Les tenseurs

[toufik94]

bonjour
au cours du module mathématique pour la physique .
j'aurai un contrôle dans les tenseurs j arrivais pas le maîtrisé si qlq peut me guider sur un cour bien expliquer plus des exercices corigée
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[membreComplexe12]

ceci me parait pas mal :
http://www.fast.u-psud.fr/~francois/..._tensoriel.pdf

après peut être qu'il vaut mieux se tourner vers des livres d'introduction aux tenseurs

[velosiraptor]

Il y a l'excellent bouquin : "Eléments de calcul tensoriel" d'André Lichnerowicz !

[invite02232301]

ceci me parait pas mal :
http://www.fast.u-psud.fr/~francois/..._tensoriel.pdf

après peut être qu'il vaut mieux se tourner vers des livres d'introduction aux tenseurs

Souvent posée par les étudiants, cette question n’a rien d’évident pour les tenseurs du premier
ordre (vecteurs) et du second, qui sont souvent assimilés à leur matrice de composantes. La définition
la plus simple est à mon sens celle trouvée dans Wikipedia :
Une application linéaire f d’un espace E vers un espace F est décrite par une matrice M dont les
coefficients dépendent de la base de E et de celle de F. Le tenseur représente l’ensemble des représentations
de f dans toutes les bases. Une matrice est un tenseur dit « d’ordre 2 ».

Mais... pourquoi??

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

Il y a l'excellent bouquin : "Eléments de calcul tensoriel" d'André Lichnerowicz !

est il abordable pour quelqu'un de vraiment débutant ? es ce que ça part de 0 où il fautr déjà un certain niveau de math/physique ?

Mais... pourquoi??

Pourquoi dis tu ceci mipama ? ce n'est pas correct comme définition ? Pour un début comme moi ça m'aide à comprendre, j'espère que c'est correcte ce que dit l'auteur ?

[invite02232301]

Il y aurait beaucoup à dire sur cette définition.
Est ce qu'elle est correcte? J'en sais rien, pour moi ca n'est meme pas une définition, tellement c'est imprécis et flou.
Mais surtout l'auteur insiste sur un point (sur lesquels beaucoup d'auteurs insistent, en faisant comme si c'etait une grande nouveauté par rapport à ce que connais l'etudiant, alors que pas du coup) qui est, sans etre totalement anecdotique non plus, totalement annexe ( la relation entre un tenseur et ses representations dans des bases).

Il me semble qu'au niveau où on se place, les etudiants sont totalement à l'aise avec la notion d'endormorphisme. Et la notion de matrice associé à un endomorphisme dans une base. Et la relation entre tenseur/intrinsèque et "composante"/qui depend d'une base est exactement la meme que celle entre endomorphisme et matrice.

On a des objets, les tenseurs, qui sont défini à partir d'un espace vectoriel V donné. Ils forment des espaces vectoriels, qui ont des bases, et on peut les exprimer dans ces bases, tout comme les endormorphismes. Il n'y a rien de nouveau ici.
Du reste la définition de tenseur n'est pas plus pas moins compliqué que celle d'endormorphisme (et on en définit pas les endormorphismes comme "les representations des endormorphismes dans toutes les bases possibles" ou "les matrices dans toutes les bases possibles"). Alors pourquoi ce tournage autour du pot et ce paragraphe fumeux...

Apres si ca t'aide a comprendre, tant mieux! Il y a la place pour plusieurs approches pedagogiques, mais je ne peux m'empecher de penser qu'il y a quand meme plus simple et moins brumeux comme approche, et je me met à la place du pauvre etudiant qui lit que la définition de ce qu'il veut etudier est "trop compliqué" et qu'on va plutot l'enfumer avec du bla bla avant meme de commencer :-/

[membreComplexe12]

OK, du coup comment tu définirais à un étudiant qui n'a plus forcément en tête toutes les notions d'algèbre linéaire un tenseur ?
(ne prend pas ça comme une remarque négative, c'est juste que j'essai vraiment de comprendre car j'ai du mal moi même avec cette notion et mes cours d'algèbre linéaire sont très loin...)

[invite02232301]

Il y a au moins deux facons de définir les tenseurs.
La premiere, la meilleure, passe par la définition du produit tensoriel.
Si V et W sont deux espaces vectoriels le produit tensoriel de V et W, c'est un espace vectoriel T, muni d'une application bilinéaire a:VxW->T, qui soit "la plus generale possible", cela veut dire que pour tout espace vectoriel S et toute application bilinéaire b:VxW->S, alors il existe un unique application linéaire f:T->S tel que b soit f composé avec a. C'est un petit exercice (assez trivial et pas tres important) de montrer que T existe toujours et que si (v_i) est une base de V et (w_j) une base de W alors a(v_i, w_j) est une base de T.
On note T=V\otimes W et a(u,v)=u\otimes v. La bilinéarité de \otimes nous assure tout un tas de relations (en ecrire qqunes est fructueux).
Un tenseur (de type (p,q)) sur un espace V, fixé une bonne fois pour toute, est un element de V\otimes V\otimes...\otimes V\otimes V^* \otimes V^*...\otimes V^* ou V apparait p fois et V^* apparait q fois. On peut alors representer ces tenseurs dans des bases, par exemple si on choisit (v_i) une base de V et f_i une base de V^*, alors v_(i_1)\otimes v_(i_2)\otimes...\otimes v_(i_p)\otimes f_(j_1)\otimes f_(j_2)\otimes...\otimes f_(j_q) (pour tout p+q-uplet i_1...j_q) est une base des tenseurs de type (p,q). Bien sur si l'on a une base de V, alors on a une base V^* (si V est de dimension finie) associée, sa base duale, et on peut prendre pour f_j la base duale de v_i. ON peut ensuite developper toute la theorie sans heurt.

Une autre façon, plus economique a priori, mais moins feconde à long terme est de definir l'espace des tenseurs de type (p,q) (noté disons T^{p,q}) comme l'espace des formes V^* xV^* ..xV^* xVx...xV (où il y a q copies V^* et p copies de V) qui soient (p+q)-linéaires.
Si a et b sont deux tenseurs de type (p,q) et (r,s) alors on definit un tenseur a\otimes b de type (p+r,q+s) comme a\otimes b(v_1...,v_p, v_p+1,...v_p+r, f_1,...,f_(q+s))=a(v_1,...,v_p ,f_1...,f_q)b(v_p+1,...v_p+r, f_q+1,...f_q+s). Ceci fournit une application bilinéaire de T^{p,q}xT^{r,s}->T^{p+r,q+s}. On a bien sur, des que le choix d'une base de V et de V^* est faite, des bases de tels espaces, qu'il est tres facile de construire. En dimension finie, l'isomorphisme de bidualité, assure une identification entre T^{1,0} et V et T^{0,1} et V^*. La encore, on peut ensuite developper la theorie (mais moins loin que dans la première approche bien sur, mais si on s'en tient a des choses basiques, y a pas de souci).

Dans les deux cas, on peut démontrer tout de suite que l'espace des tenseur de type (1,1) s'identifie aux endomorphisme de V, et que si l'on choisit (e_i) une base de V, les coordonnées d'un endomorphisme (vu comme un tenseur (1,1)) dans la base e_i\otimes e_j^* correspond aux coefficients de sa matrice dans la base (e_i).

[membreComplexe12]

merci pour ta réponse, je vais méditer là dessus

[velosiraptor]

Pour le Lichnerowicz, oui il est abordable, vu que, lorsqu'on a besoin des tenseurs, on a "suffisamment" de Maths pour aborder cet ouvrage. Bon, jen e dirais pas qu'il se lit comme un roman, mais, il est bien et consacre quelques chapitres "d'applications" à la méca et à la relat'.