Une histoire de ressort

[Inception]

Bonjour,

Je fais appel à vos lumières car je me suis heurté à des difficultés sur l'exercice ci-joint.

Voici mes premières réponses, sont-elles correctes ?

1) d< 2mg/k pour éviter que B décolle

2) zA(t) = -dcos(w0t) + zéq avec w0 = racine(k/m) et zéq = l0 - mg/k

Je coince à partir de la question 3) :

3) J'avais penser à partir de l'expression de F : F = k*(z-l0) appliquer la condition nécessaire pour que B décolle tel que F > mg. Connaissant l'expression de z avec la question 2), je me retrouve avec un cos qui m'empêche de déterminer la valeur td. Je ne vois pas comment m'y prendre autrement.

4) Je ne parviens pas à déterminer les équations de zA et zB à partir du moment où B décolle.

Merci par avance pour toute aide apportée

Bien cordialement
-----

[LPFR]

Bonjour.
1- je ne trouve pas la même valeur que vous. Mais comme vous ne donnez pas votre démarche je ne peux pas vous aider.
2- La démarche est bonne mais la constante ne l’est pas.
3- Vous connaissez la pulsation ω, donc aussi la fréquence et aussi la période.
4- Quand B décolle, le centre de masses du système est en chute libre : il se comporte comme un caillou lancé en l’air. Donc, à partir de sa vitesse initiale, vous pouvez calculer sa position en fonction du temps.
Dans le repère du centre de masses, chaque masse oscille comme si elle était attachée au centre de masses (immobile dans ce repère) par un ressort de la moitié de la longueur (donc de constante 2k). Donc, vous connaissez sa pulsation et sa position en fonction du temps dabs ce repère. Il suffira d’ajouter cette position à celle du centre de masses que vous avez déjà calculée pour avoir sa position dans le repère du laboratoire.
Au revoir.

[Inception]

Bonjour,

1. Pourriez vous me donnez votre résultat svp ? Sans donner la démarche, de manière à ce que je puisse refaire le raisonnement par moi même.

2. La constante n'est pas bonne ? Vous parlez de zéq ? Etrange... Vous trouvez quoi de votre côté ?

3. Je trouve T = 2PIRacine(m/k), mais je ne vois pas en quoi cela m'avance... Je n'arrive pas à bien sasir l'évolution du mouvement. La masse B décolle t-elle quand A atteint son max ou cela dépend il de la force F (qui dépend donc de la position de zA) ?

4. Je vais essayer en suivant vos indications.

Merci pour tout

Bien cordialement

[LPFR]

Re.
1 – mg/k
2- C’est bon. C’est moi qui avais mal lu.
3 – la masse décolle quand la force du ressort est plus grande que le poids de la masse. Et cette force est obtenue quand le déplacement est égal à dmax. Donc, il faut trouver le temps pour que la masse A atteigne une hauteur dmax au dessus de zeq.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Inception]

Bonsoir,

Pour la question 1, j'ai pris en compte la masse A et la masse B lors de mes calculs, d'où le facteur 2. En effet : le système total est soumis à deux forces extérieures, son poids (2mg) et la réaction du support (N). n en déduit :

2m*OG = m*OA + m*OB => 2m aG = m a1 + m a2

Or les deux masses ne subissent pas la même accélération, a2 = 0,

d'où 2mg aG = m a1

Par application du PFD :

-2mg +N = m*z(accélération) Pour éviter de se mélanger les pinceaux, je pose maintenant z(accélération) = a

donc j'ai :

N = ma + 2mg

Or, on sait que le mouvement de zA nous donne : a = w0²*d*cos(w0t)

d'où : N = k*d*cos(w0t) + 2 mg

Ainsi, pour que cette quantité soit positive, il faut que : d< 2mg/k

Voici donc mon raisonnement. Qu'en pensez vous ? Qu'est-ce qui cloche ?

Bien cordialement

[Inception]

Pour la question 2, je trouve :

td= (2PI/3)*Racine(m/k)

Est-ce juste ? Est-ce que je m'en rapproche ? Suis je complétement à côté de la plaque :b ?

Bien cordialement

[LPFR]

Re.
Vous avez raison. C’est bien 2mg/k. Désolé, c'est moi qui cloche.
Pour que B se soulève il faut que la force du ressort soit mg et pour cela il faut que A soit à mg/k au delà de la longueur à vide du ressort. Comme la position d’équilibre se situe mk/k en dessous de la longueur à vide, il faut bien l’enfoncer de 2mg/k pour qu’il monte mg/k au dessus de la longueur à vide.
A+

[LPFR]

Pour la question 2, je trouve :

td= (2PI/3)*Racine(m/k)

Est-ce juste ? Est-ce que je m'en rapproche ? Suis je complétement à côté de la plaque :b ?

Bien cordialement

Re.
C'est bien ça: 2/3 de la période.
A+

[Inception]

Re :b

Merci pour toutes vos réponses ^^.

J'en arrive maintenant à la question qui me semble un peu plus tendu si je puis dire . Voici ma démarche :

1. Je calculer la vitesse du point A connaissant td :
zA(t) = -dcos(w0t) + zéq
vA(t) = d*w0*sin(w0t)

d'où : vA(td) = d*w0*sin(w0*td)

2. Calcul de la vitesse du système : masse A + masse B + ressort

a(t) = -g
v(t) = -g*t + d*w0*sin(w0*td)
z(t) = (-1/2)*g*t² + d*w0*sin(w0*td)*t

3. Calcul des oscillations de la masse B par rapport au centre du système supposé fixe

PFD : ma = -mg - 2k(z- l0/2) (1)
à l'équilibre : 0 = -mg - 2k(z- l0/2) (2)

(1)-(2) = a + (2k/m)*z = (2k/m)*zéq

or, pour résoudre l'équation, il me faut les conditions à t = 0, soit

z(0) = 0 = A + zéq => A = -zéq
v(0) = d*w0*sin(w0*td) = B*Racine(2k/m)

D'où mon équation du mouvement de B :

zB(t) = -zéq*cos(Racine(2k/m)*t) + 1/Racine(2) * d*sin(w0*td)*sin(Racine(2k/m)*t)



Est-ce juste jusqu'à présent ? Si oui, faut il que j'additionne les deux équations précédentes pour me donner l'expression générale de la position de la masse B ?

Bien cordialement

[LPFR]

Bonjour.
1 – OK.
2 – La condition initiale est fausse. Pour t = 0, la position n’est pas 0 mais celle que vous avez calculée précédemment.
3 – Dans les équations (1) et (2), vous calculez la position par rapport au centre de masses. Ce n’est donc pas ‘z’ mais il faut utiliser une nouvelle variable.
De plus, la force du ressort sur B est dirigée vers le haut quand l’élongation est plus grande que lo/2.

Vous vous êtes un peu mélangé avec les coordonnées. Pour une fois, il vaut mieux utiliser des nouvelles variables pour la position de A et de B, dans chaque repère.
Je pense que vous avez compris la démarche, Il reste à refaire le calcul en faisant plus attention (et des petits dessins pour ne pas confondre les variables).
Au revoir.

[Inception]

Bonsoir,

Je reprends le raisonnement à partir du point 2.

2. Calcul de la vitesse du système : masse A + masse B + ressort

a(t) = -g
v(t) = -g*t + d*w0*sin(w0*td)
z(t) = (-1/2)*g*t² + d*w0*sin(w0*td)*t + (dmax+zéq)/2

3. Calcul des oscillations de la masse B par rapport au centre du système supposé fixe

PFD : ma = mg - 2k(zB- l0/2) (1)
à l'équilibre : 0 = mg - 2k(zBéq- l0/2) (2)

(1)-(2) = a + (2k/m)*zB = (2k/m)*zBéq

or, pour résoudre l'équation, il me faut les conditions à t = 0, soit

zB(0) = 0 = A + zéq => A = -zéq
vB(0) = d*w0*sin(w0*td) = B*Racine(2k/m)

D'où mon équation du mouvement de B :

zB(t) = -zBéq*cos(Racine(2k/m)*t) + 1/Racine(2) * d*sin(w0*td)*sin(Racine(2k/m)*t)




Je dois avouer que je me suis un peu perdu. Serait-il de me montrer à quels endroits j'ai commis des erreurs de signes (en particulier pour F), ou de me les corriger ?
Suis-je proche du résultat correct pour la position de B par rapport à G ?

Merci par avance

Bien cordialement

[LPFR]

Bonjour.
Je n'ai pas le temps ce soir.
Je plongerai demain matin.
À demain

[LPFR]

Bonjour.
2 - Telle que vous avez écrit la vitesse, vous démarrez un nouveau décompte du temps à ‘td’. (Il faut le signaler).
3 – Vous avez déménagé dans le repère du centre de masses, qui est en chute libre. Donc, il n’y a plus de ‘mg’. Vous avez deux masses dans l’espace intergalactique reliées par un ressort, avec une élongation de départ connue, et avec une vitesse égale à la vitesse des masses par rapport au laboratoire, moins la vitesse de départ du centre de masses.

Je vous ai dit de faire un dessin pour chaque phase du problème. Alors suivez mon conseil et vous gagnerez du temps.
Au revoir.

[Inception]

Bonsoir,

Est-il vraiment nécessaire de signaler que l'on change de décompte du temps sachant que la question 4), nous demande l'équation du mouvement de A et de B lorsque B a décollé du sol ?

A noter aussi que vous ne l'avez pas vu, mais faire des dessins est l'un de mes premiers réflexes lorsque je suis confronté à un exo de méca...

Je reprends mon raisonnement à partir du point 2 :

2. Calcul de la vitesse du système : masse A + masse B + ressort

a(t) = -g
v(t) = -g*t + d*w0*sin(w0*td)
z(t) = (-1/2)*g*t² + d*w0*sin(w0*td)*t + (dmax+zéq)/2

3. Calcul des oscillations de la masse B par rapport au centre du système supposé fixe

PFD : ma = -2k*(zB - l0/2)

donc : a +(2k/m)*zB = l0*k/m

A t = 0 :

zB(0) = 0 = A + l0/2=> A = -l0/2
vB(0) = d*w0*sin(w0*td) = B*Racine(2k/m)

D'où mon équation du mouvement de B :

zB(t) = -(l0/2)*cos(Racine(2k/m)*t) + 1/Racine(2) * d*sin(Racine(k/m)*td)*sin(Racine(2k/m)*t)

Comme vous devez le remarquer, j'ai pas mal de difficultés à cette question (au vu des questions précédentes). Pourriez vous être un peu plus précis car malgré vos conseils, je me sens toujours un peu perdu ^^.

Merci par avance

Bien cordialement

[Inception]

Re.

Serait-il possible de me donner l'équation finale de A et de B, de manière à ce que je puisse mieux orienter mon raisonnement et m'aider à la compréhension ?

Bonne soirée

A ++

[LPFR]

Re.
Vous n’avez pas compris ce que veut dire calculer par rapport au centre de masses.
Ça veut dire utiliser une nouvelle variable (‘y’, par exemple) qui est la distance de la masse au centre de masses (immobile dans ce repère) et non zB - l0/2

Donc, pour être plus précis, la coordonné de A sera yA et celle de B sera yB (= -yA). Les valeurs initiales seront (l0 + dmax)/2 et –(l0 + dmax)/2. Il reste à trouver l’amplitude d’oscillation de chacune des masses et la fréquence, (ce qui a déjà été fait). Et faire attention aux conditions initiales car, au départ, les amplitudes instantanées ne sont pas au maximum.
Et n’oubliez as que les deux masses oscillent symétriquement par rapport au centre de masses. Donc, il suffit de calculer une seule.

Une fois que vous aurez cette variable en fonction du temps (et son homologue pour l’autre masse), vous l’additionnez aux résultats trouvés en 2.

Telles que vous les avez écrites, vos équations, en conservant zB et l0, c’est inhabitable. Je ne me prononce pas.
A+

[Inception]

Bonsoir,

J'ai à nouveau tenté de suivre tes indications :

1. Calcul de la position de yB par rapport au centre de masses noté G (origine du nouveau repère)

Je pose y(accélération) = a

Mon équa diff me donne :

a + (2k/m)*y = k*l0/2

A t = 0 :

y(0) = A + l0/2 = -(l0 + dmax)/2
v(0) = B*Racine(2k/m) = d*Racine(k/m)*sin(Racine(k/m)*td)

d'où :

yB(t) = -(l0 + dmax/2)*cos(Racine(2k/m)*t) + d/(Racine(2)) * sin(Racine(k/m)*td)*sin(Racine(2k/m)*t)

Si je suis encore à côté de la plaque, serait-il possible de me fournir la forme que doit avoir l'équation yB(t) de manière à mieux orienter mes recherches. En effet, à chaque fois après avoir trouvé un résultat, je l’envoie sur le forum sans savoir s'il est juste. Du coup, je ne continue pas à chercher une autre solution étant donné que pour moi, celle envoyé est correcte. L'objectif serait de me faire gagner du temps.

A noter qu'un résultat sans démonstration ne vaut rien. Je ne souhaite pas avoir le cheminement de la démonstration toute crue. Je compte y arriver par moi même, mais je souhaiterais savoir sur quel résultat je suis censé tomber ^^ (comme cela, en attendant votre réponse, je peux continuer à chercher).

Passez une bonne soirée

Bien cordialement

[LPFR]

Bonjour.
Je ne comprends pas ce que vous faites. Je vous dis d’utiliser deux nouvelles variables (yA et yB) dans le repère du centre de masses et vous écrivez y(accélération) = a. Mais qui se transforme en distance y(0) = A + l0/2 = -(l0 + dmax)/2
Je ne vous suis pas.

Oublions pour l’instant l’histoire du changement de repère qui ne semble pas passer et revenons au repère normal du laboratoire.
Penons deux variables avec des indices 1 et 2 car les A et les B rendent les équations illisibles.





(les deux points veulent dire deuxième dérivée par rapport au temps).
faites la différence entre ces deux équations et choisissez une nouvelle variable :



Vous aurez une équation différentielle dont la solution est:



Il faut calculer A et Φ en utilisant ce que vous savez : pour t = 0, vous connaissez l’écartement entre les masses et q = dmax.
Et pour t = 0, la vitesse de la masse 2 (B) est zéro. Donc, la dérivée de ‘q’ est égale à la vitesse de la masse 1.
Cela vous donne deux équations pour trouver A et Φ.

Avec ça vous avez y1 – y2.
Il vous faut une autre relation pour trouver y1 et y1, et c’est ici où on réintroduit le centre de masses.
Le centre de masses (y1 + y2)/2 est en chute libre et sa position est donne par



Evalúez yo et vo.
Maintenant vous avez de quoi calculer y2 et y1.

Une des choses importantes si on veut que els gens comprennent vos équations est qu’elles soient lisibles.
Pour ceci je vous recommande vivement d’utiliser LaTeX :
http://forums.futura-sciences.com/an...e-demploi.html
(Pour des expressions simples, c’est plus simple à utiliser qu’il n’y parait à première vue).

Je vous laisse trouver A, Φ,. yo et vo.
Au revoir.

[Inception]

Bonsoir,

C'est très gentil de prendre le temps de m'expliquer précisément la démarche à suivre . En revanche, je ne sais pas si cela m'est profitable : en outre j'ai l'impression que l'on me mâche le travail. La mise en équation et le paramétrage est la chose la plus compliqué pour moi, j'aurais souhaité poser y1 et y2 moi même.
En effet, je souhaiterais connaître l'équation finale sur laquelle je serais censé tomber. Cela me permettrai de travailler le raisonnement.

J'ai essayé de suivre votre démarche, et je vais tenter d'être clair en utilisant Latex :



et



d'où



Cette équation me parait bien compliqué... Je sens que je suis encore à côté. Est-ce correct ? Suis-je loin ?

Bonne soirée

Bien cordialement

[LPFR]

Bonjour.
C’est nettement plus lisible avec TeX. Bravo pour vos efforts.
Complément : quand vous voulez avoir un indice de plus d’un caractère, il faut l’entourer d’accolades. Ainsi, pour d_max il faut coder d_{max}. Si non il ne prend que le premier caractère d_max.
Il est inutile d’écrire des (t) pour des valeurs que l’on calcule en fonction du temps. les (t) ne font qu’allonger la formule et n’ajoutent rien. Les profs le font quand il faut insister que la valeur dépend du temps. Les noms de variables à deux lettres compliquent la lecture. Il vaut mieux que la deuxième lettre soit un indice.

Effectivement le résultat est compliqué. Mais on peut le rendre plus digeste si on garde les ω au lieu de les remplacer par les racines. Même chose pour q : au lieu de passer à sin cos + cos sin gardez ‘q’ avec le Φ dont vous donnez la valeur à côté. C’est physiquement plus clair

J’aurais aimé avoir les valeur de A, Φ,. yo et vo que vous avez trouvé.

Car c’est une des difficultés du problème, l’évaluation de ces variables.

Non. Je ne compte pas vous donner la formule finale (je ne l’ai même pas calculée).

La dernière formule a une « bonne tête », mais je pense qu’il y a une erreur, car pour t = 0, la valeur n’est pas zeq + dmax.

Et elle serait plus claire si vous aviez gardé Φ : on verrait que el mouvement est une sinusoïde autour d’un point qui se déplace comme une chute libre.
Au revoir.

[Inception]

Bonsoir,

Je suis un peu perdu, je ne sais pas ce qui est juste ou faux...

Je préfère la forme Acos(wt) + Bsin(wt) que A*cos(wt + PHI) car cette deuxième forme me donne des résultats beaucoup plus compliqués... Je commence à désespérer, au vu du temps passez dessus...

Serait-il possible de me dire quelle équation est juste, et laquelle est fausse sur mon message précédent ?

J'ai ceci pour les coefficients que tu me demande. Je les trouves trop compliqués, je ne pense pas les utilisés...

Je pose :




J'obtiens :









Je souhaiterais finir cette question au plus vite car cela commence à faire long ^^.

Bien cordialement

[Inception]

Bonsoir,

J'ai encore repris les calculs à zéro. Mes calculs plus haut ne sont plus valables. Voici l'expression de y1 et y2. Est-ce correct ? Concordant ?

Je pose pour simplifier mes deux pulsations :





Je trouve :





Bonne soirée

Bien cordialement

[LPFR]

Bonjour.
Soyons clair. Je ne peux pas vous répondre. Vous me donnez le résultat final sans les résultats intermédiaires. Pour pouvoir vous répondre il faudrait que je me tape tous les calculs, et je ne compte pas le faire.
La seul chose que je peux faire est vérifier que votre résultat tient début.
Par exemple, pour t = 0.
Pour y2, à t = 0, on devrait obtenir zéro, ce qui n’est pas le cas.
Et si on fait l1 – l2 – lo on devrait obtenir A.sin(wt + phi). Or, votre expression (même si elle es écrite sous forme cos sin cos + cos sin) donne une amplitude qui n’est pas 2*dmax.

Donc, la seule chose que je peux conclure est que votre résultat a la bonne forme, mais les coefficients ne sont pas bons.
Et, avec uniquement le résultat final parachuté, je ne peux pas vous dire où vous avez fait des erreurs.
Au revoir.

[Inception]

Bonsoir,

J'ai à nouveau cherché. Une erreur devait provenir de mon paramétrage. J'obtiens donc ceci :





Il m'est compliqué de rentrer toutes mes équations, cela me prendrais trop de temps...

Serait-il possible de vérifier à la main les deux résultats que je viens d'obtenir, sachant qu'ici, quand t -> 0, y1 = dmax + zéq et y2 = 0.

Bien cordialement

[obi76]

Bonjour,

comme vous l'a dit LPFR (que je salue), lorsque vous obtenuez des résultats come ça, il y a quelques outils qui permettent - à défaut de savoir si elle est juste - de détecter un certain nombre d'erreurs qui permettent de savoir si elle est fausse.

Comme l'a dit LPFR : les cas "extrèmes" et conditions limites. Quand t->, avez vous bien les conditions initiales ? Une petite analyse dimensionnelle rapide donne-t-elle le bon résultat ?

[Inception]

Bonsoir,

Comme je l'ai précisé sur le message précédent, j'obtiens les bonnes conditions initiales pour t = 0.

Bien cordialement

[obi76]

Mmmmh, déjà quand t tend vers l'infini, y1 et y2 tendent vers - l'infini. Si c'est censé osciller, ça doit etre borné.

[Inception]

Bizarre...

Mais que trouvez vous de votre côté ? Cela doit être rapide à comparer, non ?

Bien cordialement

[Inception]

Bonsoir,

Je vais tenter d'être le plus clair possible en présentant l'ensemble de la démarche.

1. On se ramène à t=td, on cherche la vitesse de l'ensemble du système {masse A, B + ressort)



Avec :

2. Recherche des équations du mouvement de y1 et y2 à partir de t = td

(1)

(2)

(1) - (2) :

On pose :



D'où :

avec

3. On résout cette équation différentielle




Or, à t=0 (en l’occurrence, à partir de td. En effet, on s’intéresse au mouvement de A et B dès lors que B quitte le sol, soit à td) :




d'où :

(3)

4. Calcul de la position du centre des masses qui est en chute libre

Le système étudié est {masse A + B + ressort}. On applique le PFD :



(4)

5. Grâce à (3) et (4), on en déduit l'expression de y1 et y2






Voilà, j'ai essayé d'être le plus claire possible. Est-il possible de m'indiquer et de me corriger mes erreurs ?

Merci par avance

Bonne soirée

Bien cordialement

[LPFR]

Bonjour.
Bon. Cette fois je pense que c’est bon.
J'ai regardé les résultats intermédiaires et ils sont corrects.
Les valeurs pour t = 0, sont bons, et on voit que le mouvement pour y1 et y2 est celui du centre de masses (la parabole) plus deux oscillations symétriques par rapport au centre de masses.
Bravo.
Au revoir.