait y avoir un opérateur injectif mais qui n'est pas surjectif, ou autrement dit deux bases qui n'auraient pas le même "nombre de vecteurs", ex. les vecteurs de la première étant en bijection avec une sous-famille de vecteurs de la seconde.

Le deuxième point est qu'il y a plusieurs notions de base pour les espaces de Hilbert, souvent on parle de bases orthogonale (pas celles de dimension finie) où l'on autorise des sommes infinies. Et en mécanique quantique on aussi des "bases généralisées", liéeses à la structure de "rigged Hilbert space" ou triplet de Hilbert. C'est un point qui m'a toujours obsédé et que je n'ai pas encore clarifié mais en gros on décompose un vecteur quelconque comme une intégrale.

Ce qui prete à confusion c'est que avoir une base généralisée ne veut pas forcément dire qu'il n'y a pas de base au sens habituel (algébrique), i.e. que tout vecteur s'écrit comme somme finie des vecteurs de base.

Reste la question du nombre vecteurs de base "droites" et "gauches"...