Tir parabolique

[maxime10]

bonjour à tous,

Dans cette exercice, je je dois montrer que l'on arrive à une relation.
On considère que l'on jète une pierre du sommet d'une colline de hauteur h avec une vitesse initiale v_0 faisant un angle theta avec l'horizontale.
il faut montrer que la portée vaut :



J'obtiens bien le bon résultat.

Ensuite je dois maximiser la portée en fonction de l'angle theta.
J'avais pensé simplement à dériver la fonction portée en fonction de l'angle et d'égaler cette dérivée à zéro , de trouver l'angle annulant cette fonction et de le remplacer de l'expression de la portée , bref une maximisation classique. Le problème est que l'expression est tellement compliquée que m'a dérivée est longue à cause des dérivation composée et je n'arrive pas à la factoriser pour trouver une valeur de theta annulant cette dérivée.

Alors j'ai réfléchis et je me suis dis qu'un maximum d'une fonction provenait d'un zéro double et donc d'un delta nul. Mon équation de la trajectoire est la suivante :

.
x=R quand je touche le sol
.
j'ai placé mon repère au sol à la verticale du point de lancée

en substituant t dans l'équation de Y j'ai l'equatation de la trajectoire , équation du second ordre en th(theta).



j'exprime un zéro double et donc



Ensuite je ne sais plus quoi faire. je dois remplacer theta dans x(t) ?
la valeur de theta maximiser bien la trajectoire mais est ce que ça maximise ma portée ?
Comment utiliser la valeur de tg(theta) dans x(t) en cos(theta) ?

merci d'avance,

Maxime 10
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[phys4]

j'exprime un zéro double et donc



Ensuite je ne sais plus quoi faire. je dois remplacer theta dans x(t) ?
la valeur de theta maximiser bien la trajectoire mais est ce que ça maximise ma portée ?
Comment utiliser la valeur de tg(theta) dans x(t) en cos(theta) ?

Je pense que vous avez trouvé :
L'annulation du discriminant vous donne directement une équation avec la portée maximale
Si vous voulez en outre l'angle, il faut remplacer r par cette valeur dans l'expression de la tangente.

Au revoir.

[phys4]

Le demandeur n'est pas revenu, voici donc la suite et fin du problème :
L'équation du point de chute en fonction de l'angle est bien une équation du second degré,


C'est aussi une équation du second degré en tang(theta), l'annulation du discriminant permet d'obtenir la portée, le discriminant donne :



le remplacement de x dans la racine double nous fournit l'angle optimal :


Nous retrouvons plusieurs cas particuliers,
h = 0 correspond à la portée dans le plan avec un angle de 45°
quand h tend vers l'infini l'angle tend vers zéro
la formule s'applique aussi avec h négatif, un tir vers le haut d'une falaise, mais il faut que -h < v²/(2*g)
pour cette valeur limite, l'angle tend vers 90°
A plus.