Base d'espace, degré de liberté et espace de fonctions

[Lévesque]

Bonsoir,

je suis dans ma révision et je refais le cours de TQC du début à la fin, alors pardonnez mes questions qui semblent surement parfois banales, mais qui ont beaucoup d'importance pour ma compréhension personnelle, et peut-être celle de futurs usagers du forum.

Voilà, dans mon livre de TQC, on introduit deux quantités différentes, la première est la variation

(*),

obtenue en considérant la variation d'un champ en un point donné de l'espace-temps mais dans deux systèmes de coordonnées différents, et la seconde est la variation

(**),

obtenue en considérant la variation du champ en deux points différents de l'espace-temps.

Je pense que l'auteur essai de rendre intuitive l'introduction de l'espace de fonction, que j'avoue ne pas très bien saisir (quoi que j'en ai surement déjà manipulé sans me rendre compte de ce que c'était).

Il mentionne donc deux choses, (i) la variation (*) est pour un point fixe, et donc la base de l'espace est construite par le seul degré de liberté et est ainsi unidimentionnelle, et (ii) la variation (**) compare le champ en des point P et P' différents, et donc la base de l'espace ("the base space") est l'ensemble des avec P variant sur tout l'espace-temps, ou en d'autres mots c'est un espace de fonctions, et ainsi est une base d'espace de dimension infini.

Je dois avouer que je ne comprends ce que c'est la base de l'espace dans tout ça... quelle base? de quel espace?

Si quelqu'un avait des mots magiques pour me faire comprendre rapidement, j'aimerais beaucoup

Cordialement,

Simon
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[Lévesque]

J'ai fait un petit dessin pour mieux comprendre. Avec les coordonnées de ce dessin, les variations (*) et (**) se réécrivent ( mesuré dans et mesuré dans )

(*),

(**).

Plus loin, on veut évaluer (**). Je ne suis pas certain de ce que l'auteur fait, parce que sa définition du ' (le "prime") n'est pas très claire. Mais ça ressemble à



et je pense qu'il considère que (c'est possible?). Donc, sans qu'il le dise, tout ce qu'il dit suppose que les deux point P et P' sont infinitésimalement proches?

Merci pour l'aide!

Simon

[Karibou Blanc]

Je dois avouer que je ne comprends ce que c'est la base de l'espace dans tout ça... quelle base? de quel espace?

La theorie des champs est definie comme la limite pour un nombre infini de degree de liberté de la mecanique ponctuelle. La valeur du champ en 1 point est un degree de liberté. D'une maniere generale toute fonction f de x peut etre vue comme vecteur de x cad un ensemble infini de composantes sur la base des x. En les points de l'espace sont une base sur laquelle on peut decomposer le champ.

Plus loin, on veut évaluer (**). Je ne suis pas certain de ce que l'auteur fait, parce que sa définition du ' (le "prime") n'est pas très claire.

Le prime signale simplement que lorsque tu fais une transformation sur les coordonnées x->x' la champ subit lui aussi une transformation, ce n'est plus la meme fonction de x' qu'au départ pour x. Au final on doit obtenir pour un scalaire f'(x')=f(x).

Donc il est important de garder à l'esprit que les champs subissent eux aussi une transfo lorsque tu agis sur les x. Il est important aussi de comparer les champs en differents points dans le meme systeme de coordonnées pour etre sur d'isoler la variation du champ.

Donc, sans qu'il le dise, tout ce qu'il dit suppose que les deux point P et P' sont infinitésimalement proches?

C'est toujours ce qu'on fait en general. On exprime les variations locales des champs, c'est beaucoup plus simple a etudier.

Je ne sais pas si ca t'aide, mais si tu as besoin d'autres details, n'hesite pas.

KB

PS : tu as quel bouquin de TQC entre les mqins ?

[Lévesque]

PS : tu as quel bouquin de TQC entre les mains ?

Celui-là

Et merci, oui ce que tu dis m'aide beaucoup. Le seul point, qui me semble intuitif, mais que je ne saisi pas parfaitement, c'est celui-là : "Il est important aussi de comparer les champs en differents points dans le meme systeme de coordonnées pour etre sur d'isoler la variation du champ."

Je pense que ce qui me bloque, c'est que normalement, tout ce qui nous intéresse, par exemple en terme de 4-vecteurs, c'est de savoir comment le 4-vecteur change sous une transformation de Lorentz (par exemple). Ici aussi, j'imagine qu'on est très intéressé à savoir comment le champ change sous une transformation.

Or, il me semble que dans le livre, on chercher à savoir aussi comment se transforme "une variation du champ dans un référentiel donné". En d'autre mots, si le champ varie de dphi dans K, on veut savoir à quoi correspond ce dphi dans K', c'est ça?

Je pense que je commence à comprendre... mais j'attends ta réponse pour être heureux...

Simon

[A voir en vidéo sur Futura]

[Karibou Blanc]

Or, il me semble que dans le livre, on chercher à savoir aussi comment se transforme "une variation du champ dans un référentiel donné". En d'autre mots, si le champ varie de dphi dans K, on veut savoir à quoi correspond ce dphi dans K', c'est ça?

humm,
Ce qu'on cherche a faire c'est calculer la variation subie par le champ lorsqu'on fait une transformation de Lorentz, disons x'=x-dx. Mais par contre attention, ici x' et x representent differentes coordonnées d'un meme point P. On ne calcule pas la variation du champ d'un point P vers un point M infiniment voisin. On reste au meme point !
donc il suffit de calculer : le tout en restant au meme point P encore une fois.

Il faut garder a l'esprit que par variation du champ, on entend ici celle qu'il subit par chgt de coordonnées. Donc a proprement parlé, le champ ne varie pas dans K, ni dans K', mais il varie quand je passe de K vers K'.

KB qui a du mal en ce lendemain de fete de la musique...