Théorème H - Qu'est-ce la forme d'une entropie statistique?

[Lévesque]

Bonsoir,

ces jours-ci je m'intéresse à l'équation maîtresse [1]. Mais ma question porte plutôt sur la dérivation du théorème H à l'aide de cette équation. Et en fait, je pense que quiconque aura quelques connaissances de base pourra m'aider.

Voilà. Dans [1, chap. 8, p. 8], après avoir trouvé l'équation maîtresse, sans plus détail, on peut lire :

Il est d'ailleur facile... de démontrer le théorème H de Boltzmann... En effet, soit la fonction H définie comme⁸

[...]
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⁸ Au facteur près, H a la forme d'une entropie statistique...

Mon problème, c'est que je ne vois absolument pas d'où sort cette forme de H. Et donc, cela m'empĉhe de comprendre la démonstration du H theorem...

Merci beaucoup de m'aider à clarifier tout ça!

[hey oui, pour ceux qui l'auront remarqué, j'étudie la physique statistique du non équilibre alors que je ne me souviens de rien de ce qui se passait à l'équilibre ]


[1] À ce sujet, voir le chapitre 8 [PDF] de l'excellent document localisé ici.
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[Lévesque]

En fait, cela correspondrait à ce que Shannon a démontré:

http://en.wikipedia.org/wiki/Information_entropy

Et la démo est ici:

http://en.wikipedia.org/wiki/Informa...on.27s_entropy

Une autre chose de réglée!

[chaverondier]

Mon problème, c'est que je ne vois absolument pas d'où sort cette forme de H. Cela m'empêche de comprendre la démonstration du H theorem...

Je vous conseille vivement

* le livre de Physique statistique de Christian et Hélène Ngô, introduction, 2ème édition, édition Dunod, plus particulièrement, les paragraphes 12.6 l'équation de Boltzmann sans collision, 12.7 le problème à 2 corps, 12.8 collision de deux particules, 12.9 terme de collision, 12.10 Le théorème H.

* Le lien proposé par Zoup1 sur l'équation de Boltzmann http://cel.ccsd.cnrs.fr/cours/cel-3/pottier8.pdf .

* Un fil de futura-science intitulé « Equation de Boltzmann » http://forums.futura-sciences.com/thread48082.html .

Le point le plus délicat à comprendre dans le théorème H est l'hypothèse dite du chaos moléculaire à l'origine de l'irréversibilité de l'équation de Boltzmann (elle même cause de la décroissance monotone de la fonction H de Boltzmann).

L'explication donnée de l'hypothèse du chaos moléculaire est souvent fausse. La justification physique de ce terme à l'origine de la décroissance monotone de la fonction H (fonction qui, au signe et à la constante de Boltzmann près, correspond à l'entropie de Boltzmann) est le fait que l'information de corrélation créée par le choc entre particules du gaz est diffusée par l’interaction du gaz "isolé" avec des perturbations en provenance de l'environnement (cf la remarque de Borel sur l’influence de très faibles perturbations en provenance du champ gravitationnel sur l’état microphysique du gaz en quelques fois le temps de libre parcours moyen).

On s'aperçoit donc que l'entropie macroscopique des système "isolés" croît de façon monotone, parce que ces systèmes...
...ne sont en fait jamais isolés de leur environnement. C'est ça la raison de la perte d'information accessible à l'observateur macroscopique à l'origine de la croissance monotone de l'entropie macroscopique (donc à l'origine de la flèche thermodynamique du temps en mécanique classique).

Un point très important doit être compris concernant le second principe de la thermodynamique. Selon ce principe, l'information maximale qu'un observateur peut obtenir sur un système isolé dont il fait partie (il est nécessaire qu'il en fasse partie pour que le système soit effectivement isolé) est celle contenue dans la description macroscopique de l'état du système.

Ceci est en général considéré comme un principe fondamental censé ne pas pouvoir évoluer si nos moyens d'observation bénéficient de progrès technologiques. C'est en effet l'horizon thermodynamique (censé être inviolable) d'accès à l'information postulé par le second principe qui nous empêche de soutirer du travail d'un cycle monotherme (à la manière du Démon de Maxwell).

Voilà ce que signifie l'impossibilité de faire baisser l'entropie macroscopique d'un système isolé. En effet, l'entropie macroscopique d'un système isolé (dont l'observateur fait partie) modélise l'écart entre la quantité maximale d'information censée être accessible à cet observateur et la quantité d'information qui serait nécessaire pour décrire parfaitement l'état microphysique classique de ce système. BC

[Lévesque]

Merci monsieur Chaverondier.

Avez vous regardé le document que je cite?

Comme l'ai dit, je m'intéresse à la dérivation du théorème H, à partir de l'équation maîtresse. Cette équation est valide pour n'importe quel système qui a

- une probabilité d'être dans un état et
- une probabiliter de transiter vers un autre état et
- que le résultat de cette transition ne dépendent pas d'aucun autre état que l'état présent (processus markovien).

À partir de ces seules hypothèses (pas de particules, pas de collision...), on arrive à démontrer que la variation dans le temps de la quantité H définie dans mon premier post (entropie statistique, ou entropie d'information) est négative, ce qui démontre le H theorem.

Étant donné le cadre dans lequel se situe mon cours et mon évaluation future, je ne peux pas me concentrer sur autre chose que ce qui est en lien avec l'équation maîtresse.

Si, dans ce cadre, vous voyez d'ou vient le H theorem (hypothèse du processus markovien?), ou une explication intuitive d'ou vient l'entropie statistique (ou d'information), je serais très très intéressé!

Merci infiniment,

Simon

[A voir en vidéo sur Futura]