Symétries du potentiel vecteur vis à vis de B

[freemp]

Bonjour,

J'ai un peu oublié les méthodes d'EM et j'ai besoin de trouver l'expression du potentiel vecteur pour le problème suivant :

J'ai champ magnétique uniforme dans l'espace selon U_z, sauf dans un anneau circulaire orthogonal à U_z où B=0. (En pratique il s'agit d'un anneau supra).
Je cherche à calculer le potentiel vecteur à l'intérieur de mon anneau.

J'ai donc partout sauf dans l'anneau, et dans ce dernier.

Je me souviens qu'on dit que le potentiel vecteur est un vecteur vrai, càd qu'il est dans les plans de symétrie des distributions de courants et orthogonal aux plans d'antisymétrie de ces dernières.

Mais ici je n'ai pas de courants mais un champ magnétique.

Du coup comme on a un produit vectoriel entre A et B via le vecteur nabla je me suis dit que vis à vis de B, A était un pseudo vecteur (en gros A devient orthogonal au plan de symétrie de B et est contenu dans les plan d'antisymétrie de B).

Mais je ne sais pas si mon raisonnement est juste ou pas.

Concrètement ça me donne :

• Pour , ce plan est un plan d'antisymétrie pour B, donc en ce point
• Pour le plan passant par O et orthogonal à , ce plan est un plan de sym pour B, donc orthogonal à ce plan en ce point.t

Au final j'ai juste besoin de ma seconde symétrie pour résoudre le pb et j'ai donc :


(A dépend que de r par raison de symétries).
Et en intégrant sur une boucle je trouve donc :



Le raisonnement est il juste ? Autrement dit est ce que je peux considérer B comme une source de A, où je considère que A est un pseudo vecteur vis à vis de B pour l'étude des symétries ?

Merci beaucoup et bonne journée.
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[LPFR]

Bonjour.
J’ai un problème avec votre énoncé.
Je ne vois pas comment B peut avoir toujours la même direction et être nul dans l’anneau.
Car la divergence de B est nulle, et les lignes de champ sont continues.
Elles doivent « contourner » l’anneau. Du coup, la direction ne peut pas être constante et la valeur de B non plus.
Au revoir.

[freemp]

Oui il y a en fait un enroulement de B autour de l'anneau. En fait je ne m'intéresse pas trop à ce phénomène je voulais juste donner l'idée générale.

En gros on applique un champ magnétique suivant Uz et on met un anneau supra conducteur orthogonalement à Uz. Comme c'est un supra le champ magnétique en son sein sera nul. Et le champ B respectera les symétries que j'ai énoncé (on a pas besoin de considérer que B est uniforme suivant Uz).

[LPFR]

Re.
Quand il s’agit des champs magnétiques il faut se méfier d’appliquer des symétries trop rapidement. On peut se faire piéger.

Ici, on voit (sans faire des calculs) que le vecteur A, loin de l’anneau tourne autour de l’axe ‘z’. Mais près de l’anneau, il tourne autour d’un axe incliné vers le centre ou vers l’extérieur. Il n’a pas qu’une composante en θ mais aussi une en ’r’ et en ‘z’ dépendantes de la position par rapport à l’anneau.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[freemp]

Hmmmm je ne suis pas sur de comprendre. En fait je prends un point dans le plan contenant mon anneau comme indiqué pas du tout clairement dans mon premier message (sorry).

Je prends un point M dans le plan de l'anneau, il appartient donc au plan de symétrie du champ magnétique contenant ce point, de vecteur normal U_theta (coordonnées cylindriques).

Donc A est orthogonal à ce plan.
Donc A suivant U_theta.

Ce raisonnement est donc faux ?
Dans votre réponse vous avez pris un point quelconque de l'espace ou bien un point situé dans le plan de l'anneau ?

Merci !

[LPFR]

Re.
Oui. Je parle d'un point quelconque
Mais dans le plan de l’anneau nous sommes d’accord: A est bien dans le plan de symétrie.
Mais pas en dehors du plan.
A+

[freemp]

Nous sommes d'accord du coup.

Mais juste pour être sur et pour en revenir à ma question initiale : on est d'accord sur le fait que de manière générale, on peut raisonner en disant que B est une source pour A (avec une relation de pseudo vecteur entre les deux), de la même manière qu'on raisonne usuellement avec j qui est la source de B ("symétries pseudo vectorielles"), ou j la source de A ("symétries vectorielles vraies").

Merci !

[LPFR]

Re.
B est le rotationnel de A mais il un tas de A qui donnent le même B, qui ne différent que par un champ irrotationnel.
Donc, je ne pense pas que l’on puisse dire que B est la source de A. Mais le contraire A est la source de B.
A+

[freemp]

Oui il existera des tas de A à un gradient près mais d'un point de vue de l'étude des symétries la conclusion sera la bonne en considérant comme si B était une source de A ?

[LPFR]

Re.
Je vois ce que vous voulez dire. Mais c’est le mot « source » qui me gène.
D’autant plus qu’il y une manip (au moins), dans lequel les électrons sont sensibles à A alors que B est nul.
Mais si vous l’utilisez dans un sens mathématique pur, je regarderai de l’autre côté.
A+

[freemp]

Que voulez vous dire par : "Mais si vous l’utilisez dans un sens mathématique pur, je regarderai de l’autre côté". Je n'ai pas compris.

Sinon si vous parlez de l'effet Aharonov–Bohm, en effet les électrons seront sensible à A alors que B est nul là où se trouve A, mais la ""cause"" de ce A reste un champ magnétique (qui n'est pas là où on regarde la présence de A, certes mais B n'est pas nul partout). Je ne suis pas du tout sur mais peut être que même dans cette experience l'étude des symétries de B donnera la bonne forme de A.

Mais d'ailleurs en fait sans raisonner en terme B "source" pour A pour l'étude des symétries, comment est-il possible de trouver la forme de A dans l'exemple proposé (le fait qu'il est suivant U_theta dans le plan de l'anneau) ? En gros sans faire ce procédé comment vous saviez que A serait suivant U_theta ?

[LPFR]

Re.
Je « vois » très bien B et ne « vois » pas A directement. Mais je pense que c’est A l’origine de B et non le contraire. Car avec un A vous avec un B unique. Alors qu’avec un B vous avez un A indéterminé.

Pour ce qui est du rotationnel il faut savoir ce qu’il veut dire en pratique : si vous abandonnez un « flotteur » dans le champ (je le vois très bien comme un champ de vitesses dans un fluide), le bouchon sera emporté. Et s’il tourne sur lui-même, c’est que le rotationnel n’est pas nul. De plus le vecteur rotation est directement lié à la direction et à la valeur du rotationnel.
Ici il faut imaginer comment doit être le champ A pour que son rotationnel soit B Ce n’est pas dur. En tout cas, plus simple que faire le calcul analytique.
A+

[stefjm]

que signifie A est l'origine de B?