Formule intervenant dans le calcul de la structure hyperfine de l'atome d'hydrogène

[huzaxi]

Bonjour à tous.

Ce message est à propos d'une formule intervenant dans le calcul de la structure hyperfine de l'atome d'hydrogène. Dans le livre que j'ai sous les yeux, on a déjà traité le problème de l'atome d'hydrogène en ne tenant compte que du potentiel électrostatique créé par le noyau et on veut accéder à la structure hyperfine par une méthode perturbative. L'hamiltonien de perturbation est :



où est l'opérateur "moment magnétique de l'électron", l'opérateur "moment magnétique du proton" et la distribution de Dirac en 0 (on modélise le proton comme un dipôle magnétique ponctuel à l'origine).

Or, on dit ensuite que pour toute fonction () "régulière en r = 0",



Je ne vois pas du tout d'où vient cette assertion. Le raisonnement qui en découle m'est intelligible, c'est juste cette formule qui me pose problème. Quelqu'un ici pourrait-il m'éclairer ?

Merci.
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[Resartus]

Il y a peut-être une méthode plus simple pour le vérifier, mais en prenant un système de coordonnées sphériques où l'un des vecteurs mu est en Ox par exemple,et l'autre dans le plan Oxy, le second terme sous l'intégrale va contenir -3cos^2(theta)sin(theta) dtheta et le premier +sin(theta)dtheta (où theta est la latitude). Quand on intègre de -pi/2 à plus Pi/2 , les deux se compensent...

[huzaxi]

Bonjour,

Je ne pense pas que ce soit exact : quand on écrit l'élément de surface sur la sphère unité , cela suppose qu'on mesure la latitude en partant du pôle Nord, variant de à (c'est le pararamétrage en coordonnées sphériques standard, quoi).

J'ai essayé de chercher des arguments de symétrie de ce genre, en vain. Mais en creusant un peu, j'ai peut-être trouvé un début de piste : il y a des calculs analogues dans la section 5.6 de Classical électrodynamique de Jackson. Affaire à suivre, donc...

[Resartus]

Effectivement, il faut un cosinus (je préfère rester avec theta = latitude de -pi/2 à pi/2).

Pour que cela s'annule, il faut faire intervenir les deux angles theta et phi -(phi entre -pi et +pi):

Si a est l'angle entre les deux vecteurs, la première expression vaut : cos(a)cos(theta)dtheta.dphi dont la somme vaut cos(a)*2*2pi=4pi.cos(a).
La deuxième vaut 3.cos^3(theta).dtheta. cos(phi).cos(a-phi).dphi. L'intégration selon theta donne 3.4/3, celle selon phi donne pi.cos(a).
Cette fois ca marche. On a bien 4pi.cos(a) des deux cotés...

[A voir en vidéo sur Futura]