Effet Oberth, conservation de l'énergie et changement de référentiel

[The Tesseract]

Bonjour à tous,

L'effet Oberth énonce qu'un gain de vitesse aura un meilleur impact sur l'énergie mécanique s'il est réalisé à une vitesse élevée (d(em) =2v × dv). On le justifie par l'énergie mécanique des gaz propulsés qui diminue (leur vitesse est plus faible que celle de la fusée).
Or, par la conservation de la quantité de mouvement, la variation d'énergie cinétique est indépendante du référentiel d'étude (pourvu qu'il soit galiléen). On considère une fusée de masse 2m (m pour la charge utile, m pour le carburant), allant à v0, son énergie mécanique (massique) est em = v0²/2. Après expulsion, par conservation de la quantité de mouvement, la fusée est à 2v0 et le carburant à 0 (on suppose le transfert instantané), l'énergie mécanique de tout le système {charge utile + carburant} est désormais em = v0², soit em = v0²/2
Si on se place désormais dans un référentiel où la fusée est à 2v0, on a em = 2v0² et on trouve après coup une énergie mécanique em = 5/2*v0², soit em = v0²/2. La variation d'énergie mécanique du système semble bien indépendante du référentiel.

Alors, comment expliquer l'effet Oberth ? J'ai l'impression que ça vient du fait que le système {fusée} est à masse variable surtout...
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[Amanuensis]

Bonjour, et bienvenue sur le forum,

Or, par la conservation de la quantité de mouvement, la variation d'énergie cinétique est indépendante du référentiel d'étude (pourvu qu'il soit galiléen).

Ah bon? Vérifier pourrait être utile...

[The Tesseract]

Et bien avec v1 et v2 les vitesses algébriques respectives de la charge utile et du carburant,

Au départ, v1 = v2 = v (quelconque) et donc em = v²/2

Après impulsion, v1 = v + v0 et v2 = v - v0 d'où em = (v1²+v2²)/4 = (v²+v0²)/2 et donc enfin em = v0²/2.

C'est vrai aussi avec des vecteurs...

La variation d'énergie mécanique est bien indépendante du référentiel d'étude !

[Amanuensis]

Soit un mouvement rectiligne, deux référentiels galiléen à différence de vitesse v0 sur l'axe considéré, m(v1-v0)² - m(v2-v0)² = mv1²-mv2² -2v0(mv1-mv2)

Qu'appelez-vous "variation d'énergie cinétique"? L'énergie cinétique ne varie dans un référentiel que la vitesse varie, donc mv1 différente de mv2, donc v0 a un effet.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

OK, ce que vous appelez "variation de l'énergie cinétique", c'est l'énergie amenée au système par l'impulsion (énergie venant de la motorisation), la variation de l'énergie cinétique totale causée par l'impulsion.

Normal que ce soit indépendant du référentiel.

[Amanuensis]

Pour l'effet Oberth, ce qui est pertinent n'est pas l'énergie cinétique totale du système, mais seulement l'énergie gagnée par le vaisseau.

En partant du référentiel du centre de masse, et des masses égales, les variation sont 1/2mvi² pour chacune des deux parties du système. Si on change de référentiel en en prenant un qui va à v], (le double de) l'énergie cinétique gagnée par le vaisseau est m(v+vi)²-mv², celle par les gaz m(-vi+v)²-mv². La somme, l'énergie gagnée par le système en entier est bien indépendante de v, mais l'énergie cinétique gagnée par le vaisseau seul dépend bien de v. Non?

[phys4]

L'effet Oberth énonce qu'un gain de vitesse aura un meilleur impact sur l'énergie mécanique s'il est réalisé à une vitesse élevée (d(em) =2v × dv). On le justifie par l'énergie mécanique des gaz propulsés qui diminue (leur vitesse est plus faible que celle de la fusée).
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Alors, comment expliquer l'effet Oberth ? J'ai l'impression que ça vient du fait que le système {fusée} est à masse variable surtout...

L'effet Oberth concerne l'énergie de la fusée seulement.
Si vous vous intéressez au bilan d'énergie totale de la réaction, il est normal qu'il ne dépend pas de la vitesse initiale.
Ce n'est pas le but recherché, il importe d'examiner le répartition d'énergie entre la fusée et le carburant : lorsque le carburant emporte moins d'énergie, la fusée en acquiert davantage, donc il est important que le carburant soit à vitesse finale faible.

Le rendement le plus catastrophique est au départ, la vitesse de la fusée est nulle et ne prend presque pas d'énergie qui est totalement prise par l'éjection du carburant. Quand la fusée atteint la vitesse d'éjection, c'est le carburant qui prend une énergie nulle et la fusée récupère toute l'énergie.
A cause de cette variation continue du rendement, le raisonnement pour les fusées se fait toujours en impulsion, car le rendement n'a pas un sens bien utile.

[Amanuensis]

L'effet Oberth concerne l'énergie de la fusée seulement.
Si vous vous intéressez au bilan d'énergie totale de la réaction, il est normal qu'il ne dépend pas de la vitesse initiale.

C'est gentil de répéter exactement ce que j'écris. Cela me rassure. Sur ce que j'écris, mais pas vraiment sur l'idée que mes messages sont lus.

[phys4]

C'est gentil de répéter exactement ce que j'écris. Cela me rassure. Sur ce que j'écris, mais pas vraiment sur l'idée que mes messages sont lus.

Bonne chose, il y a un petit bug chez moi et je ne voyais pas tes réponses.
Les messages 4 5 et 6 n'étaient pas visibles.

[The Tesseract]

Je suis d'accord avec vos calculs, mais ce que je dis, c'est que si on isole la fusée, alors elle ne gagne pas la même énergie selon le référentiel. C'est tout de même étrange non ?

D'ailleurs phys4, "lorsque la fusée atteint la vitesse d'éjection", c'est dans quel référentiel ? A priori aucun référentiel galiléen ne vaut mieux qu'un autre.

[Amanuensis]

"lorsque la fusée atteint la vitesse d'éjection", c'est dans quel référentiel ? A priori aucun référentiel galiléen ne vaut mieux qu'un autre.

La vitesse d'éjection n'est pas une vitesse relative à un référentiel, mais une différence de vitesse, entre celle du vaisseau et celle des gaz. Et une différence de vitesse ne dépend pas du choix de référentiel.

[Enthalpy]

[...] la fusée [...] ne gagne pas la même énergie selon le référentiel.

Oui. L'énergie cinétique dépend du référentiel, et sa variation aussi.

Comme l'impulsion suit des additions simples et que l'énergie cinétique dépend de son carré, l'énergie cinétique ne peut suivre des additions simples.

Et à cause du carré, mieux vaut accroître l'impulsion là où elle est déjà la plus grande, c'est-à-dire au périastre.