Temps de chute d'un corps sur un autre

[invite2cc554ed]

Bonjour à tous, je viens de découvrir ce forum qui a l'air fort intéressant

Je suis utilisateur de Flash, le logiciel vectoriel destiné à faire des animations pour le web.

A titre d'expérience personelle, je travaille sur la modélisation des forces qui s'exercent sur les corps en utilisant les vecteurs en 2dimensions.
Pour commencer simple, je créé un corps qui possède une certaine masse et une certaine vélocité, je le place dans mon espace 2d en présence d'autres corps, et je visualise les effets de la gravitation entre ces corps (ils dessinent derrière eux leur trajectoire).

J'ai essayé de respecter les échelle réelles, tant pour les masses que les distances. Maintenant, j'aimerai vérifier la précision des calculs effectués par mon animation. Pour çà je peux placer 2 corps d'une certaine masse à une certaine distance l'un de l'autre et regarder combien de temps ils mettent pour s'attirer et se rencontrer (chuter l'un sur l'autre).

Mais voilà, je ne sais pas, par le calcul, comment déterminer en combien de temps ils auraient dû se rencontrer, pour ensuite comparer ce temps avec celui de mon animation.

Cà fait depuis le lycée que je n'ai pas calculé d'équation qui doive prendre en compte une accélération progressive.

Si vous pouviez m'apporter des précisions ou m'aiguiller vers un lien qui explique çà, ce serait sympa

Merci,
dada.
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[invite2cc554ed]

pour être plus précis dans ma question :
- j'utilise les deux lois de Newton :

F = m.a
F = G.m1.m2 / r²

Pour animer les objets dans flash, je ne calcule pas les trajectoires prédéfinies. Mais à chaque image (cadence 30 IPS), pour un corps C1, je calcule la somme des différentes forces dûes au champ de gravitation des autres corps, au point (C1.x, C1.y). J'applique cette force à C1, ce qui modifie sa vélocité.

++

[invite2cc554ed]

et une 2° question sur le même sujet :
lorsqu'on calcule la force d'attraction entre 2 corps avec :

F = G.m1.m2 / r²

"r" est-il la distance entre les centres de gravité de chacun des corps, ou est-il la distance entre les enveloppes de ces deux corps ?

Merci.

[rapporteur]

r est la distance entre les centres de gravité

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonjour.

(dada), que cherches-tu à savoir ?
En te relisant, je me perd ??!...

Les principes que tu utilises sont corrects (contrairement aux noms... mais là c'est chipoter...)...

C'est peut-être la fatigue ?!

Duke.

[invite2cc554ed]

Merci pour vos réponses

Oui, pardon, c'est possible que je n'ai pas été explicite

Ce que je veux faire :
Je pose 2 corps de masse m1 et m2 séparés par une distance d. Leur vélocité est nulle.
Comment calculer le temps nécessaire pour que ces corps se rencontrent ? (leur mouvement n'étant dû qu'à la force de gravitation).

Merci.

P.S : si je n'emploie pas les bons termes, n'hésitez-pas à me corriger, ce sera même carrément bienvenu

[yahou]

Bonsoir.

Je ne suis pas certain que le problème soit soluble analytiquement. Voilà quand même ce qu'on peut en dire.

D'abord les deux masses se déplacent et ça complique l'affaire. La première chose a faire c'est d'introduire une planète fictive appellée le mobile réduit. Je passe les détails, en gros on remplace les deux planètes par une seule, de masse , attirée par un point fixe du repère exerçant une force .

Le principe fondamental de la dynamique (F=ma) donne alors où le point symbolise une dérivation par rapport au temps.

On peut en utilisant les conditions initiales ( et ) intégrer une première fois. On obtient (conservation de l'énergie mécanique)

En essayant d'intégrer une seconde fois on tombe sur où

Perso je sais pas intégrer ça.

En revanche quand on écrit une équation différentielle en prenant comme variable l'angle et non le temps, on tombe sur une intégrale que l'on sait calculer (fonctions elliptiques et tout ça..).

Tout ça pour dire que si tu veux tester ton programme, essaye plutôt de donner une vitesse initiale pour mettre ta planète en orbite (elliptique), et teste par exemple la troisième loi de Kepler qui donne la période de révolution : où est le demi grand axe de l'orbite.

[rapporteur]

Bonjour
En fait tu as une équation différentielle de la forme dérivée seconde de la distance par rapport au temps egale 1/r^2.
Je crois me rappeler que cette équation n'a pas de solution analytique et qu'il faut l'intégrer numériquement.
A bientot

[invite2cc554ed]

ok, merci de vos réponses Je pensais pas que çà allait chercher si loin Je trouverai un moyen plus simple de tester mon programme.
De toutes façons, il y a des imprécisions qui sont ajoutées par le fait que c'est une animation, qui dépend d'une certaine cadence( donc entre 2 images, aucun calcul n'est fait, on avance par pas), et que la mesure du temps écoulé entre 2 images manque de précision (en ms).
Mais globalement, çà fonctionne quand même bien. J'arrive à reproduire sans problème le schéma soleil/terre/lune.
J'ai triché sur la vitesse de la terre pour pouvoir la rapprocher du soleil que ce soit plus centré sur l'animation.

++

[philou21]

Bonjour
Maintenant si c'est juste pour tester ton programme il suffit de faire l'hypothèse m1 >> m2. On suppose alors m1 est fixe et là, il y a une solution analytique.

[invite2cc554ed]

Merci philou, cette solution me paraît faisable (à mon niveau) Je testerai çà dès que possible

[yahou]

Je ne vois pas ce que change au problème. On tombe sur la même intégrale au final, simplement dans le paramètre de mon message #7 on peut oublier .

[rapporteur]

Bonjour
Maintenant si c'est juste pour tester ton programme il suffit de faire l'hypothèse m1 >> m2. On suppose alors m1 est fixe et là, il y a une solution analytique.

Tu es sur de ça ? C'est quoi la solution analytique ?

[BioBen]

Je ne vois pas ce que change au problème. On tombe sur la même intégrale au final, simplement dans le paramètre de mon message #7 on peut oublier .

Euh .... j'ai pas tout lu, mais si tu fais m1>>m2 tu arrives à un problème tout bête similaire à la chute d'une pomme Y'a juste un corps générant la gravitation, donc l'autre subit F=mg d'où ma=mg etc...

[rapporteur]

Euh .... j'ai pas tout lu, mais si tu fais m1>>m2 tu arrives à un problème tout bête similaire à la chute d'une pomme Y'a juste un corps générant la gravitation, donc l'autre subit F=mg d'où ma=mg etc...

Bonjour bioben
Je ne suis pas du tout d'accord avec toi. Quand tu fais mg tu supposes que le corps se déplace dans une zone ou r est à peu prés constant. Ainsi au voisinage de la terre sur une distance h de quelques centaines de mètres tu peux considérer g comme constant car h<<r
Ce qui n'est pas le cas ici. Ce n'est pasle rapport des masses qui y change quoi que ce soit
A bientot

[yahou]

Euh .... j'ai pas tout lu, mais si tu fais m1>>m2 tu arrives à un problème tout bête similaire à la chute d'une pomme Y'a juste un corps générant la gravitation, donc l'autre subit F=mg d'où ma=mg etc...

Ce que tu dis est vrai pour une pomme parce qu'entre le point d'où tu la lâches et le sol l'intensité du poids varie peu. Je parlais ici du cas général où on prend en compte la variation du poids en fonction de la position (d'où la présence de la distance dans l'équation différentielle, et les difficultés pour la résoudre).

Si vraiment on veut avoir un résultat littéral dans ce cas on peut limiter le déplacement à une zone où la force varie peu et faire un développement limité dans cette zone (c'est d'ailleurs ce qu'on fait à l'ordre 0 quand on écrit que le poids est constant au voisinage de la surface de la terre).

Mais ça me paraît un peu bizarre de s'acharner alors qu'il existe des résultats exacts si on exprime la distance en fonction de l'angle (ce qui marche dans tous les cas sauf sans vitesse initiale !!).

edit : croisement avec rapporteur

[philou21]

Au temps pour moi ! effectivement je pensais à une variation de distance petite, du style de la pomme…

[BioBen]

Au temps pour moi ! effectivement je pensais à une variation de distance petite, du style de la pomme…

Tout comme moi, j'aurai du lire un peu mieux les messages précédents et pas me ruer sur le clavier lol

[rapporteur]

Mais ça me paraît un peu bizarre de s'acharner alors qu'il existe des résultats exacts si on exprime la distance en fonction de l'angle (ce qui marche dans tous les cas sauf sans vitesse initiale !!).

Yahou
1) Peux-tu stp me donner ce résultat ?
2) Comment fais-tu pour écrire les équations ?
Merci

[yahou]

1) Peux-tu stp me donner ce résultat ?

On se place dans le référentiel barycentrique (celui dont l'origine est au centre de gravité du système des deux masses).
Soient et les positions des deux masses, et leur vitesses, et .


L'équation du mouvement du mobile réduit, en coordonnées polaires, est donné par
où , ,

La quantité e, appelée excentricité, est une constante, on peut donc remplacer les vitesses et positions par leur valeur initiale. Le mouvement est un cercle si e=0, une ellipse si 0<e<1, une parabole si e=1, une hyperbole si e>1.

Les mouvements de et se déduisent de celui du mobile réduit par ,
.

Bon ça c'est le résultat brut. Ya plein de trucs intéressants à en dire mais ça prend du temps. Si tu as accès à une BU tu trouvera tous les détails dans n'importe quel livre de mécanique du point de 1er cycle universitaire.

2) Comment fais-tu pour écrire les équations ?

J'utilise LateX. Plus d'info sur ce lien.

[rapporteur]

bONJOUR
yAHOO
Je suis d'accord avec toutes les équations que tu as écrites. Par contre il n'y a pas l'équation horaire et je pense que c'est ca que demandait DADA. Pendant un certain temps je me suis intéressé au mouvement de la terre autour du soleil. Et meme en négigeant l'influence des autres planètes en ne prenant en considération que le systeme terre-soleil, je me rappelle qu'il n'y a pas de formules exactes donnant l'élongation de la terre (l'angle ) en fonction du temps; il y a juste un développement limité basé sur la faible valeur de e (je ne me rappelle plus si c'est 0,16 ou 0,016). Ainsi je pense qu'il n'y a pas d'équation horaire exacte. Si tu as d'autres informations fais-moi en part et merci pour le lien pour latex.
ps: Est-ce que latex demande du temps à etre pris en main ?
A bientot

[yahou]

Je suis d'accord avec toutes les équations que tu as écrites. Par contre il n'y a pas l'équation horaire et je pense que c'est ca que demandait DADA.

Effectivement. En fait je n'ai jamais été plus loin que ce qu'on apprend en 1er cycle universitaire dans le domaine, donc je n'ai jamais croisé l'équation horaire. Je ne m'avancerai pas à affirmer qu'elle n'existe pas, mais si tu le dis je veux bien le croire.

Pour le problème de Dada, ç'aurait évidemment été l'idéal d'avoir l'équation horaire. Mais si il peut montrer que l'équation polaire de la trajectoire obtenue coïncide avec celle que j'ai donnée, et que la période de révolution colle avec la troisième loi de Kepler, je pense que ça suffira à valider son animation.

Est-ce que latex demande du temps à etre pris en main ?

Pour taper quelques formules à utiliser sur futura ça vient très vite. Tu peux commencer par citer les messages contenant des formules et faire du copier collé, tu retiendras vite les instructions pour les signes les plus courants.
Pour taper un document complet (genre rapport de stage), avec une mise en page, des tableaux/figures..., ça prend déjà nettement plus de temps.

[invite2cc554ed]

hehe, vous êtes des passionés
Merci pour toutes vos réponses.
Mais je n'ai pas moyen de relever facilement l'équation horaire, et mathématiquement parlant je suis pas une flèche

Pour tester mon anim, je vais réprésenter la terre et le soleil à l'échelle et je vais regarder si la terre fait bien sa révolution en un an !

Non, blague à part, dans le même principe, j'ai pensé à quelque chose en lisant vos réponses.
Si, dans mon animation je place à l'échelle la terre et la lune, en donnant la bonne vitesse initiale à la lune, normalement, si mon anim est correcte, la révolution de la lune sera d'environ 28 jours.
Comme çà fait un peu long à attendre , pour accélérer le processus, je pourrais procéder de 2 manières différentes :
1) soit :
- diviser la distance terre-lune par x,
- multiplier la vitesse initiale de la lune par x².
2) soit :
- multiplier par x la masse de la terre,
- multiplier par x la vitesse de la lune.

Ceci dans le but qu'une révolution se fasse (par exemple) en 2 minutes, pour que je puisse chronométrer mon animation, et ainsi tester sa marge d'erreur.

Dites-moi si je me trompe

[rapporteur]

Rebonjour Dada
En fait pendant un certain temps je me suis passionné pour ces problemes de rotation de la terre autour du soleil et de la lune autour de la terre.
Si tu veuxprésenter une animation, en particuliers à des élèves par exemple ou des gens n'ayant pas une grande connaissance du domaine c'est que simplement tu peux programmer la lune pour qu'elle fasse le tour de la terre dans le bon intervalle de temps( 27 jours plus un tiers ou deux tiers, je ne me rappelle plus exactement) et cela indépendamment de la force de gravitation. C'est beaucoup plus simple. Si tu veux quelque chose de plus précis il faut introduire ce qu'on appelle les inégalités du mouvement de la lune dont je ne me rappelle les expressions exactes mais que tu peux sans doute retrouver sur le net. Il me semble que ces equations ont été établies au dix-neuvième siecle par Brown.
Ces inégalités tiennent compte de l'excentricité de l'orbite lunaire, de l'influence du soleil, de l'angle entre les plans des trajectoires .....
Ca c'est si tu veux quelque chose de plus exact. En tout cas pour ton animation je te conseille d'oublier la loi de la gravitation
A bientot