Quantique: Matrice représentant une observable

[OmegaForce]

Bonjour,

J'ai ce problème:



C'est juste la question n°1 que je ne comprend pas.

Je sais que la réponse doit être :



Mais je ne comprend pas vraiment...

Pourquoi tous les éléments qui ne sont pas sur la diagonale principale doivent être égaux à zéro ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[freemp]

Salut.

C'est plus un problème d'algèbre que de Quantique en l’occurrence.

Je ne sais pas si la réponse va te convenir mais si jamais tu avais une valeur hors de la diagonale, ça voudrait dire que l'image d'un vecteur de la base renverrai sur un autre (ou une combinaison linéaire) d'autres vecteurs de la base.

Supposons que tu rajoutes "beta" juste en dessous du alpha de la première colonne, ça voudrait dire que tu aurais :
A|u1>=alpha|u1>+beta|u2>

Pour construire une matrice, il suffit de connaitre son application sur chaque vecteur de la base, ce qui est le cas ici.

Je te conseille de revoir les bases sur les matrices et applications linéaires avant de continuer (je ne sais pas si ma réponse t'as vraiment aidé).

A bientôt.

[freemp]

Pour un complément de réponse en guise de rappel.

Chaque colonne d'une matrice correspond à l'image d'un vecteur de base.
La première colonne est donc A|u1>, la seconde A|u2> et la dernière : A|u3>.
Chaque colonne représente donc ces vecteurs dans une base donnée, ici (et dans la plupart des applications) il s'agit en l’occurrence de la même base : (|u1>,|u2>,|u3>)

Prenons la première colonne qui représente A|u1>.
La première ligne répond à la question "combien de fois il y a le vecteur u1 dans le vecteur A|u1>.
La seconde : "combien de fois il y a le vecteur u2 dans le vecteur A|u1>".
La dernière : "combien de fois il y a le vecteur u3 dans le vecteur A|u1>".

Voila.

Mais encore une fois relis les bases d'algèbre avant de faire de la MQ car sinon tu risques de bloquer très très souvent.

[OmegaForce]

Merci. J'ai compris. En fait j'ai halluciné que les éléments hors de la diagonale n'apparaissait pas dans le calcul de A |u1>, mais maintenant je me rend compte qu'ils apparaissent bien et qu'ils sont donc bien tous égaux à zéro.

[A voir en vidéo sur Futura]

[OmegaForce]

Bonjour,

Je suis entrain d’essayer de comprendre cet exercice :



Y’a trois questions que je ne comprends pas très bien.

***

A la question 2) j’ai trouvé que les valeurs propres sont :
- 0 qui est associé au vecteur propre
- et qui est dégénéré 2 fois

Le vecteur propre est apparemment égal au vecteur . Est-ce que c’est juste une coïncidence ?

Et quant à la valeur propre , comment est-ce que je fais exactement pour son/ses vecteur(s) propre ? Qu’est-ce que je dois dire exactement ? Dois-je dire que son vecteur propre est le plan bidimensionnelle xOz ?

***

A la question 3) b) faut-il bien juste prouver que

avec une valeur propre de A
et ça implique que est un état propre de A et qu’il est associé à la valeur propre ?
C’est bien ça ?
Si c’est bien le cas, j’ai trouvé que donc serait un état propre de A et il serait associé à la valeur propre

***

Et le plus important, la question 3) d) et la question 4) d) :

La probabilité d’obtenir la valeur propre est-elle bien égal à ?

Et qu’en est-il de « Pour chaque résultat possible, préciser l’état du système juste après la mesure » ?
J’ai essayé d’utiliser cette formule que j’ai trouvé sur Wikipedia :



Où est la probabilité de trouver comme résultat la valeur propre , et est l'opérateur ''projecteur'' défini par



Avec le degré de dégénérescence de la valeur propre et les les vecteurs de son sous-espace propre.

Sauf que j’y arrive pas.
Je sais même pas exactement comment faire exactement pour les vecteurs propres associés à la valeur propre (qui est dégénéré deux fois).
Par exemple pour la valeur propre 0 je trouve que ce qui est faux.

***

J’aimerais des explications à ces trois questions.

Merci d’avance pour vos réponses.

[albanxiii]

Bonjour,

Vos difficultés du début de problème sont des difficultés mathématiques, pas de physique.
Vous en êtes où du cours de réduction des endomorphismes ?

Pour vous aider un peu :

- par définition un vecteur propre est non nul, votre répond à la définition, tout comme . Ils sont donc proportionnels. Si de plus ils ont la même norme, ils sont égaux.

- L'énoncé vous donne la solution pour la valeur propre puisque vous avez deux vecteurs propres qui sont et . Hop, c'est fini. Ne parlez pas de vecteur propre bidimensionnel, cela ne veut rien dire. Vous pouvez par contre dire que le sous espace propre associé à la valeur propre est de dimension 2.

- question 3 : oui pour vecteur / valeur propre (pas besoin d'ajouter un n dans les expressions cela dit)

- question 3-d et 4 : c'est du cours, il suffit de le connaître, de l'avoir compris et de l'appliquer calmement...

@+

[albanxiii]

On va respecter la charte et éviter les doublons, j'ai regroupé tout ce qui concerne le même exercice.

Pour la modération.

[OmegaForce]

Merci pour votre réponse.

Alors pour mes "cours" bah le problème c'est que je n'ai aucun cours. J'essaye de résoudre des exos avec l'aide de Wikipedia et d'autres sites que je trouve sur Google.

Donc en gros si les vecteurs propres sont proportionnels aux vecteurs de la base c'est juste une coïncidence ?

Et pour la valeur propre donc est-ce que je peux dire:
La valeur propre (dégénéré 2 fois) est associé à deux vecteurs propres : et
Est-ce que ça serait juste ?




Et quant à l'exercice 4) d)
Pour la valeur propre 0 voila ce que j'ai fait :


Ah bah en fait j'avais fait une petite erreur d'inattention avant (j'arrête pas de faire plein d'erreurs d'inattention en quantique je sais vraiment pas pourquoi...). Donc maintenant je trouve quelque chose de plus plausible. Sauf que c'est encore faux puisque normalement il faut trouver