Méca Q niveau grand débutant : particule libre et solutions stationnaires

[Reskina]

Salut,
alors voilà je commence la méca q (niveau prépa) et pour le moment je n'arrive pas vraiment à manier les concepts ...
Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans mon livre : on cherche des solutions stationnaires de l'équation de Schrodinger pour une particule libre (apparemment "particule libre" ça veut dire que V=0 ..?)
Déjà ça, ça me paraît bizarre parce que j'ai vu pas mal d'animations qui semblaient indiquer qu'un la fonction d'onde d'une particule laissée à elle-même a tendance à "s'éparpiller", enfin à s'élargir, un peu comme ça : https://www.youtube.com/watch?v=4WBUonPMTSY

Hors dans mon livre ils disent qu'une solution stationnaire c'est une solution telle que le module de la fonction d'onde à un x donné ne varie pas au cours du temps. Hors là du coup on voit bien que le module en un point change avec le temps (dans l'animation on voit que la fonction module s'aplatit comme de la chaleur qui diffuse et que la particule est de plus en plus large). Donc pour moi il n'y a pas de particule libre qui soit solution stationnaire.

Mais l'auteur en trouve une infinité et notamment une qui est
Alors je ne sais pas moi je n'ai pas l'impression que ce soit une solution car si le module de psi vaut A partout je vois mal comment l'intégrale de ce module au carré sur tout l'espace peut valoir 1 !

Bref, c'est dur ... Des indications ? Merci d'avance
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[lilicha]

Bonjour,

(apparemment "particule libre" ça veut dire que V=0 ..?)

Oui, c'est bien ça.

Mais l'auteur en trouve une infinité

Les solutions de la forme exp(ikx-iwt) (ondes planes) forment une base pour les solutions de l'équation de Schrödinger. Ainsi, une solution de l'équation de Schrödinger s'écrit comme une combinaison linéaire des solutions de la base. Tu as sûrement dû étudier le cas d'une particule libre dans une boîte. Tu écris la solution totale (à 1D) comme étant A exp(ikx) + B exp(-ikx) et tu détermines les différentes constantes grâce aux conditions aux limites.

Alors je ne sais pas moi je n'ai pas l'impression que ce soit une solution car si le module de psi vaut A partout je vois mal comment l'intégrale de ce module au carré sur tout l'espace peut valoir 1 !

C'est bien une solution mais ce n'est pas la solution (qui est une combinaison linéaire d'ondes planes), c'est pour ça que ton raisonnement te mènes vers des choses étranges.

Pour en revenir à ton animation, une combinaison de solutions stationnaires n'est pas forcément stationnaire.

Si t'as d'autres questions n'hésites pas. J'espère que ça t'a aidé(e) et que je n'ai pas dit trop de bêtises (si c'est le cas merci de le signaler) =)