Bonjour,
Je voudrais savoir si quelqu'un pouvait me donner une explication concernant 2 raisonnements qui se contredisent concernant l'indcution. En particulier, mon souci est que j'obtiens des résultats différents selon que j'utilise une loi locale (Maxwell) ou une loi intégrée (V=-dPhi/dt) qui fait appel au thm de Stokes.
Voici le pb:
Prenons un solénoïde très long ; on sait que le champ B à l'intérieur est axial (selon ez), et indépendant de la position à l'intérieur du solénoïde. Supponson un champ B sinusoidal lentement variable (on néglige la propagation).
A l'intérieur, ajoutons un long cylindre creux conducteur de très faible épaisseur (très faible devant la profondeur de peau), et faisons une minuscule encoche longitudinale interdisant tout courant orthoradial de se reboucler.
Deux cas de figure :
1- Avec le raisonnement usuel (on intègre E le long du rouleau, selon u_theta), on montre facilement qu'il y a une tension induite ; V=-S*dB/dt. Ensuite, on dit que le courant orthoradial est nul puisque le cylindre est ouvert. Donc, le champ B demeure uniforme à l'intérieur du solénoïde (pas de courant induit qui perturbe). C'est ce que l'on observe expérimentalement avec un transformateur avec secondaire ouvert par exemple. Et c'est le raisonement que j'ai l'habitude d'utiliser.
2- Essayons de faire de même avec les équations locales ; sans employer le théorème de Stokes.
On a : rot(E) = -dB/dt
Donc si on passe en coordonnées cylindriques, et que l'on utilise la symétrie de révolution, on aboutit rapidement à E_theta = -jw*r/2*B et E_r=0.
Autrement dit, le champ E ne peut être que orthoradial, et il n'est pas nul si B n'est pas nul.
Par ailleurs, on sait que rot(B)=mu*J. Mais on sait aussi que B n'est pas perturbé par la présence du cylindre conducteur puisque ce dernier est "ouvert" (cf raisonement 1), et que donc, B ne dépend pas des variables d'espace. Donc rot(B)=0.
Du coup, J=0. De plus, dans le cylindre conducteur, on peut écrire J=sigma*E. Ainsi, ceci prouve que E=0 dans le conducteur... ce qui contredit E_theta = -jw*r/2*B déduit de Maxwell-Faraday.
En gros, j'ai Maxwell-Faraday + loid'Ohm locale qui dit que j'ai un champ E orthoradial dans le cylindre, et donc une densité de courant orthoradiale, et j'ai la loi d'Ohm globale qui me dit que c'est pas possible ...
Bref, je ne remets pas en cause les équations de Maxwell bien entendu, mais je voudrais savoir si quelqu'un pouvait me dire à quel endroit mon raisonement est incorrect ? Est-ce l'hypothèse de symétrie de révolution qui est fausse ? (car il est vrai que l'entaille rompt cette symétrie, mais on a qd même envie de dire que c'est "presque symétrique"). Comment y remédier ? Et que se passe-t-il concrètement ? Comment se répartit le champ E ?
Merci
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