Dérivée d'un vecteur unitaire en coordonnées sphériques

[Balfar]

Bonjour à tous,

En cours de dynamique notre prof a commencé par nous faire un rappel de quelques bases en passant par les systèmes de coordonnées, les vitesses, etc. Pour ces dernières, il nous rappelle que et nous en donne une formule dans trois systèmes de coordonnées différents :
- en cartésiennes :
- en cylindriques :
- en sphériques :

J'ai essayé de les réobtenir par le calcul, pour les cylindriques ça ne m'a pas posé de souci mais pour les sphériques je sèche.
Je suis arrivé à ça :



Pas bien loin donc... Je ne sais pas comment dériver ce vecteur
Sur le net j'ai trouvé un site qui donnait une explication (http://mawy33.free.fr/cours%20sup/33...e%20coords.pdf, dernière page) mais je suis pas sur d'avoir compris le cheminement.

De ce que je suppose, en changeant l'angle par on "tourne" notre vecteur r de 90° dans le sens trigonométrique. Et en remplaçant par on retourne notre vecteur r de 90° dans le sens horaire... Les deux sens s'annulent, l'égalité est conservée.
Puis après par le calcul tout se déroule jusqu'à arriver au résultat tant attendu
C'est bien ça ? J'ai un gros doute sur le changement de par

Si quelqu'un peut m'aiguiller, merci d'avance
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[velosiraptor]

Oui, un truc utile : dériver un vecteur unitaire donne le vecteur unitaire tourné de +pi/2 .... Mais, par rappport à un angle. Je note vR le vecteur R
dvR/dt = (dvR/dangle)x(dangle/dt).
Ensuite, il y a plusieurs façons de faire, mais, par exemple, projette le vecteur unitaire veR sur les vecteurs {i, j, k} et ensuite utilise les dérivées composées. Il n'y a "plus qu'à" identifier les vecteurs obtenus.
En gros, commence par exprimer les vecteurs ethéta, ephi et er dans {i, j, k} et à faire les dérivations (composées). Ensuite, tu exprimes dethéta/dt = ... en reconnaissant les différentes projections ...

[Balfar]

J'ai réussi, nickel !

Je poste pour ceux qui passeront plus tard (et au cas où je me sois trompé, sait-on jamais)



En sachant que

on a




On repère

ainsi que



On obtient donc au final

[bongo1981]

ch'uis pas trop d'accord avec ton calcul. Pour dérivée le vecteur radial par rapport au temps, tu es obligé de dériver par rapport à theta et phi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Balfar]

Pourquoi ? Ce qui m'importe c'est de dériver le vecteur position par le temps pour avoir le vecteur vitesse. Et comme me l'a dit velosiraptor pour faire on peut aussi faire . Dans ce cas pas besoin d'inclure phi si ?

[velosiraptor]

J'ai un peu la flemme de vérifier, mais, attention, er projeté sur ex ey et ez fait intervenir théta mais, comme le fait remarquer bongo1981, aussi phi. Certes, la formule de la dérivée composée est toujours bonne mais il faut l'utiliser à bon escient.
er = sintheta.cosphi. ex + sintheta.sinphy. ey + costheta. ez ==> der/dt = ... puisque theta = theta(t), phi = phi(t) sont toutes deux fonctions du temps ...

[bongo1981]

Balfar> Si tu ne dérives par rapport à , comment tu peux faire apparaître ?
Pour faire le calcul proprement tu es obligé d'écrire :


Puisque comme le dit velosiraptor, le vecteur er est fonction de theta et phi qui sont des fonctions implicites de t.