Equation aux dimensions

[alexbo]

Bonjour tout le monde,
En ce moment je m'intéresse au concept de dimension physique, et je me demandais si l'équation aux dimensions (exprime n'importe quelle dimension en fonction de 7 dimensions de base) autorisait les exposants réels en plus des exposants relatifs. En effet j'avais cru lire que seul un exposant relatif pouvait être appliqué à une dimension (car on multiplie ou on divise un certain nombre de fois), pourtant la formule de wikipédia sur la théorie de la cinétique d'oxydation de Wagner montre une racine carrée d'un temps, et les dimensions fractales font apparaître, par exemple, des m^1,26. Ainsi je pense qu'afin de pouvoir exprimer toutes les dimensions a partir de 7 de bases, la multiplication ne suffit pas, il faut une opération de puissance définie sur R. Dites-moi ce que vous en pensez merci
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[mach3]

Des exposants rationnels ne me choquent pas vraiment, car on peut facilement remonter à une puissance entière en mettant à la puissance qui va bien (et donc cet exposant rationnel provient d'une racine entière, chose qui peut se trouver).

Un exposant irrationnel ou pire, transcendant me dérange beaucoup plus, après ça vient peut-être de la vision que j'ai des dimensions du point de vue structure algébrique, sachant que je suis loin d'avoir fini de faire évoluer cette vision. Y-a-t'il des exemples concrets avec exposant irrationnel ou transcendant sur une dimension? je parle bien de relations avec un sens physique entre grandeurs mesurées réelles, pas de construction ad hoc dont le seul but est de faire apparaitre artificiellement ces exposants (sinon je sais le faire moi-même)

m@ch3

[alexbo]

Je vois l'idée pour les exposants rationnels, c'est vrai qu'on peut facilement passer à des exposants relatifs à partir de ça. Après pour les dimensions fractales je ne suis pas sûr que les exposants soient tous rationnels, et ces structures ont un tout de même un intérêt physique (aire d'un nuage, longueur des frontières naturelles, boule de papier froissé etc.). Ces dimensions sont construites (mathématiquement) par un rapport de logarithmes, et doivent pour la plupart faire intervenir des dimensions de base élevées à une puissance non rationnelle.

[Amanuensis]

Il vaut mieux bien séparer les domaines. En titrant "Equations aux dimension", cela évoque les dimensions physiques.

En parlant de dimension fractale, on parle de relations linéaires entre logs de variables. C'est assez distinct des dimensions physiques. Il s'agit, pour simplifier de modélisations par (x/x0) = (y/y0)^k, la relation est entre rapports sans dimension.

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Bonjour.
Dans les exemples que vous donnez, il peut bien avoir des coefficients fractaux. Mais la grandeur physique résultante (surface, longueur) a des dimensions avec des exposants tout ce qui a d’entier.
Au revoir.

[alexbo]

Merci pour vos réponses. Quand je parle de "longueur" ou d'"aire", c'est par analogie avec les notions qu'on connaît, mais mesurer la longueur de la côte de Grande-Bretagne est impossible si l'on s'en tient au "mètre", il faut une dimension fractale qui caractérisera la grandeur physique résultante : par exemple, il est impossible de mesurer une surface juste avec des distances (on aurait une mesure infinie !) , il faut des m². De même, il faut une dimension intermédiaire entre les m et les m² pour s'attaquer au problème tout ce qu'il y a de plus physique de la longueur des côtes de ce pays. Je juge donc nécessaire d'introduire des exposants réels dans l'équation aux dimensions d'une grandeur physique quelconque.

[Dynamix]

il faut une dimension fractale qui caractérisera la grandeur physique résultante

Quelle grandeur ?
Si elle est finie le mètre convient .
Si elle est infinie , pas besoin de la mesurer .

[alexbo]

C'est un problème de fractale, il est possible de trouver une dimension qui donne une mesure finie à la "longueur" de la côte : c'est ce qu'on fait à chaque fois qu'on veut mesurer une grandeur physique. Désolé pour le mot "longueur" mais je ne sais pas s'il y a un mot qui correspond exactement au sujet, je l'utilise par analogie en espérant être suffisamment clair (+ qu'une longueur mais - qu'une surface, c'est ce qu'il nous faut pour mesurer les côtes de Grande-Bretagne).

[Dynamix]

il est possible de trouver une dimension qui donne une mesure finie à la "longueur" de la côte

Comment est définie cette grandeur ?
Grandeur physique ou mathématique ?

C' est le fractal qui est de dimension réelle ou la grandeur caractéristique ?
La longueur d' une courbe gauche (dimension 3) se mesure en m , tout pareil que celle d' une courbe de dimension 1
C' est la même dimension physique .

[coussin]

Ça me semble une "légende urbaine" cette histoire de la longueur de la côte bretonne... Du moins, des maths non adaptés à la réalité... Parce que, in fine, la côte breronne c'est un nombre fini d'atomes bout à bout donc une longueur finie.

[coussin]

Je pense avoir ma réponse : dans le concept mathématiques de fractales, il y a une notion de pouvoir subdiviser à l'infini. Ce qui ne correspond pas à la réalité...

[alexbo]

Je comprends ta remarque Dynamix mais le m ne me semble pas suffire : si on veut mesurer la longueur d'un côte biscornue, on va devoir zoomer pour plus de précision, et puis zoomer encore davantage pour rechercher une structure lisse qu'on ne trouvera pas (même à l'échelle du mètre, il y a des rochers, des grains de sable...). Donc une mesure en m sera infinie ! C'est pourquoi la dimension naturelle des côtes de la Grande-Bretagne sera une longueur puissance qq chose, mais encore une fois je ne trouve pas le mot pour définir cette grandeur physique intermédiaire distance/surface.

[Amanuensis]

Comment la mesure-t-on?

[Dynamix]

mais encore une fois je ne trouve pas le mot pour définir cette grandeur physique intermédiaire distance/surface.

Commence par définir cette grandeur .
Après , il sera toujours temps de lui trouver un nom et une unité .
Le bessler , par exemple ...

[alexbo]

Si on va à cette échelle là coussin alors évidemment ça n'a plus de sens, mais une longueur non plus n'est plus définie, elle s'exprime en "nombre d'atomes à la queue leu leu" : les dimensions qu'on étudie caractérisent des grandeurs macroscopiques, et la physique doit savoir modéliser le monde à notre échelle par des concepts tels que la continuité pour pouvoir le décrire. Alors nous pouvons parler de dimension, et une dimension fractale me semble tout aussi physique qu'une dimension "non fractale".

[alexbo]

Dynamix et Amanuensis je ne sais pas définir formellement cette grandeur ni comment la mesurer (bien que ce soit chose faite avec Lewis Fry Richardson), je voudrais savoir si on peut la considérer comme ayant sa dimension physique propre (s'exprime en m^1,24 environ) afin de justifier la présence d'exposants réels à l'équation aux dimensions. Je ne saurais dire mieux qu'un "équivalent" de la distance, mais d'ordre supérieur...

[coussin]

Je dirais non. Reprenons la côte bretonne, la dimension fractale D quantifie de combien la longueur de la côte augmente quand on réduit de tant les étalons servant à la mesurer. Point.
À partir de là, conclure que "la longueur de la côte bretonne a la dimension m^D" me semble erronée... En tout cas, je ne vois pas comment on passe de l'un à l'autre...

[Amanuensis]

Dynamix et Amanuensis je ne sais pas définir formellement cette grandeur ni comment la mesurer

La question est alors de l'ordre du sexe des anges, non?

La physique sans mesure ni définition, ce n'est plus vraiment de la physique.

[alexbo]

coussin je te répondrai que c'est le même principe qui s'applique pour des dimensions toutes bêtes comme celle d'une surface, donc il me semble naturel de définir une nouvelle dimension avec le même principe pour la côte bretonne. Amanuensis je pense ne pas être le premier à m'être intéressé à la question de la longueur des côtes de Grande-Bretagne, c'est un problème bien défini même si je n'arrive pas à le formaliser, mais je comprends tout à fait ta remarque tout ce qu'il y a de plus sensée.

[Amanuensis]

je pense ne pas être le premier à m'être intéressé à la question de la longueur des côtes de Grande-Bretagne,

Pas vraiment une question neuve pour moi. Le problème n'est pas dans l'idée de la côte comme ligne, mais dans ce qu'on en fait.

c'est un problème bien défini

Le problème des lignes fractales est bien posé du point de vue du modèle mathématique. Pas nécessairement la même chose qu'une application physique.

Le modèle va permettre éventuellement de proposer un exposant valable dans une certaine plage d'échelle. OK. Mais cela ne donne pas une longueur de côte, une mesure d'une quantité physique, mesure qu'on aurait une quelconque raison d'exprimer avec une unité nouvelle. Cela donne juste une modélisation (partielle) de la ligne en question.

[alexbo]

Merci de vos réponses à tous ! J'ai tout de même du mal à ne pas envisager une nouvelle unité, qui modélise la ligne de manière tout à fait justifiée à ce qu'il me semble.

[Dynamix]

Une unité ne modélise pas .
Elle mesure .

[alexbo]

Une mesure est une modélisation : quand on mesure une distance on ne compte pas les atomes, on crée une application à valeurs dans R x {m} qui suit une modélisation continue de la matière, on choisit alors la mesure la plus appropriée suivant la grandeur. Je pense qu'une dimension fractale est plus appropriée pour la mesure des frontières naturelles que le mètre classique.

[Dynamix]

Je pense qu'une dimension fractale est plus appropriée pour la mesure des frontières naturelles que le mètre classique.

Le mètre n' est pas une dimensions .
Tu mélanges systématiquement les dimensions , les grandeurs physiques et les unités .

[alexbo]

Ouip désolé je manque de rigueur Mais que penses-tu de mon raisonnement ?

[Dynamix]

Mais que penses-tu de mon raisonnement ?

Restons amis .

[invite78516567821]

EQUATION AUX DIMENSIONS.

Une équation aux dimensions est une représentation codifiée d’une relation mathématique en physique.
Elle sert à vérifier si une telle relation est équilibrée par rapport au signe égal.
Soit par exemple la relation e = (1/2)gt² bien connue.
A gauche e est une distance et il doit donc en être de même pour le membre de droite, sans quoi, la formule ne serait pas équilibrée donc fausse.
Voyons donc de quoi il s’agit.

On désigne toute longueur par le symbole L. Ainsi, on dira que l’équation aux dimensions d’une surface est L², celle d’un volume est Ll^3.
Le temps a pour symbole T. Une vitesse a donc pour équation aux dimension : LT^(-1) (quotient d’une longueur par un temps). Avec T^(-1) = 1/T
La masse a pour symbole M.
Il suite de ce qui précède que :
Une accélération a pour équation aux dimensions LT^(-2)
Une énergie a pour équation ML²T^(-2) (1/2)mv² mais on ignore les constantes en équations aux dimensions.
Vérifions si la formule e = (1/2)gt² est équilibrée.
On à gauche du signe égal : L
On doit donc trouver L aussi à droite, sinon la formule ne serait pas correcte faute d’être équilibrée.
L’équation aux dimensions du membre de droite est : LT^(-2)T² = L
Ne pas oublier que g est une accélération.
Donc son équation aux dimensions nous indique que cette formule est correcte.
Voilà donc le sens que l’on donne habituellement à l’expression « Equation aux dimensions »

[Dynamix]

Ton exposé est intéressant et mériterait une bonne note .
Pas 20/20 à cause de :

on dira que l’équation aux dimensions d’une surface est L²

_Confusion aire/surface
_L² n' est pas une équation

Malheureusement ça n' apporte rien à la problématique posée par alexbo .

[invite78516567821]

Merci pour votre bonne note.
Mais je maintiens que L² est une équation AUX DIMENSIONS.
Il est d'usage aussi d'employer le mot "surface" car il ne s'agit pas ici d'une AIRE mais d'une SURFACE à DEUX dimensions, d'où le L².
Amicalement.

[Dynamix]

Les théories personnelles ne sont pas admises sur ce forum .
Les terme "équations" , "aire" et "surface" sont rigoureusement définit en mathématique .
Prière de te reporter à ces définitions (Google est ton ami)

Que dans le langage commun ils aient un sens différent n' importe pas quand on parle de science .