Relativité générale

[Rutebeuf]

Bonjour à tous,

Je suis occupé à découvrir la relativité générale, du moins dans son sens physique, sans trop m'attacher au formalisme. Je me pose une question dans la démarche qui a conduit Albert Einstein à négliger le tenseur de Weyls dans l'écriture de son équation de gravitation. Je comprends bien qu'il fallait que le tenseur recherché ait 10 composantes comme celui de l'énergie-impulsion. Mais le tenseur de courbure complet de Riemann-Christoffel avec ses 20 composantes décrivait de manière plus complète la déformation élastique de l'espace-temps. Ce tenseur peut en effet se décomposer en deux tenseurs : celui de Weyls qui décrit la déformation par les forces de marrée et celui de Ricci qui décrit la déformation par la densité d'énergie. Qu'est qui a permit à Einstein de négliger le tenseur de Weyls et ne garder que celui de Ricci ? Pourquoi n'a-t-il pas envisagé que le tenseur d'énergie impulsion puisse avoir 20 composantes, dont seulement 10 seraient connues ? Quelqu'un peut-il m'expliquer cela sans se noyer dans le formalisme en se centrant sur une explication physique intuitive ? Merci à vous.
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[Deedee81]

Salut,

Un avis, d'autres sont bienvenus.

Je verrais deux raisons :
- Tout d'abord, physiquement, cette équation (d'Einstein) ne peut pas être univoque. On ne peut pas avoir le tenseur de courbure entièrement déterminé localement par le contenu en matière et énergie. Sinon il n'y a tout simplement plus de gravité (plus d'effet à distance). C'est par exemple ce qui se passe avec la relativité générale 3D (2+1). Le tenseur énergie-impulsion a alors 6 composantes tout comme le tenseur de RC. Par conséquent, l'équation d'Einstein devient "trop simple". En outre, l'équation 4D (3+1) n'a pas "trop" de liberté. Si on ajoute à cette équation les conditions aux limites, la solution devient univoque (les équations différentielles sont hyperboliques : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...s_hyperbolique voir juste le début si on veut éviter le formalisme ).
- Ensuite, si l'on part de la gravité newtonienne, avec les approximations appropriées, on trouve T_00 = G_00 (G = tenseur d'Einstein et j'ai posé le facteur numérique à 1). En outre, on peut poser quelques axiomes simples (comme la conservation locale de l'énergie => divergence du tenseur = 0) et la généralisation la plus simple est l'équation d'Einstein (avec éventuellement "+ Lambda*tenseur métrique", Lambda = scalaire = constante cosmologique). Un tenseur de matière non symétrique ou de divergence non nulle n'a pas pour moi de signification immédiate et il n'y a pas de justification pour ajouter ça.

Il y a tout de même une généralisation possible (je la connais assez mal) : c'est utiliser les variétés avec torsion. Je sais que certaines versions alternatives de la RG utilisent ça. Mais je n'en sais pas plus.

EDIT j'espère avoir été clair. Si tu as des questions supplémentaires n'hésite pas.
EDIT bis : bienvenue sur Futura

[Amanuensis]

Il y a tout de même une généralisation possible (je la connais assez mal) : c'est utiliser les variétés avec torsion. Je sais que certaines versions alternatives de la RG utilisent ça. Mais je n'en sais pas plus.

Exemple la théorie Einstein-Cartan.

Mais cela ne change rien à la question posée, on a deux équations de champ à la place d'une, mais la nouvelle concerne la torsion, et ces équations laissent encore la solution sous-déterminée, avec des solutions du vide autres que l'espace-temps plat.

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Mais je ne comprends pas trop la question. La sous-détermination est je dirais usuelle.

Par exemple les équations de Maxwell ne déterminent pas le champ électro-magnétique. Il y a des solutions du vide (absence totale de charges) qui ne sont pas nulles. Elles sont bien connues et très importantes: ce sont les sommes d'ondes planes (l'équation du vide est la nullité du laplacien 4D).

Je ne vois aucune raison pourquoi la construction de la RG aurait dû être guidée par la recherche d'équations déterminant complètement le tenseur de courbure.

[Deedee81]

Exemple la théorie Einstein-Cartan.
[...]

Merci pour ces précisions.

La sous-détermination est je dirais usuelle.

Ah oui, excellente remarque. J'aurais dû y penser. On a ça aussi avec les équations différentielles pour les vibrations mécaniques (qui d'ailleurs sont des cousines de Maxwell) ou avec l'hydrodynamique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Pour préciser un peu, dans le cas des équations de Maxwell comme de celles d'Einstein, la solution est uniquement déterminée par la combinaison des équations de champs, de la distribution des charges (Jmu pour Maxwell, Tmunu pour la RG) dans le domaine considéré, et des conditions à la frontière du domaine (ou aux limites).

Dans le cas d'une solution du vide (pas de charges), ce sont les conditions aux limites qui vont déterminer la solution (le tenseur de Weyl dans le cas de la RG). (Il est intéressant d'analyser la solution de Schwarzschild selon cet angle, cette solution étant une solution du vide ; il est usuel de la présenter à partir des symétries postulées de la solution, mais on peut aussi essayer de la regarder en termes de conditions aux limites, et de leurs symétries.)

[ordage]

Bonjour à tous,

Je suis occupé à découvrir la relativité générale, du moins dans son sens physique, sans trop m'attacher au formalisme. Je me pose une question dans la démarche qui a conduit Albert Einstein à négliger le tenseur de Weyls dans l'écriture de son équation de gravitation. Je comprends bien qu'il fallait que le tenseur recherché ait 10 composantes comme celui de l'énergie-impulsion. Mais le tenseur de courbure complet de Riemann-Christoffel avec ses 20 composantes décrivait de manière plus complète la déformation élastique de l'espace-temps. Ce tenseur peut en effet se décomposer en deux tenseurs : celui de Weyls qui décrit la déformation par les forces de marrée et celui de Ricci qui décrit la déformation par la densité d'énergie. Qu'est qui a permit à Einstein de négliger le tenseur de Weyls et ne garder que celui de Ricci ? Pourquoi n'a-t-il pas envisagé que le tenseur d'énergie impulsion puisse avoir 20 composantes, dont seulement 10 seraient connues ? Quelqu'un peut-il m'expliquer cela sans se noyer dans le formalisme en se centrant sur une explication physique intuitive ? Merci à vous.

Salut

Einstein s'est expliqué sur le sujet.

Rappelons que la matière énergie est représentée par un tenseur symétrique (tenseur énergie-impulsion) à 16 composantes (cela vient de la RR).
La métrique associée à l'espace-temps en RG, indépendamment de toute matière-énergie, contient déjà des informations structurelles sur cet espace-temps (par exemple des symétries liées à la nature de la solution cherchée).

Il y a des solutions (Schwarzschild, Kerr,... par exemple) où le tenseur énergie impulsion est nul. L'équation d'Einstein n'a pas de second membre.

Lorsqu'il y a matière énergie son action est de contraindre (déformer) l'espace-temps où elle n'était pas considérée.

L'équation d'Einstein est une équation algébrique (vis à vis de tenseurs symétriques de valence 2 dans un espace-temps à 4 dimensions).
Le tenseur de Weyl (de valence 4 comme celui de Riemann) ne semble pas intervenir dans les équations.
En fait, on peut montrer qu' en utilisant l'identité de Bianchi et l'équation d'Einstein, il existe une relation entre le tenseur énergie impulsion, sa trace et le tenseur de Weyl régie, non pas par une relation algébrique, mais par une équation différentielle (associée à la propagation d'ondes gravitationnelles).

Cordialement

[Deedee81]

Je crois que tout les participants actuels le savent, mais pour être sûr et pour éviter toute confusion :

(tenseur énergie-impulsion) à 16 composantes (cela vient de la RR).

16 est le nombre de composantes totales.
Plus haut quand on parlait de 10 (et moi de 6 en 3D) il s'agit des composantes indépendantes.

En fait, on peut montrer qu' en utilisant l'identité de Bianchi et l'équation d'Einstein

Ca me rappelle la démonstration, utilisant les identités de Bianchi, qui montre que le tenseur à droite de l'équation d'Einstein doit être sans divergence. C'est de cela dont tu parles ?
(dans le livre MTW c'est intitulé quelque chose comme "une frontière n'a pas de frontière)
Malheureusement j'aurais bien du mal à expliquer ça en termes physiques.

[ordage]

Je crois que tout les participants actuels le savent, mais pour être sûr et pour éviter toute confusion :



16 est le nombre de composantes totales.
Plus haut quand on parlait de 10 (et moi de 6 en 3D) il s'agit des composantes indépendantes.



Ca me rappelle la démonstration, utilisant les identités de Bianchi, qui montre que le tenseur à droite de l'équation d'Einstein doit être sans divergence. C'est de cela dont tu parles ?
(dans le livre MTW c'est intitulé quelque chose comme "une frontière n'a pas de frontière)
Malheureusement j'aurais bien du mal à expliquer ça en termes physiques.

Salut

Effectivement, il est utile de préciser ces points.

Pour information, l'équation (plutôt indigeste) est: ∇ ρ Cρσμν = 8πG(∇[µTν]σ + ⅓ gσ[μ∇ν]T), T est la trace de Tμν.

Cρσμν est le tenseur de Weyl
∇ est la dérivée covariante
Tμν est le tenseur énergie-impulsion
gμν est la métrique
les crochets symbolisent l'opérateur antisymétrique.
Cordialement

[Amanuensis]

Si les tenseurs de Weyl et de Ricci sont nuls, que reste-t-il dans le tenseur de courbure?

(Ce n'est pas directement lié à l'équation donnée dans le message précédent, qui ne donne pas le tenseur de Weyl, mais seulement un de ses gradients)

[Amanuensis]

Pour information, l'équation (plutôt indigeste) est: ∇ ρ Cρσμν = 8πG(∇[µTν]σ + ⅓ gσ[μ∇ν]T), T est la trace de Tμν.

Autre point, cette équation dérive d'une relation s'écrivant à partir du tenseur de Ricci et de sa trace, ensuite traduite en terme de Tmunu en utilisant l'équation de champ d'Einstein.

La relation d'origine est générale, indépendante de la RG. Pour moi cela en change l'interprétation.

[Amanuensis]

Si les tenseurs de Weyl et de Ricci sont nuls, que reste-t-il dans le tenseur de courbure?

En l'absence de réaction, je donne la réponse: rien, le tenseur de Riemann est alors nul, il me semble.

Dans une solution du vide, le tenseur de Weyl n'est nul que pour le cas d'un espace-temps plat.

L'équation donnée message #8 indique qu'un gradient du tenseur de Weyl est nul (1), il ne faut pas en tirer plus.

(1) Et peut-être d'autres qui s'en déduisent par une ou l'autre des symétries du tenseur

[Deedee81]

Salut,

il me semble.

Je confirme.

Du moins je l'ai lu (j'avoue ne pas avoir fait l'exercice de vérifier).

[Amanuensis]

Cela se "vérifie" aisément sur le Wiki par exemple. (Là: https://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_tensor)

Quand j'écris "il me semble", ce n'est pas pour obtenir une confirmation (qui n'amène rien), mais une infirmation au cas où (et ça, ça amènerait quelque chose).

[ordage]

1-Si les tenseurs de Weyl et de Ricci sont nuls, que reste-t-il dans le tenseur de courbure?
2-Autre point, cette équation dérive d'une relation s'écrivant à partir du tenseur de Ricci et de sa trace, ensuite traduite en terme de Tmunu en utilisant l'équation de champ d'Einstein.
3-La relation d'origine est générale, indépendante de la RG.
4-Pour moi cela en change l'interprétation.

Salut
1- Rien effectivement, puisque (je rappelle cela pour les lecteurs du forum), en gros le tenseur de Ricci donne les traces du tenseur de Riemann (qui est le tenseur de courbure) et le tenseur de Weyl est le tenseur de Riemann dont on a retiré toutes les traces (En conséquence le tenseur de Weyl a toutes ses traces nulles) .
Si toutes les traces sont nulles et si ce qui reste quand on a retiré les traces l'est aussi, évidemment c'est que le tenseur de Riemann est nul, donc l'espace-temps sans courbure, donc plat. Mais je n'ai pas vu la référence à cette question?
2- Effectivement, mais c'est précisément l'équation d'Einstein qui introduit la relativité puisque elle va faire référence à la matière et donner une équation différentielle "à caractère physique" entre le tenseur de Weyl et la matière. C'était la question d'origine du fil qui soulignait l'absence du tenseur de Weyl dans l'équation d'Einstein.
3- L'identité de Bianchi, qui effectivement est indépendante de la RG, est une propriété mathématique qui contraint les composantes du tenseur de courbure sur une variété (on ne peut pas spécifier arbitrairement les composantes). Mais comme la relativité est une théorie géométrique de la gravitation, il ne faut pas s'étonner que des propriétés géométriques soient invoquées.
4- Peux-tu développer ce point?

Cordialement

[Amanuensis]

4- Peux-tu développer ce point?

Dans le contexte de la discussion, en suivant les échanges, on peut obtenir l'impression que le tenseur de Weyl dépend du Tmunu, ou même, si on ne lit pas bien l'équation, que si Tmunu est nul, alors l'équation impliquerait que le tenseur de Weyl est nul (si Tmunu nul, ses dérivées sont nulles et le membre de droite de l'équation est nul...).

Cette idée de dépendance du tenseur au Weyl à Tmunu me semble un peu trompeuse. C'est le cas d'une certaine manière, au sens où les équations ne sont pas linéaires et une solution ne peut pas être la somme d'une solution du vide (déterminée par les conditions aux frontières et limites) qui donnerait le tenseur de Weyl plus une solution déterminée par Tmunu et qui donnerait le tenseur de Ricci.

D'un autre côté, c'est juste un aspect de la non linéarité, et l'influence de Tmunu sur le tenseur de Weyl est indirecte, via le tenseur de Ricci. Perso, je préfère voir l'influence du tenseur de Ricci plutôt qu'une influence directe de l'influence de Tmunu.

En gros pour moi: Tmunu détermine le tenseur de Ricci (c'est l'équation de champ d'Einstein), et la combinaison du tenseur de Ricci et des conditions aux frontières/limites détermine le tenseur de Weyl. L'ensemble donnant le tenseur de Riemann.

C'est une question de nuance, de manière de présenter, il n'y a pas de problème sur le fond.

[Deedee81]

Quand j'écris "il me semble", ce n'est pas pour obtenir une confirmation (qui n'amène rien), mais une infirmation au cas où (et ça, ça amènerait quelque chose).

Pas de problème pour moi (ce n'était pas évident à comprendre comme ça).

[ordage]

Dans le contexte de la discussion, en suivant les échanges, on peut obtenir l'impression que le tenseur de Weyl dépend du Tmunu, ou même, si on ne lit pas bien l'équation, que si Tmunu est nul, alors l'équation impliquerait que le tenseur de Weyl est nul (si Tmunu nul, ses dérivées sont nulles et le membre de droite de l'équation est nul...).

Cette idée de dépendance du tenseur au Weyl à Tmunu me semble un peu trompeuse. C'est le cas d'une certaine manière, au sens où les équations ne sont pas linéaires et une solution ne peut pas être la somme d'une solution du vide (déterminée par les conditions aux frontières et limites) qui donnerait le tenseur de Weyl plus une solution déterminée par Tmunu et qui donnerait le tenseur de Ricci.

D'un autre côté, c'est juste un aspect de la non linéarité, et l'influence de Tmunu sur le tenseur de Weyl est indirecte, via le tenseur de Ricci. Perso, je préfère voir l'influence du tenseur de Ricci plutôt qu'une influence directe de l'influence de Tmunu.

En gros pour moi: Tmunu détermine le tenseur de Ricci (c'est l'équation de champ d'Einstein), et la combinaison du tenseur de Ricci et des conditions aux frontières/limites détermine le tenseur de Weyl. L'ensemble donnant le tenseur de Riemann.

C'est une question de nuance, de manière de présenter, il n'y a pas de problème sur le fond.

Salut

J'ai compris le point que tu voulais souligner. C'est pour cela que j'avais précisé qu'il s'agissait d'une équation différentielle (vis à vis de tenseurs) et non pas algébrique (vis à vis de tenseurs, comme l'équation d'Einstein).
Pourquoi utilise-t-on le tenseur énergie impulsion au lieu du tenseur de Ricci, ce qu'on pourrait tout aussi bien faire? L'équation d'Einstein donne une correspondance entre la géométrie de l'espace-temps et la matière, c'est ce qui lui confère sa phénoménologie physique.
On fait de même avec l'équation différentielle associée au tenseur de Weyl, (qui a une structure similaire à celle des équations relativistes de l'électromagnétisme). Le phénomène physique associé est la propagation d'ondes gravitationnelles dans de la matière énergie ou dans le vide ( dans ce dernier cas on sait que seul le tenseur de Weyl n'est pas nul).

Cordialement