Application du théorème d'Ehrenfest

[Coccinelleamoustaches]

Bonjour à tous,

J'ai (encore) un problème de compréhension sur un cours de MQ que je bouquine par moi-même. J'aimerais avoir vos lumières sur ce qui se passe en page 151 : On vient juste d'établir le théorème d'Ehrenfest, et on en exploite une conséquence directe (équations pour l'évolution de la position et de l'impulsion moyennes)

Jusqu'à la relation (7.11), pas de souci : c'est du détail purement mathématique combiné au théorème susmentionné. Mais lorsqu'il injecte un potentiel de la forme générale (7.12), je ne comprends pas le résultat qu'il obtient.
Plaçons nous à une dimension (r=x et p=p_x) et regardons l'équation de l'impulsion moyenne pour comprendre ou je bloque :

On a établi :
(7.11) (je n'ai pas mis les ^ sur les opérateurs/observables parce que je ne sais pas comment on fait )
l'hamiltonien s'écrit : (7.12)

Jusque là, pas de souci !
C'est quand il injecte l'un dans l'autre que je ne suis plus...

Pour moi on obtient alors :

C'est là qu'est le drame, parce que pour passer à son résultat (7.14), il semble simplifier le premier terme :

Or pour moi, ce n'est pas évident... En effet, que je sache, les observables x et p_x (pris comme variables ici), sont tout sauf des variables indépendantes. En particulier, la définition de l'observable p à une dimension donne :
Ca me parait très dépendant de x, tout ça... Pas de raison que notre dérivée s'annule a priori
J'ai essayé de développer le membre qui me pose problème, mais je ne vois pas de manière simple en quoi il devrait être nul...

Si quelqu'un peut me filer un coup de pouce pour m'indiquer ce que je rate, merci d'avance !
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[0577]

Bonjour,

dans ces formules, on considère H comme une fonction de variables indépendantes p_x et x: H=H(p_x, x). C'est la manière dont s'écrit le formalisme hamiltonien, classique ou quantique.

[Coccinelleamoustaches]

Oui, mais du cou ma question devenait : Comment ces deux variables peuvent être indépendantes alors que p_x dépend clairement de x dans sa définition ?
Mais en fait, je crois que je vois où j'ai pu me tromper : ça pourrait jutement être dû au fait que je n'ai pas mis mes p*tains de chaeaux sur les observables dans mes formules ^^
on veut que les observables x et p_x soient indépendants. Et dans la définition de l'observable p_x, on voit effectivement qu'il n'est pas indépendant de x, mais x, la grandeur pas l'observable ^^

Y'a-t-il une justification mathématique au fait qu'on puisse considérer l'observable x et l'observable p_x comme indépendants ?
J'avoue que je m'y perds conceptuellement, quand il s'agit de dériver un opérateur par rapport à un autre opérateur ^^

[Amanuensis]

Oui, mais du cou ma question devenait : Comment ces deux variables peuvent être indépendantes alors que p_x dépend clairement de x dans sa définition ?

?? Par exemple vitesse et position sont indépendantes alors que vitesse peut se définir comme la variation de la position. Pareil pour vitesse et accélération. L'indépendance indique que la valeur instantanée de l'un ne dépend pas de la valeur instantanée de l'autre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coccinelleamoustaches]

Bonjour,
Je suis désolé si je vais poser des questions bêbêtes. C'est peut-être aussi une question de vocabulaire mal employé
Quand tu dis que vitesse et position sont des variables indépendantes, ça me surprend. Pour moi, si tu as deux variables indépendantes x et y tu peux écrire dx/dy = 0
Or si on prend un problème 1D où la position est x et la vitesse est v, on a pourtant dv/dx non nul dans le cas général...
Je ne doute pas que je dois être en train de raconter des conneries sur un point, mais auriez-vous la patience de m'indiquer lequel ?

[Coccinelleamoustaches]

Un exemple où dv/dx serait non nul pour moi ce serait dans l'équation de continuité de Navier Stokes en instationnaire où le grad(v) dépendra du terme temporel.
Même si en méca du point on ne retrouvera pas ça...

[azizovsky]

ce sont des variables canoniques qui vérifient l'équation d'Euler -Lagrange.

[Coccinelleamoustaches]

Merci pour ta réponse azizovsky. Mais après une rapide recherche pour savoir ce qu'est cette équation, je ne vois pas bien le rapport, ni en quoi ça montre que l'on peut considérer nos deux observables comme des variables indépendantes, c'est à dire (pour moi) :

[coussin]

Ce n'est pas la définition de variables indépendantes dans le contexte du formalisme Lagrangien. Dans ce contexte, les positions et les quantités de mouvement sont indépendants.

[Coccinelleamoustaches]

J'ai peur de me noyer dans des question de vocabulaire avec cette histoire de varaibles indépendantes définies d'une façon ou d'une autre. J'aimerais recentrer ma question, désolé :
Concrètement, pour passer à son résultat (7.14), il me semble qu'il sous entend fortement :

Comment cela peut-il coller avec la définition de p_x : ? Est ce que ça se démontre ? Est ce que la question a seulement un sens ?

Merci d'avance

[stefjm]

@ coussin : selon quel critère?

[Coccinelleamoustaches]

A qui s'adresse ta question stefjm ?

[coussin]

@ coussin : selon quel critère?

Selon comment la mécanique analytique fonctionne
Un système est totalement décrit par un ensemble de "variables dynamiques" composées de coordonnées généralisées (notées q_i), de vitesses généralisées (notées q_i point) et du temps. Toutes ces variables dynamiques sont dites "indépendantes" dans le sens du message d'Amanuensis.

[azizovsky]

Merci pour ta réponse azizovsky. Mais après une rapide recherche pour savoir ce qu'est cette équation, je ne vois pas bien le rapport, ni en quoi ça montre que l'on peut considérer nos deux observables comme des variables indépendantes, c'est à dire (pour moi) :

le terme 'canonique' et différent du terme 'indépendant'.

[stefjm]

Selon comment la mécanique analytique fonctionne
Un système est totalement décrit par un ensemble de "variables dynamiques" composées de coordonnées généralisées (notées q_i), de vitesses généralisées (notées q_i point) et du temps. Toutes ces variables dynamiques sont dites "indépendantes" dans le sens du message d'Amanuensis.

C'est un point qui m'a toujours gêné et pour une fois, je ne suis pas tout seul.
Valeurs instantanées indépendantes au même instant?
En faisant abstraction que l'une dépend de l'autre par intégration? Qu'en connaissant l'une, on peut trouver l'autre à une constante près?

Bref, en gros, la discussion m'intéresse car Coccinelleàmoustache pose des questions que je me posais et que je me pose encore par curiosité.

[azizovsky]

ok, on va détailler un peu sans blabla: on prend une fonction pour trouve l'extrémum de la fonctionnelle , on doit résoudre l'équation d'Euler: , dérivée partielle par rapport à , on voit qu'on doit résoudre une équation de 2ème ordre par rapport à , si on pose : , ce changement va aboutir la nouvelle fonction , qui donne 2 équations du premier ordre.

[Coccinelleamoustaches]

Considérations fort intéressantes, je n'en doute pas, mais qui ne répondent pas excessivement à la question du post #10, si ? Ou alors je suis trop bête pour le voir...

D'autre part,je viens de réaliser que j'ai oublié de mettre un lien vers le cours auquel je fais référence. Le voilà, même si ce n'est sans doute pas vital pour la question
http://www.phys.ens.fr/~dalibard/Not.../X_MQ_2003.pdf

[Nomeho]

Hi,

Il y a énormément de confusions sur ce sujet. Repartons depuis la base de la mécanique analytique moderne. (Hamilton - principe de moindre action) Dans ce formalisme, on cherche a modélisé un système passant d'une position et vitesse initiale à une position et une vitesse finale. Il n'y a à priori aucune restriction sur les variables et . On représente d'ailleurs souvent le système dans l'espace des phases de dimension où n est le nombre de particle. Le facteur 2 provient du fait que chaque particule est caractérisée par deux variables (,). Les variables position et impulsion sont parfaitement indépendantes (orthogonales au sens des espaces vectoriels). Cela veut dire que pour aller d'un point de cet espace à un autre, on peut faire varier l'impulsion et la position de façon tout à fait indépendante.



Cependant, pour décrire le monde physique, il est évident que toute les solutions ne sont pas bonnes et qu'il doit exister un chemin privilégié. C'est ce que l'on appelle le principe de moindre action (forme intégrale) ou sous forme différentielle, équation de Euler-Lagrange (reformulée par Hamilton sous forme d'une système de deux équations différentielles d'ordre 1). C'est ici qu'intervient alors le couplage entre position et impulsion. En effet, en résolvant par exemple les équations d'Hamilton, on obtient une solution (fonction de (,)) unique décrivant l'évolution du système. On a donc fixé le chemin dans l'espace des phases.

Afin d'illustrer ce qui vient d'être dit, imagines un espace 2D (plan XY, classique). Ces deux variables sont à priori parfaitement indépendantes. Maintenant si je te donne une fonction:
f(x,y) = mx+p-y
et que je te demande d'optimiser se problème (=trouver le meilleur chemin) en prenant f(x,y)=0. Facile! Tu me répondra directement y=mx+p, or il est évident que dans la réponse finale, les variables x et y sont liées par l'équation d'une droite et pourtant définies indépendantes.

Pour en revenir à la mécanique quantique, il existe ce que l'on appelle le principe d’équivalence qui stipule que l'Hamiltonien classique et quantique sont identiques. (en tenant compte du principe de symétrisation) Et finalement pour en revenir à la question initiale:

(par définition de la valeur moyenne d'une particule dans l'état )

Or cet état peut se décomposé dans toute base de l'espace des états, en particulier sur la base , donc

(linéarité)
(définition de p dans )
(linéarité)
(car est une constante)

Voila voila.

[azizovsky]

(,). Les variables position et impulsion sont parfaitement indépendantes (orthogonales au sens des espaces vectoriels). Cela veut dire que pour aller d'un point de cet espace à un autre, on peut faire varier l'impulsion et la position de façon tout à fait indépendante.



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Bonsoir, est ce que tu as une preuve mathématique pour ça?
ce que je sais :

[Nomeho]

Hum,

Ces relations sont parfaitement correctes et ne remettent pas en cause le reste. Il faut bien comprendre que la position et la vitesse ne dépendent pas intrinsèquement l'une de l'autre, seules leurs variations sont reliées. Ce que je veux dire par là, c'est qu'à chaque position n'importe quelle vitesse peut être associée. C'est lorsque l'on décrit un mouvement (trajectoire) que le long de celle-ci, les deux doivent être reliées.

Since we are free to specify the initial values of the generalized coordinates and velocities separately, the generalized coordinates qj and velocities dqj/dt can be treated as independent variables.

https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_coordinates

Et pour encore vous embrouiller un peu plus, je vous conseille: "Applied Differential Geometry". By William L. Burke" qui nous indique ironiquement: