Équation de poisson ( Cas d'un plasma)

[Nynous]

Bonjour/ Bonsoir à tous avant toute chose je vous donne l'énoncé de l'exo; "un plasma chargé avec des ions +q et des e- -q; on se place en coordonnées spheriques en un point M à distance r d'un ion O considere comme origine. On a le potentiel V(r) et les densités volumiques d'ions Pi=n0e et d'electrons Pe=-n0eEXP((eV(r))/(kbT))
On donne e=1.610^-19C et kb=1.3810^10^-23 J/K, le Laplacien en spherique : LV(r)=(1/r)*d²(rV(r))/dr² et on pose 1/Lambda = noe²/kbT(epsilon0)"

question 1 : Déterminer l'équation diff verifiée par V(r), la linéariser en admettant que l'Ep electrique << Energie agitation thermique.
j'ai utilisé l'equation de poisson : LV(r)+P/epsilon0=0 et le fait que eV(r)<<kbT d'apres l'approximation faite au dessus.
j'ai abouti à d²(V(r))/dr² + (2/r)d(V(r)/dr - V(r)/lambda = 0

question 2: Determiner V(r) et tracer sa courbe. interpréter la signification de lambda.

Ma question est :mon equation vous semble-t-elle juste ? comment la résoudre? je n'arrive pas à trouver un angle d'attaque ...
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[Alouxis]

Bonjour,


l'équation différentielle que tu obtiens est la bonne ! Une piste pour la résoudre (il s'agit de la méthode dite "de Fuchs") :

tu peux poser puis injecter dans l'équation.

Ensuite tu peux factoriser par . En prenant l'équation qu'il reste en (en supposant que ) alors tu peux résoudre pour et pour

puis tu as la solution .

Si tu as un doute tu peux nous poster la solution que tu trouves ici. Peut être aussi qu'il existe une méthode plus simple mais celle ci a le mérite d'être propre et générale.

Bonne journée,

Alouxis

[Nynous]

Merci pour ta reponse, donc si je suis bien: en posant V(r)=r^(n)f(r) et en l'injectant dans l'equation j'obtiens :

r^(n-2)[f''(r)r²+f'(r)2r(n+1)+f(r)[n²-(r/lambda)²]]=0 apres avoir factorisé par r^(n-2).

pour r=0 ce qu'il reste est f(r)n²=0 mais je me suis peut être emmêlé les pinceaux

[Alouxis]

Hello,

tu as oublié des termes, attention aux dérivées des produits ! Si tu as des difficultés je peux te donner plus de détails.

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nynous]

re effectivement je me suis trompé dans mes calculs, l'equation obtenue à plutot la forme la:

r^(n-2)[f"(r)r²+f'(r)r(2n+1)+f(r)(n(n+ 1)-(r/lambda)²)]=0 mais je n'est pas compris l'etape d'apres pour r=0

[Alouxis]

Je pense que tu as encore quelques erreurs, nous avons :







avec quelques réarrangements :



A ce stade on peut éliminer car r ne vaut pas toujours zéro. Alors il reste le terme qui était entre les crochets :



Si on pose , on obtient :



Cette équation devrait te donner la valeur de n (sachant que l'une des deux valeurs que peut prendre n n'est pas intéressante) en gardant en tête que .

Une fois la valeur de n déterminée tu peux le remplacer dans l'équation (4) et cela te ramènera à une équation pour f dont tu connais la solution.

A+

[Nynous]

Un grand merci pour tes explications, j'ai tout compris cette fois ci, à la prochaine !