Mécanique du Point L1

[Momo54500]

Bonsoir,

j'ai un petit problème concernant un exercice de mécanique du point.

On considère le point OM de coordonnées cylindriques : OM = r.ur + zk

On veut obtenir les vecteurs vitesses (= dOM/dt) et accélérations (=dv/dt)

Pour le vecteur vitesse on tombe sur :

v = dr/dt.ur + r.dur/dt + dz/dt.k + z.dk/dt

Je n'arrive pas trop à comprendre comment ils ont trouvé ça .

Si quelqu'un peut m'aider ce serait gentil.

Merci à vous.
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[Momo54500]

J'ai également une autre question :

Comment fait-on pour montrer (par le calcul) que la direction d'un vecteur est constant?

Par exemple on a le vecteur U(t) = 2t i + t j

Comment faire dans ce cas là pour montrer que la direction est constante?

Merci à vous.

[velosiraptor]

Salut.
Ben en utilisant les "classiques" formules sur les dérivées ... d(u.v)/dt = du/dt.v + u.dv/dt ..
En coordonnées cylindriques : dur/dt = dur/dthéta x dthéta/dt permet de montrer que dur/dt = dthéta/dt.uthéta (là c'est le théorème de la dérivée composée).

Dans ton exemple :
r = r.ur ==> dr/dt (vecteur) = dr/dt.ur + r.dur/dt = dr/dt.ur + rdthéta/dt.uthéta

Pour une expression telle que U(t) = 2t i + t j il suffit de dériver composante par composante (ici, les vecteurs i et j, sûrement pour des coordonnées cartésiennes sont fixes, donc di/dt = vecteur nul = dj/dt)
Il reste dU/dt = 2.i + j qui est bien un vecteur constant.

Par contre, avec une expression comme V(t) = 2t² i + t j ça ne serait plus le cas.

[Momo54500]

Je te remercie pour ta réponse.

J'avais aussi une question par rapport aux coordonnées polaires.
Il y a un exo ou il veulent que je calcule les composantes vitesse et accélération du vecteur OM = r.ur en coordonnées polaires.
Et de même en coordonnées cylindriques.

Est ce que tu pourrais m'expliquer comment faire stp?

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Momo54500]

Personne pour répondre svp?

[albanxiii]

Bonjour,

Suivre la même méthode. En dérivant chaque terme et en tenant compte des produits quand les termes dépendent du temps.
Avertissement : les calculs sont assez lourds quand on n'a pas l'habitude.

[LPFR]

Bonjour.
Je trouve que la notation des vecteurs comme une somme avec des vecteurs unitaires rend moins lisibles les équations.
Au lieu de

Je lui préfère (comme dans le Feynman):

Ça ne change en rien les calculs. Uniquement la lisibilité.
Au revoir.

[Momo54500]

Bonjour,

Suivre la même méthode. En dérivant chaque terme et en tenant compte des produits quand les termes dépendent du temps.
Avertissement : les calculs sont assez lourds quand on n'a pas l'habitude.

Oui ça j'ai compris mais je veux dire comment faire la différence entre coordonnées cylindriques et coordonnées polaires?

Par exemple en coordonnées polaires je sais que ça donne

v = r'.ur + r.u(téta).(téta)'

et a = r''.ur + r'.u(téta).(téta)' + r'.u(téta).(téta)' - r.uur.(téta)' + r.(téta)''.u(téta)

C'est bien ça?

Maintenant pour les coordonnées cylindriques ça donnerait quoi ?

Merci à vous.

[Chup]

Bonjour,
en cylindrique, c'est la même chose avec juste un z u_z en plus dans la position et un u_z qui est fixe. Donc sur v, ça ajoute un z' u_z et sur a, un z'' u_z.
Chup

[Momo54500]

Okay je vous remercie.

[albanxiii]

Bonjour,

v = r'.ur + r.u(téta).(téta)'

et a = r''.ur + r'.u(téta).(téta)' + r'.u(téta).(téta)' - r.uur.(téta)' + r.(téta)''.u(téta)

C'est bien ça?

Je suis d'accord pour la vitesse, mais je ne comprends pas le terme r.uur.(téta)' dans l'expression de l'accélération. Et il me semble qu'il manque des termes.
Essayez de regrouper les termes en facteur de ur et utheta, ça facilitera la lecture.