Les dimensions et unités physiques

[Scientist_75]

Bonjour à tous !

Je me posais une question par rapport aux unités physiques. Vous savez, parfois quand on utilise des fonctions transcendante comme le logarithme ou l'exponentielle pour décrire un phénomène physique, on est obliger d'annuler le caractère dimensionnelle de sorte à ce que l'argument d'un logarithme, d'un cosinus ou d'une exponentielle soit sans dimension (car le développement en série de Taylor nous montre qu'il est impossible de calculer le logarithme d'un nombre dimensionné, par exemple).

Mais la question que je me posais c'est : est-ce que toutes les dimensions qu'on peut "créer" ont forcément une signification physique ou pas ? Par exemple, à quoi correspondrait des kg² ou encore des Joules^-1 ?
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[LPFR]

Bonjour.
Non : pas toutes.
On peut trouver des exemples dans les deux sens.
Au revoir.

[Amanuensis]

Je me posais une question par rapport aux unités physiques. Vous savez, parfois quand on utilise des fonctions transcendante comme le logarithme ou l'exponentielle pour décrire un phénomène physique, on est obliger d'annuler le caractère dimensionnelle de sorte à ce que l'argument d'un logarithme, d'un cosinus ou d'une exponentielle soit sans dimension (car le développement en série de Taylor nous montre qu'il est impossible de calculer le logarithme d'un nombre dimensionné, par exemple).

Il y a peut-être au moins une exception, et il est intéressant de voir comment s'applique l'argument du développement en série de Taylor alors. Je pense à l'équation de Boltzman, S = k ln W. Aussi bien l'entropie et le nombre d'états ont apparemment une signification physique.

S, l'entropie, a une unité parmi les continues et on peut argüer que W est un décompte, et a une unité discrète ayant un sens physique, tout comme n pommes a pour unité "pomme".

Quelque part l'argumentation sur le sujet doit prendre en compte si l'addition ou la multiplication de grandeurs de même unité a un sens physique. Les joules, mètres, et des tas d'autres sont des unités de grandeurs telles que l'addition a un sens physique. A contrario ce n'est pas le cas de la température (ou d'autres grandeurs intensives). Et pour W, l'addition n'a pas de sens physique alors que la multiplication en a une : d'où l'usage du logarithme pour mettre en rapport une grandeur "additive" et une grandeur "multiplicative".

[stefjm]

En physique, on aime bien les caractérisations linéaires, ie une invariance de la loi par addition ou par multiplication par une constante.
x -> f(x)

a.x+y -> a.f(x)+f(y)

Les fonctions logarithme et exponentielle se linéarisent autour de 0, de façon symétrique



Une autre piste de réflexion est que les systèmes linéaires ont une réponse temporelle en exponentielle.
Une translation temporelle (addition) se transforme en produit des réponses : e^(t1+t2)=e^t1.e^t2

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

En physique, on aime bien les caractérisations linéaires

En effet, et pour le coup, ici, c'est le caractère de grandeur extensive (et donc additive) qui est mis en évidence. Les grandeurs intensives et extensives collent bien avec le principe des mesures en physique. Les grandeurs multiplicatives c'est pas vraiment la tasse de thé pour une mesure (*).

Dans le cas des grandeurs multiplicatives (comme W), je me demande s'il existe un nom dédié ? Je ne crois pas. Je propose "multensive"

(*) Existe-t-il des appareils mesurant une grandeur qui serait multiplicative ? Je n'en ai pas en tête mais si quelqu'un a un exemple....

[stefjm]

Je pense à l'équation de Boltzman, S = k ln W. Aussi bien l'entropie et le nombre d'états ont apparemment une signification physique.

Dans le même style, il y a l'équation de Shockley pour les diodes.

[stefjm]

(*) Existe-t-il des appareils mesurant une grandeur qui serait multiplicative ? Je n'en ai pas en tête mais si quelqu'un a un exemple....

Il y en a et des tout simples : une bête résistance variable.
U(x,I)=R(x).I
La fonction U dépend de x et de I.

Ou bien un bête amplificateur S=k.E

On passe très vite en diagramme de Bode (20log(.)) pour changer des grandeurs multiplicatives en grandeurs additives.

[XK150]

Bonjour,
Plus élaboré : un wattmètre .

[Amanuensis]

(*) Existe-t-il des appareils mesurant une grandeur qui serait multiplicative ? Je n'en ai pas en tête mais si quelqu'un a un exemple....

Tout ce qui est mesure d'atténuation par exemple. On entre x, on mesure kx en intermédiaire, et on affiche (donc mesure) k, une grandeur multiplicative car quand on enchaîne des atténations, la combinaison est bien le produit des atténuations. Mais une atténuation est sans dimension.

En propagation radio, toutes les mesures d'atténuation sont données en dB, pour passer en additif. (Et du coup les puissances émises ou reçues sont exprimées en unités incluant les «dBm » typiquement, c'est à dire dix fois le log en base dix de la puissance exprimée en mW (ce qui signifie le "m").

Edit: Collision ; atténuation ou amplification, même exemple.

[Deedee81]

Il y en a et des tout simples : une bête résistance variable.
U(x,I)=R(x).I
La fonction U dépend de x et de I.

Heu, non Stef, c'est pas ça une grandeur multiplicative.
C'est une grandeur, notons la X, telle que si pour le système S1 elle vaut X1 et si pour le système S2 elle vaut X2, alors la valeur pour S1 et S2, elle vaut X1*X2.
C'est le cas de la grandeur W en physique statistique.

Par contre, oui, tu as raisons. Avec les représentations logarithmique qu'on trouve un peu partout sur les appareils de mesure, ça doit être possible.
C'est juste que je n'ai pas d'exemple en tête (d'une telle grandeur et de l'appareil qui va avec. Il n'existe pas à ma connaissance d'appareil mesurant W). Et je me demandais si ça existait

EDIT j'ai trop trainé pour répondre, croisement avec Amanuensis qui donne un exemple qui répond à ma question. Et là dessus je me rend compte que l'exemple d'amplification de Stef était bon. Fixé sur U=RI j'avais zappé. Désolé.

[stefjm]

Plus généralement, tout ce qui se modélise par une fonction de transfert multiplicative.

S=K2.E système K2
S=K1.E système K1

Système K1 en cascade avec K2 : S=K2.K1.E

Les fonctions de transfert K peuvent même avoir des dimensions physiques pour passer de E à S.

[Deedee81]

Les fonctions de transfert K peuvent même avoir des dimensions physiques pour passer de E à S.

Je ne comprend pas ce point. Si K se mesure (pour l'exemple) en mètre (dimension L), comment se fait-il que K1.K2 n'est pas en mètres carrés ?
(c'est moins problématique avec W qui représente un nombre d'états ou les atténuations/amplifications qui sont des rapports).

[stefjm]

Ma faute, j'ai pris des notations trop générique.
Dans l'exemple précédent, tous les E n'ont pas même dimension.
Pour cascader un S sur un E, il faut que les deux soient de même dimension.

Exemple de physique :
A, V, X pour accélération, vitesse et position.

A=p.V
V=p.X

A=p^2.X

p est en s^-1 pour passer de vitesse à accélération, ou de position à vitesse.


Les rapports A/X ou A/V ne sont pas sans dimension.

[Deedee81]

Dans l'exemple précédent, tous les E n'ont pas même dimension.
Pour cascader un S sur un E, il faut que les deux soient de même dimension.

D'accord, merci.