Question de représentation sur l'equation d'Einstein (relativité générale)

[Nicolascou]

Bonjour à tous, je suis en train d'essayer de me familiariser avec l'equation d'Einstein, qui définit la courbure de l'espace temps en fonction du tenseur Impulsion-Energie, et j'ai quelque difficulté à appréhender ce que ça signifie...

Plus concrètement, ma question (sans doute idiote) est la suivante:

On a deux étoiles (immobiles):

Une normale, de volume V, de masse M, de densité ro, et qui est une sphère parfaite

L'autre étoile (imaginaire) serait de même masse, de même volume et même densité, mais celle ci serait cubique, avec des coins carrés...

Le tenseur Impulsion-Energie serait-il identique pour les deux étoiles? Si oui, la courbure devrait alors être la même pour les deux: mais serait-ce réellement le cas avec une étoile (imaginaire) cubique aux coins carrés? Si oui, j'ai du mal à me le représenter....

Merci beaucoup...
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[Nicolascou]

PS: je ne sais pas ce qui s'est passé avec les accents

[ansset]

c'est quand tu écris depuis un smartphone.
il vaut mieux oublier tous les accents dans ce cas.

[phys4]

Le tenseur Impulsion-Energie serait-il identique pour les deux étoiles? Si oui, la courbure devrait alors être la même pour les deux: mais serait-ce réellement le cas avec une étoile (imaginaire) cubique aux coins carrés? Si oui, j'ai du mal à me le représenter....

Bonjour,
La forme cubique modifierait le champ de gravitation à proximité. A grande distance, comme 100 fois le diamètre, la forme exacte aura peu d'influence sur le champ.

Donc à la distance où nous sommes du Soleil, cela ne changerait rien pour nous, s'il était cubique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Il faut bien comprendre que l'équation d'Einstein est une équation locale. Elle contraint le tenseur de courbure en un évènement en fonction du tenseur énergie-impulsion en ce même évènement. Quand je dis qu'elle contraint, c'est qu'elle n'impose pas le tenseur de courbure, mais qu'elle pose seulement certaines conditions sur ses termes. En effet, c'est le tenseur de Ricci et la courbure scalaire qui apparaissent dedans, pas le tenseur de courbure. Le tenseur de Ricci est le tenseur de courbure contracté une fois sur lui-même et la courbure scalaire est le tenseur de courbure contracté deux fois sur lui-même. Cela impose une certaine forme au tenseur de courbure, mais c'est loin de le fixer.
L'autre ingrédient qui intervient ensuite pour fixer ce tenseur, ce sont les propriétés de la variété différentielle (le tenseur doit varier continument d'un évènement à un autre immédiatement voisin, et il dépend des dérivées premières et secondes de la métrique, métrique qui elle même doit être continue elle-aussi d'un évènement à un autre immédiatement voisin, en gros, si en un évènement le tenseur métrique et le tenseur de courbure sont de telles valeurs, cela contraint leurs valeurs en les évènements situés dans le voisinage immédiat, et donc cela contraint le tenseur de courbure de proche en proche, sur tout l'espace-temps), les conditions aux limites et les conditions de symétrie.

Pour donner un exemple, dans la géométrie de Schwarzschild, l'espace-temps est totalement vide (même au "centre" du trou noir). Le tenseur énergie-impulsion est partout nul. Cela n'empêche pas le tenseur de courbure d'être non nul (sauf à l'infini), mais cela lui impose une certaine forme. Le reste est imposé par le choix d'avoir la métrique de Minkowski (courbure strictement nulle) à l'infini, une symétrie sphérique et par translation selon la coordonnée t (=solution statique dans les domaines ou la coordonnées t peut être considérée comme un temps). On démontre ensuite (Birkohf) que la géométrie à l'extérieur d'un astre à symétrie sphérique est la même que celle de Schwarzschild.

m@ch3

[Amanuensis]

Encore une question curieuse au sens où sa réponse avec la gravitation de Newton est déjà très difficile. Quel intérêt de compliquer encore plus en passant en RG?

Autrement dit, commençons par répondre à: on sait que le potentiel de gravitation en classique à l'extérieur d'un corps parfaitement sphérique est en -1/d, quel est le potentiel pour un corps cubique?

Quand on aura la réponse, on s'intéressera à une meilleure précision...

(Surtout que pour qu'un corps soit cubique il faut qu'il soit solide, et suffisamment peu dense, donc vraisemblablement de masse suffisamment faible pour que l'approximation newtonnienne soit excellente.)

[Nicolascou]

Il faut bien comprendre que l'équation d'Einstein est une équation locale. Elle contraint le tenseur de courbure en un évènement en fonction du tenseur énergie-impulsion en ce même évènement. Quand je dis qu'elle contraint, c'est qu'elle n'impose pas le tenseur de courbure, mais qu'elle pose seulement certaines conditions sur ses termes. En effet, c'est le tenseur de Ricci et la courbure scalaire qui apparaissent dedans, pas le tenseur de courbure. Le tenseur de Ricci est le tenseur de courbure contracté une fois sur lui-même et la courbure scalaire est le tenseur de courbure contracté deux fois sur lui-même. Cela impose une certaine forme au tenseur de courbure, mais c'est loin de le fixer.
L'autre ingrédient qui intervient ensuite pour fixer ce tenseur, ce sont les propriétés de la variété différentielle (le tenseur doit varier continument d'un évènement à un autre immédiatement voisin, et il dépend des dérivées premières et secondes de la métrique, métrique qui elle même doit être continue elle-aussi d'un évènement à un autre immédiatement voisin, en gros, si en un évènement le tenseur métrique et le tenseur de courbure sont de telles valeurs, cela contraint leurs valeurs en les évènements situés dans le voisinage immédiat, et donc cela contraint le tenseur de courbure de proche en proche, sur tout l'espace-temps), les conditions aux limites et les conditions de symétrie.

Pour donner un exemple, dans la géométrie de Schwarzschild, l'espace-temps est totalement vide (même au "centre" du trou noir). Le tenseur énergie-impulsion est partout nul. Cela n'empêche pas le tenseur de courbure d'être non nul (sauf à l'infini), mais cela lui impose une certaine forme. Le reste est imposé par le choix d'avoir la métrique de Minkowski (courbure strictement nulle) à l'infini, une symétrie sphérique et par translation selon la coordonnée t (=solution statique dans les domaines ou la coordonnées t peut être considérée comme un temps). On démontre ensuite (Birkohf) que la géométrie à l'extérieur d'un astre à symétrie sphérique est la même que celle de Schwarzschild.

m@ch3

Bonjour mach3, merci pour votre réponse.

En fait j'avais cru comprendre, que comme c'est le cas dans la métrique de Schwarzschild, le tenseur de Ricci pouvait exprimer une courbure de l'espace-temps, même en un point du vide où le tenseur Impulsion-Energie est nul, mais je croyais qu'il fallait quelque part une sphère massive qui détermine le point de départ de cette courbure.

A l'echelle astronomique, à peu près tout a une symétrie sphérique...

Ma question portait sur des échelles plus petites, par exemple un astéroïde de forme irrégulière, patatoïde ou très allongée (l'idée du cube est un exemple extrême). Comment est défini le tenseur de Ricci, et la courbure scalaire dans ce cas?

[Nicolascou]

P.S. Les accents marchent bien sur les mobiles, sauf si on met trop de temps à écrire et qu'une deconnexion se produit dans l'intervalle

[mach3]

C'est toujours pareil, c'est juste que contrairement au cas avec symétrie sphérique il n'y a pas de solution analytique et qu'il faut sortir les rames et le supercalculateur pour s'en sortir.

m@ch3

[Amanuensis]

En fait j'avais cru comprendre, que comme c'est le cas dans la métrique de Schwarzschild, le tenseur de Ricci pouvait exprimer une courbure de l'espace-temps

Dans le cas de la géométrie de Schwarzschild le tenseur de Ricci est partout nul.

(Merci d'éviter les assertions péremptoires fausses, le domaine est suffisamment compliqué comm ça, pas besoin de confusion supplémentaire.)

Ma question portait sur des échelles plus petites, par exemple un astéroïde de forme irrégulière, patatoïde ou très allongée (l'idée du cube est un exemple extrême). Comment est défini le tenseur de Ricci, et la courbure scalaire dans ce cas?

Et de même à l'extérieur d'un machin quelconque, en approchant cet extérieur comme vide, le tenseur de Ricci est nul, et, donc aussi la courbure scalaire (scalaire de Ricci).

(Ce qui n'empêche pas que le tenseur de courbure soit non nul, ni que le scalaire de Kretschmann soit non nul non plus.)

[Nicolascou]

Effectivement. Excusez-moi, je découvre le problème et je ne suis pas professionnel de la physique... j'ai un souvent un problème avec les concepts seulement exprimés par un nom propre. Je me suis emmêlé les pinceaux, c'est le tenseur de courbure qui exprime la courbure (celui-là a un nom qui dit bien ce qu'il veut dire)

[Nicolascou]

Donc est-ce bien seulement à l'intérieur de l'objet massif que -euh- la "trace" du tenseur de courbure, ainsi que la trace de cette trace sont non nuls, puisque le Tenseur Impulsion-Energie est non nul lorsqu'on se trouve dans le volume occupé par la masse?

[mach3]

Oui en l'absence de rayonnements ou plus généralement de champ électromagnétique. On peut généralement négliger l'énergie-impulsion dont le champ EM est responsable, mais pour répondre strictement, le tenseur énergie-impulsion est non-nul à l'intérieur d'un corps, et à l'extérieur d'un corps si il y a un champ EM.

[albanxiii]

Bonjour,

Effectivement. Excusez-moi, je découvre le problème et je ne suis pas professionnel de la physique... j'ai un souvent un problème avec les concepts seulement exprimés par un nom propre. Je me suis emmêlé les pinceaux, c'est le tenseur de courbure qui exprime la courbure (celui-là a un nom qui dit bien ce qu'il veut dire)

Le tenseur de Riemann donc

Je ne suis pas un professionnel des sciences cognitives, mais je suis intrigué par la démarche qui consiste à se poser ce genre de question, sans aucun intérêt pratique, il faut bien le reconnaître. Peut-être pourrez-vous m'éclairer. Ma question est sérieuse. Mon cerveau ne fonctionne pas comme ça, et je reste frustré de ne pas comprendre pourquoi je ne me pose pas le même type de question...

[Nicolascou]

Le tenseur de Riemann donc

Je ne suis pas un professionnel des sciences cognitives, mais je suis intrigué par la démarche qui consiste à se poser ce genre de question, sans aucun intérêt pratique, il faut bien le reconnaître. Peut-être pourrez-vous m'éclairer. Ma question est sérieuse. Mon cerveau ne fonctionne pas comme ça, et je reste frustré de ne pas comprendre pourquoi je ne me pose pas le même type de question...

Bonjour!

En fait c'est assez simple: je veux comprendre comment la relativité générale peut être généralisée à des objets plus petits, à notre échelle, voire microscopique... et qui ne sont souvent pas sphériques (ou pas vraiment).

[Nicolascou]

Le tenseur de Riemann donc

Je ne suis pas un professionnel des sciences cognitives, mais je suis intrigué par la démarche qui consiste à se poser ce genre de question, sans aucun intérêt pratique, il faut bien le reconnaître. Peut-être pourrez-vous m'éclairer. Ma question est sérieuse. Mon cerveau ne fonctionne pas comme ça, et je reste frustré de ne pas comprendre pourquoi je ne me pose pas le même type de question...

Bonjour!

En fait c'est assez simple: je veux comprendre comment la relativité générale peut être généralisée à des objets plus petits, à notre échelle, voire microscopique... et qui ne sont souvent pas sphériques (ou pas vraiment).

[Amanuensis]

En fait c'est assez simple: je veux comprendre comment la relativité générale peut être généralisée à des objets plus petits, à notre échelle, voire microscopique... et qui ne sont souvent pas sphériques (ou pas vraiment).

??? Ces objets n'ont aucun rôle particulier en RG, pas plus pas moins qu'en gravitation de Newton (1).

Je ne comprends pas non plus la démarche. J'imagine qu'elle vient d'idées non exprimées encore, de documentaires? De textes de vulgarisation?

(1) La gravitation de Newton est une approximation excellente à toutes les échelles jusqu'au Système Solaire (et bien au-delà). La plupart des questions qu'on peut se poser à ces échelles ont une réponse satisfaisante par la gravitation de Newton. C'est pour cela que la RG est exemplifiée par de grandes échelles (cosmologie) ou des masses volumiques extrêmes (trous noirs), et pas par des phénomènes aux échelles courantes.

[Nicolascou]

J'imagine qu'elle vient d'idées non exprimées encore, de documentaires? De textes de vulgarisation?

Elle vient d'idées non exprimées, mais je veux être sûr d'avoir bien compris, ce qui n'est pas encore réellement le cas. Vous avez peut-être remarqué que les textes de vulgarisation ne me suffisent plus, je vous remercie tous de me permettre d'aller plus loin.

(1) La gravitation de Newton est une approximation excellente à toutes les échelles jusqu'au Système Solaire (et bien au-delà). La plupart des questions qu'on peut se poser à ces échelles ont une réponse satisfaisante par la gravitation de Newton. C'est pour cela que la RG est exemplifiée par de grandes échelles (cosmologie) ou des masses volumiques extrêmes (trous noirs), et pas par des phénomènes aux échelles courantes.

Justement: à quelle échelle on peut considérer qu'on passe de la RG à Newton? (On digresse, mais cette nouvelle question est plus ou moins à l'origine de la question de départ)

[Nicolascou]

Pour ce qui est de la question de départ, les réponses de mach3 me paraissent très claires et satisfaisantes

[mach3]

En champ faible et avec des vitesses faibles, la RG et Newton donnent la même chose. Pour exemple, le seul écart significatif dans les mouvements des corps dans le système solaire est la precession du perihelie de Mercure (et c'est vraiment à un poil de fesse).
Il existe ensuite diverses approximations intermédiaires, par exemple le gravitomagnetisme, qui permet de prédire l'effet Lense-Thirring (on ne sait pas resoudre dans le cas d'un astre en rotation, contrairement à ce qu'on peut croire ce n'est pas la géométrie de Kerr), très faible, mais mesuré ou en cours de mesure par un satellite autour de la Terre.

m@ch3

[Nicolascou]

Il existe ensuite diverses approximations intermédiaires, par exemple le gravitomagnetisme, qui permet de prédire l'effet Lense-Thirring (on ne sait pas resoudre dans le cas d'un astre en rotation, contrairement à ce qu'on peut croire ce n'est pas la géométrie de Kerr), très faible, mais mesuré ou en cours de mesure par un satellite autour de la Terre.

m@ch3

Merci beaucoup, tout ceci est bel et bien ce qui m'intéresse en arrière plan, en particulier le gravitomagnétisme.

Une autre chose importante dans ce que vous m'avez dit est que les mathématiques analytiques deviennent difficilement exploitables si l'on souhaite définir le tenseur de courbure (courbure très faible) de l'espace temps si la masse à l'origine de cette courbure est une girafe, et non un astre de symétrie sphérique. Il faut donc imaginer des solutions numériques

[Sethy]

A titre informatif, la correction apportée par la RG à la distance terre-soleil est de l'ordre de 8km, soit 0,000 005 % de la "distance" alors que la masse du soleil est de 2x10^30 kg.

Donc même en considérant la masse de la terre qui est de 6x10^24 kg, soit à peu près 300 000x plus faible, on se rend compte que l'effet de la masse de la terre sur la distance terre-lune est au maximum de 2x10^-11% ! de celle-ci, soit 0,06 mm ! Alors que la distance terre-lune varie entre 356000 et 406000 km.

[Nicolascou]

Il n'empêche que les systèmes GPS et autres Galiléo doivent impérativement intégrer les infinitésimales corrections liées à la RG pour être précis, car autrement, ils auraient beaucoup plus vite fait de ne plus l'être qu'on ne pourrait le croire...

[Sethy]

Il n'empêche que les systèmes GPS et autres Galiléo doivent impérativement intégrer les infinitésimales corrections liées à la RG pour être précis, car autrement, ils auraient beaucoup plus vite fait de ne plus l'être qu'on ne pourrait le croire...

Oui, c'est exact mais il s'agit d'erreur cumulée sur la durée d'une part et d'autre part, le principe de la mesure est basée sur une différence entre deux quantités très proches, ce qui fait exploser les incertitudes.

[obi76]

Oui, c'est exact mais il s'agit d'erreur cumulée sur la durée d'une part et d'autre part, le principe de la mesure est basée sur une différence entre deux quantités très proches, ce qui fait exploser les incertitudes.

C'est aussi que 10^-11 en terme de temps, sur une triangulation telle que le GPS le fait, il faut multiplier par c pour avoir l'incertitude spatiale. Et ça, ça fait mal, puisque que de 10^-11 en temps, on arrive sur un 10^-3 spatial. Cumulé, en plus, comme vous dite, on arrive à plusieurs dizaine de mètres d'erreur par jour (de mes souvenirs, sans corrections on tournait autour de50m de décalage par jour sans correction).

[Amanuensis]

Il n'empêche que les systèmes GPS et autres Galiléo doivent impérativement intégrer les infinitésimales corrections liées à la RG pour être précis, car autrement, ils auraient beaucoup plus vite fait de ne plus l'être qu'on ne pourrait le croire...

Les corrections sur les horloges "dues" à la RG ont été appliquée bien plus tôt sur les horloges atomiques au sol, et sont obligatoires pour définir le TAI (dont la précision est de l'ordre de 10^-15). La correction a amené une modification du TAI en 1970.

Marrant qu'on cite régulièrement le GPS pour un problème de métrologie connu et résolu des dizaines d'années plus tôt. De fait, dès qu'on a eu des horloges suffisamment précises (les horloges atomiques)!

[Amanuensis]

si l'on souhaite définir le tenseur de courbure (courbure très faible) de l'espace temps si la masse à l'origine de cette courbure est une girafe

Encore une fois, qui le souhaite? Et en prenant le tenseur de courbure défini à partir de la gravitation de Newton on obtient une approximation extrêmement précise. Donc même si une personne aurait une raison de faire un tel calcul (?), quelle raison supplémentaire (??) aurait-elle de rechercher une précision meilleure que celle apportée par le calcul newtonien, qui n'est déjà pas vraiment aisé?

Et ce serait débile. Les incertitudes d'autres origines sur un tel problème (vibrations, température, influence des planètes, ...) sont bien supérieures à la différence Newton/RG. À la base on parle de physique ici!

[Amanuensis]

PS: Même quand la précision donnée par la gravitation de Newton est insuffisante, on ne passe pas automatiquement à la résolution des équations de champ. On utilise par exemple une expansion post-newtonienne (cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Post-Newtonian_expansion). Comme indiqué dans l'article cité, le calcul de l'avance du périhélie de Mercure a été fait originellement ainsi, pas en calculant le tenseur de courbure avec une précision infinie.

(Et en plus le but du calcul n'est pas usuellement le tenseur de courbure, mais la métrique... Bien plus utile.)

[ThM55]

Je ne connais aucune étoile cubique . Mais il y a quelque temps, une sonde (Rosetta) s'est mise en orbite autour d'une comète appelée Tchouri. Si vous cherchez les images sur le Web vous verrez que cette comète est loin d'être une sphère, elle ressemble putôt à une sorte de gros topinambour à la forme très irrégulière. Evidemment, pas de relativité générale ici, Newton est largement assez précis. Mais le champ que ressent cette sonde, et surtout l'atterrisseur qu'elle a largué pour s'y poser, n'a que peu de ressemblance avec celui d'une sphère, sauf à grandes distances. Le potentiel de Newton est solution de l'équation de Laplace, qui est la limite non relativiste d'une des équations d'Einstein pour une des composantes du tenseur métrique, donc on parle en réalité de la même chose, peu importe qu'on soit ou non dans la limite newtonienne. Cela devient bien sûr algébriquement et surtout analytiquement (voir les difficiles travaux sur le problème de Cauchy en RG) plus compliqué en RG à cause du nombre de degrés de liberté et de la non-linéarité. Mais votre question se pose en fait dans les mêmes terme en gravité newtonienne (avec Laplace).

[Nicolascou]

Je ne connais aucune étoile cubique . Mais il y a quelque temps, une sonde (Rosetta) s'est mise en orbite autour d'une comète appelée Tchouri. Si vous cherchez les images sur le Web vous verrez que cette comète est loin d'être une sphère, elle ressemble putôt à une sorte de gros topinambour à la forme très irrégulière. Evidemment, pas de relativité générale ici, Newton est largement assez précis. Mais le champ que ressent cette sonde, et surtout l'atterrisseur qu'elle a largué pour s'y poser, n'a que peu de ressemblance avec celui d'une sphère, sauf à grandes distances. Le potentiel de Newton est solution de l'équation de Laplace, qui est la limite non relativiste d'une des équations d'Einstein pour une des composantes du tenseur métrique, donc on parle en réalité de la même chose, peu importe qu'on soit ou non dans la limite newtonienne. Cela devient bien sûr algébriquement et surtout analytiquement (voir les difficiles travaux sur le problème de Cauchy en RG) plus compliqué en RG à cause du nombre de degrés de liberté et de la non-linéarité. Mais votre question se pose en fait dans les mêmes terme en gravité newtonienne (avec Laplace).

Eh oui, mais ce qui me préoccupe, c'est qu'il n'y a pas que les échelles qui puissent être relativistes: il y a aussi les vitesses...