Calcul d'incertitude sur une dérivée

[Melampe]

Bonjour,

Je m'emmêle les pinceaux dans un calcul d'incertitudes (j'en ai très peu fait à la fac, et souvent c'est fait vite fait), je cherche à connaître l'incertitude sur une grandeur que j'obtiens par un ajustement de données linéaire (y = ax, a constante). C'est une expérience de physique toute bête, le déplacement x est proportionnel au temps t (voir image). On en déduit la vitesse moyenne Vmoy, constante. Dans mon expérience les incertitudes sur x et t sont constantes. Je cherche l'incertitude globale sur Vmoy. J'ai essayé de la trouver via la formule x(t) = Vmoy*t, mais visiblement ça ne donne rien... Je suis sûr que je loupe un truc, mais quoi ??


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[Lansberg]

Bonsoir,

La vitesse moyenne est obtenue par le quotient de x sur t. Il faut calculer la somme quadratique des incertitudes relatives.
On n'utilise plus les deltas ! Mais on désigne les incertitudes par la lettre u (pour incertitude type) et par U (pour incertitude élargie).
Il faudrait savoir comment le temps est mesuré : quel type d'appareil ? quelle précision ?
De même pour la mesure des distances.

Exemples : si la mesure du temps est réalisée avec un chronomètre analogique alors l'incertitude type, u(t), est égale à : 1 graduation / √12.
L'incertitude élargie pour un niveau de confiance de 95% est égale à U(t) = 2 x 1 graduation/√12. Pour un niveau de confiance de 99%, U(t)= 3 x 1graduation / √12. Si 1 graduation représente 1s alors U(t) pour un niveau de confiance de 95 % vaut : 2 x 1 /√12 = 0,58 s.
La mesure de temps, m, sera ainsi comprise entre m-0,58 s et m+0,58 s.

Si le fabricant indique la tolérance, t, de l'appareil (notée +/- t) alors l'incertitude type, u(tolérance) = t /√3 et l'incertitude élargie pour un niveau de confiance de 95%, U(tolérance) = 2 x t/√3.

Une fois qu'on dispose de ces données, on calcule les incertitudes élargies pour chaque grandeur ( U(t) et U(x) ).

L'incertitude sur la vitesse moyenne sera obtenue par : U(Vmoy) = Vmoy x √[(U(t)/t)^2 + (U(x)/x)^2]

[Melampe]

Bonjour Lansberg, merci pour votre réponse.

On n'utilise plus les deltas !

??! Je les ai pourtant toujours utilisés ! Je suis abasourdi. Ici, je cherche ce delta, pour pouvoir ensuite tracer des graphes avec Vmoy et d'autres quantités en fonction du temps, avec les incertitudes sur le graphe. Je ne connais pas du tout ce système avec les "U" et les "u". Si j'ai bien compris, ici on aurait une écriture Vmoy = valeur expérimentale ± U(Vmoy) ?

Il faudrait savoir comment le temps est mesuré : quel type d'appareil ? quelle précision ?

En fait, ce que je fais, c'est que je prends un film avec une caméra, au taux de 40 images par seconde (25 Hz). Ensuite je fais ce qu'on appelle un "Stack" avec le logiciel ImageJ : je sélectionne une droite sur toutes les images (la même sur toutes) et je regarde comment cette droite évolue au cours du temps, je fais fi du reste, le logiciel me range, dans l'ordre chronologique, les droites, les unes à côté des autres - on a donc une image = un pas de temps = 0.04s. L'incertitude (le "delta") est donc constant, égal à 0.04 sec. Est-ce là le U(t) ? J'avoue que je suis un peu perdu avec ces 1/√12 et ces "U"...

[Melampe]

Ci-dessous un exemple de Stack (à partir du film de l'écoulement en haut, j'obtiens l'image en bas, la droite observée est en jaune) :

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dynamix]

Salut

un pas de temps = 0.04s. L'incertitude (le "delta") est donc constant, égal à 0.04 sec.

Tu confond le pas et l' incertitude .
L' incertitude sur le temps , c' est la variation du pas .

Tu connais la régression linéaire ?
Un bon tableur fait ça facilement .
https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A..._lin%C3%A9aire

[Melampe]

Oups, oui j'ai écrit n'importe quoi...! J'ai estimé l'incertitude à 0.4 s (10 pixels de plus ou de moins max) - le pas ne varie pas, mais reste à bien savoir le lire. Autrement bien sûr, c'est d'ailleurs ce que j'ai fait. J'ai la valeur de Vmoy, mais pas l'incertitude...

[Lansberg]

Je pense qu'il doit être possible de calculer l'écart-type expérimental de la série de mesures ( le σ (n-1) des calculatrices).
On a alors l'incertitude type pour la vitesse : u(v) = σ (n-1) / √ n (n correspond au nombre de mesures).

Comme le nombre de mesures est limité, on multiplie par un facteur d'élargissement, k, l'incertitude type ce qui permet de calculer l'incertitude élargie (ou de répétabilité). Ce facteur k est trouvé dans la table de la loi de Student. Pour 10 mesures, k = 2,26 pour un niveau de confiance de 95%. Pour 12 mesures, k = 2,20.

L'incertitude élargie U (v) = k . u (v ).

On calcule la vitesse moyenne, v(moy) ce qui permet de déterminer l'intervalle : v(moy) +/- U(v) pour un niveau de confiance de 95%

[Melampe]

Je comprends (un peu) mieux.
Mais de quelle série est-ce qu'on calcule l'écart-type ? x, t ou v ? Parce que si ce sont les x (le graphe étant x fonction de t), l'écart-type aura une dimension de longueur, et donc ne donnera pas u(v).
Par ailleurs ça fait bien longtemps que je n'ai plus mis le nez dans tout ce qui est loi normale etc. Si je comprends bien, k = nbre de deg de liberté - 1 ? I.e., pour 27 mesures, k = 2.0518 (à 95% de confiance) ?
(je dois passer vite sur ces calculs d'incertitude, j'ai hélas peu de temps devant moi)

[Lansberg]

Il faut prendre v.
OK pour k.

[Melampe]

Si je comprends tout ce que vous me dites : pour chacun de mes graphes x(t), je relève la valeur de Vmoy. J'obtiens un ensemble de Vmoy, je calcule l'écart-type puis le U(v). Mais, dans ce cas, on ne prend pas du tout en compte les erreurs sur x et sur t ?...

[Lansberg]

Il y a 27 mesures ou 27 graphes ?
Si on connaît les incertitudes sur x et sur t, il est facile de tracer les droites extrêmes avec les barres d'incertitudes puis de tracer la droite idéale et de trouver l'incertitude sur la pente.
On peut aussi utiliser un tableur (message #5) !

[Melampe]

J'ai en tout 22 valeurs de vitesse moyenne (donc 22 graphes), et à chaque fois entre 5 et ~30 points sur chacun des graphes x(t). Une question qui me taraude : est-ce que la formule u(v) = σ (n-1) / √ n ne serait pas valable uniquement pour n >> 1 (i.e. n= 1 000, 10 000, ...) ?

Si on connaît les incertitudes sur x et sur t, il est facile de tracer les droites extrêmes avec les barres d'incertitudes puis de tracer la droite idéale et de trouver l'incertitude sur la pente.

Facile si le tableur qui fait l'ajustement donne directement l'erreur, or je serais plutôt curieux de calculer ces incertitudes sur Vmoy avec les U(v)

[Lansberg]

Le σ (n-1 ) est valable pour un petit échantillon (jusqu'à n = 30 ).
Un tableur comme Régressi donne l'incertitude avec un niveau de confiance de 95 %.

[Melampe]

D'accord... Mais dans ce cas on ne se sert plus de toute la théorie avec U et u (puisqu'il suffit d'ajuster avec Regressi) ?... J'ai l'impression que vous me donnez deux méthodes distinctes

[Lansberg]

Regressi effectue la régression par la méthode des moindres carrés sans prise en compte des incertitudes (on entre aucune incertitude). Il faut que l'incertitude sur l'abscisse soit négligeable et que celle sur l'ordonnée soit la même pour tous les points.

On peut aussi utiliser Regressi en entrant les incertitudes type pour x et y (Regressi fait alors un test de khi carré). Mais comme vous ne connaissez pas les incertitudes type, ce n'est pas utilisable.

Enfin on peut calculer l'incertitude selon mon message #7 (il faudrait toutefois être sûr que la statistique est gaussienne). Il peut être intéressant de comparer avec Regressi.