Arc en ciel , indice...

[Talife]

1. Un rayon lumineux monochromatique pénètre dans une goutte d'eau de forme sphérique d'indice n = 1,33. Il émerge après avoir subi une réflexion à l'intérieur de la goutte. Les angles non orientés sont définis sur la figure L'air ambiant a un indice n0 = 1.



1.1)Exprimer, en justifiant, α (c'est un alpha ^^ ) , β, r1 et i1 en fonction de i et de r.

avec n =1.33

On déduit tout d'abord que
n0*sini=n*r

ENSUITE les angles i et r sont égaux puisque les deux angles sont opposés,et les angles i1 et r1 sont aussi égaux, ensuite je n'arrive pas à trouver d'expression faisant intervenir α, β


1.2) Justifier que la déviation subie par le rayon lumineux, définie positivement dans le sens trigonométrique inverse, est : D = π (c'est un pi ) + 2i−4r :

alors là je ne sais pas du tout on ne l'a pas encore abordé en cours :/

1.3) Montrer que la dérivée de r par rapport à i est :

dr/di=n0cosi/ncos r

Je préfère calculer ça en deux parties:

n0*sini=n*r
r=n0*sini/n
dr=n0/n* cos i

ensuite je calcule di:

n0*sini=n*r
sini=n*r/no


et la je suis bloquée :/ merci de votre aide !!
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[LPFR]

Bonjour.
Appelons A le point d’entrée, B celui de réflexion et C celui de sortie.
Quelques constatations qui peuvent vous aider :
Le dessin est symétrique par rapport à la droite qui passe par O et B.
Donc, l’angle à trouver est celui qui fait le rayon entrant avec cette dernière droite. Donnez-lui un nom.
Trouvez la valeur de cet angle à partir de alpha et de la différence entre les angles i et r (je vous laisse vous dépatouiller avec les signes, mais c’est piège).
Alpha et bêta sont égaux car sont les angles d’incidence et réflexion sur une surface.
Alpha et r sont égaux car le triangle ABO est isocèle.
Au revoir.

[Talife]

Tout d'abord merci d'avoir tenter de m'éclairer

Je voulais savoir si on tournait dans le sens positif du cercle trigonométrique ?

ensuite j'ai nommé gamma l'angle AOB
on a donc

pi= alpha+r+gamma -pi/3

soit alpha= 4pi/3-r-gamma ??

[LPFR]

Re.
Le sens positif pour le cercle trigonométrique est celui inverse des aiguilles d’une montre.
Mais je ne emm...quiquine pas avec ces signes dans un problème de ce type. Je travaille avec des angles positifs

L’angle gamma ne sert à rien.
Par contre je ne vois pas d’où sort le -pi/3 dans
pi= alpha+r+gamma -pi/3
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Talife]

Le -pi/3 vient du fait que alpha+gamma+r ne donne pas exactement pi alors j'ai estimé l'angle a pi/3 entre la droite de symétrie et l'entrée du rayon ..

Mais je ne comprends toujours pas en réalité ......

[LPFR]

Le -pi/3 vient du fait que alpha+gamma+r ne donne pas exactement pi alors j'ai estimé l'angle a pi/3 entre la droite de symétrie et l'entrée du rayon ..

Mais je ne comprends toujours pas en réalité ......

Re.
C'est un grosse bêtisse.
A+

[jacknicklaus]

1.2) Justifier que la déviation subie par le rayon lumineux, définie positivement dans le sens trigonométrique inverse, est : D = π (c'est un pi ) + 2i−4r :
alors là je ne sais pas du tout on ne l'a pas encore abordé en cours

Nul besoin de cours pour cela, c'est assez basique.

Additionnez simplement les 3 angles de déviation subis successivement par le rayon
- à l'entrée de la goutte (indice : si i = r, quelle serait cette déviation?)
- à l'intérieur de la goutte (indice, cela ne dépend que de r)
- à la sortie de la goutte (indice : même chose qu'à l'entrée)

[Talife]

Re bonjour après quelques jours,

mais déjà la question 1 je n'y arrive même pas :/ !! comment faire svp ??

[phys4]

1. Un rayon lumineux monochromatique pénètre dans une goutte d'eau de forme sphérique d'indice n = 1,33. Il émerge après avoir subi une réflexion à l'intérieur de la goutte. Les angles non orientés sont définis sur la figure L'air ambiant a un indice n0 = 1.

1.1)Exprimer, en justifiant, α (c'est un alpha ^^ ) , β, r1 et i1 en fonction de i et de r.

avec n =1.33

On déduit tout d'abord que
n0*sini=n*r

Il y a une erreur dès le départ, car il faut écrire
n0*sin(i) = n*sin(r)
Avec cela ce sera plus facile pour la question 3 également.

1.2) Justifier que la déviation subie par le rayon lumineux, définie positivement dans le sens trigonométrique inverse, est : D = π (c'est un pi ) + 2i−4r :

Il faut que vous aurez vu les triangles isocèles, vous verrez qu'il ne reste plus que deux angles i et r car :


Ensuite la réflexion à l'intérieur de la goutte produit une déviation
à laquelle s'ajoute les deux déviations à l'entrée et à la sortie du rayon, qui valent chacune (i - r)

Avez vous essayé d'ajouter le tout ?

[Talife]

Merci de botre aide ^^

ah oui j'ai oublié de noter le sin :

donc la loi ""finale "" est :

n0*sini=n*sinr

mais comment en déduire alpha et beta en fonction de r et i

Je peux facilement deviner que alpha et beta sont égal à r

dois-je utiliser le fait que cela forme un triangle ou autre ? ^^

et pour la question 2 j'ai essayé d'avancé:

Le rayon lumineux subit 3 déviations aux total que j'ai décidé de noter D1 D2 Et D3

Donc D1= i-r
D2= pi-2r
D3=i-r

Donc la déviation "totale "est : DT= D1+D2+D3= pi+2i-4r

Je pense que c'est bon cela correspond

[phys4]

mais comment en déduire alpha et beta en fonction de r et i
Je peux facilement deviner que alpha et beta sont égal à r
dois-je utiliser le fait que cela forme un triangle ou autre ? ^^

Les deux triangles contenant les angles et r d'une part et les angles et r1 d'autre part sont deux triangles isocèles dont les cotés égaux sont les rayons de la goutte.
Les angles et sont les angles provenant de la réflexion du rayon, je suppose que cela, au moins, vous l'avez vu en cours.

[Talife]

tout d'abord est ce que l'on peut dire que i1=i et r1=r ??
dans ce cas sini1*n0= sinr1*n ??

ensuite du fait que ce sont des triangles isocèle alpha et beta sont égaux à r ??

[phys4]

dans ce cas sini1*n0= sinr1*n ??

Oui, la loi de la réfraction s'applique dans les deux sens,
c'est la symétrie de la figure qui impose et identiques, puisque pour la réflexion les angles sont égaux.

ensuite du fait que ce sont des triangles isocèle alpha et beta sont égaux à r ??
tout d'abord est ce que l'on peut dire que i1=i et r1=r ??

Ensuite à cause des triangles les angles r et r1 sont égaux , ce qui entraine l'égalité pour i et i1

[Talife]

D'accord Donc après avoir déduit tout cela comment exprimer alpha et bêta en fonction de i et r (en même temps ) ??

[phys4]

Tous était donné dans le message 9.

[Talife]

Ah oui donc comme les angles sont égaux :

sinalpha*n=sini*n0

sinbeta*n=sini*n0

sin r1*n= sini*n0

et ainsi de suite ?

[Talife]

??? aussi la question quivante demande de montrer

dr/di= n0cosi/ncosr

Mais je ne sais pas

enfin j'ai peut être une piste:

sinr*n=sini*n0

sinr=(sini*n0)/n

arcsin (sinr= arcsin (sini*n0)/n)
Dois-je continuer sur cette piste ? et ensuite dériver ce que j'aurai obtenu ??

merci c'est assez urgent ^^

[coussin]

Différentiez chaque membre de l'équation.
Vous obtenez -cosr*n*dr = -cosi*n0*di. QED.

[Talife]

ah vous avez dérivée chaque côté si je comprends bien ?? parce que je comprends pas les "-" qui apparaissent
sin(x)'=cos(x) non ?

[coussin]

Oui, je me suis trompé dans la dérivée. Y a pas de signes moins.

[Talife]

ah d'accord mercii

ensuite on me demande :

Établir que la déviation D passe par un extremum Dm pour une valeur im de l'angle d'incidence. Exprimer et calculer numériquement im et Dm.

J'ai mis :

on sait que le rayon lumineux subit une déviation telle que :
D = pi + 2i−4r

Au minimum: dD/di=0

or D = pi + 2i−4r

ensuite on dérive D ? je ne sais absolument pas :/

[jacknicklaus]

D = pi + 2i - 4r
vous différenciez le tout, en exprimant que D est sur un extrêmum donc
0 = 2di - 4dr (A)

d'autre part vous avez n.sin(r) = sin(i)
que vous différenciez (je vous laisse le faire), celà vous donne une relation (B)

de (A) et (B) vous obtenez immédiatement une autre équation avec des fonctions cosinus, entre les angles i et r
(je vous laisse le faire)

il reste par exemple à faire sin²(i) + cos²(i) = 1 pour éliminer les i et avoir une relation avec seulement l'angle r. Et c'est fini.

[Talife]

Ah et j'ai avancé et ajouter :

dD/di = 2- 4*dr/di = 2(1 - 2*dr/di)
Comme sin i = n.sin r,
on peut écrire :cos i.di = n.cos r.dr,
ou encore : dr/di = (Cos i)/(n*Cosr),
d'où : dD/di = 2(1 - 2*cos i /n*cos r).
Cette dérivée s'annule si 2*cos i = n*cos r
soit, en élevant les 2 termes au carré :
4(1-sin2i) = n2(1-sin2r)
Comme sin2i = n2*sin2r , on obtient finalement :
sin2i = (4 - n2)/3

On a n = 1,33 la valeur qui annule la dérivée est : i = 59,6°. Pour cette incidence, la déviation D est minimale; elle vaut environ 138°

Je ne sais pas si c'est bon merci de me corriger

[jacknicklaus]

c'est correct .

attention à l'écriture. ce n'est pas sin2i = (4 - n²)/3 mais sin²(i) = (4-n²)/3.

[Talife]

2. Un observateur regarde un rideau de pluie dans des conditions d'ensoleillement favorables à la formation d'un
arc-en-ciel.
2.1. Plusieurs rayons parallèles pénètrent dans chaque goutte d'eau en diérents endroits. Expliquer pourquoi
l'observateur recevant les rayons émergents perçoit une intensité importante dans la direction correspondant à la
déviation Dm

La j'ai mis que les rayons lumineux se concentrent et se dirigent vers les lieux ou les indices sont plus importants

?

Merci bcpp

[jacknicklaus]

La j'ai mis que les rayons lumineux se concentrent et se dirigent vers les lieux ou les indices sont plus importants

non, rien ne fonde cette affirmation.

ce qui se passe c'est que pour la valeur de i = Im qui donne Dm, on a dD/di = 0. Littéralement, celà veut dire que pour tout une plage de valeurs [Im-x, Im+x], avec x raisonnablement petit mais non nul, toutes les valeurs de la déviation sont égales à Dm, du moins au 1er ordre en x. C'est donc que sur cette plage de valeurs de i, le rayon dévié est concentré de manière très fine autour de la déviation Dm. On a donc pour i = Im un pic de luminosité transmise, et la déviation des rayons qui arrivent autour de cette valeur de pic est égale à Dm.