Pavage d'une surface a l'aide d'une forme réguliére

[invitec3f4db3a]

Bonjour a tous ,

J'aimerais savoir si il existe une caractérisation general permettant de determiner si une structure réguliére peut paver sans blanc une surface.

Par exemple on sait que le triangle peut , le carré également , l'hexagone itou , mais pas l'octogone .

Dans le cas de l'hexagone je peux construire une structure fait d'un tableau simple de cardinal le nombre d'hexagone a emboiter et ce tableau sera constitué de 6 indices cotenant les 6 voisins encadrant mon tableau.
Si je veux obtenir une structure cohérante il faut que mon tableau soit remplit d'une certaine façon , mais je n'arrive pas a trouver comment.

Merci de votre aide , si vous voulez plus de precision ou si quelque chose vous parrez trop flou , hesitez pas .

Merci
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[invite986312212]

si par "structure régulière" tu entends polygone régulier, j'ai l'impression que tu les as tous cités. Si tu admets les polygones quelconques, alors tu peux trouver des polygones à n côtés quel que soit n pair. Pour des n impairs (>3) je ne sais pas.

[GuYem]

Je ne sais pas si on parle de la même chose, mais on trouve dans le livre de géométrie de Tauvel, la description de 17 formes plus ou moins régulières avec lesquelles on peut paver le plan, et il paraitrait qu'il n'y en n'a pas d'autres.

Au risque de dire une énormité.

[Sylvestre]

Bonjour,

Ce n'est pas tout à fait la question, mais cela a un rapport :
Le problème de savoir si une collection de pièces en quantité infinie permet de paver le plan est indécidable. J'ai lu cela dans un article de Delahaye dans le "pour la science".

[A voir en vidéo sur Futura]

[yat]

Je ne sais pas si on parle de la même chose, mais on trouve dans le livre de géométrie de Tauvel, la description de 17 formes plus ou moins régulières avec lesquelles on peut paver le plan, et il paraitrait qu'il n'y en n'a pas d'autres.

Au risque de dire une énormité.

En fait, il y a 17 manières différentes de paver le plan. Les formes, elles, sont illimitées. Simplement, si on veut des polygones réguliers, il n'y a que le triangle, le carré et l'hexagone. Après, il faut voir ce qui est entendu exactement par "structure réguliére"

[invite6b1e2c2e]

Salut,

D'accord avec Guyem. Je pense que c'est "fait" dans le Berger de géométrie( 1er tome).
En gros, une fois qu'on a défini ce qu'était un pavage régulier, on se ramène à trouver des groupes de transformation affine qui vérifie certaines propriétés qui font que blablabla on se ramène à un nombre fini de groupe possible.
Je crois me souvenir qu'il y en a nettement moins que 17 (j'aurais dit 5) mais ça doit changer selon ce qu'on appelle pavage régulier.

Bon courage si tu t'attaques au Berger,
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rvz

[shokin]

Voilà de quoi ! :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pavage_de_Penrose (+ articles en autres langues)

Ou encore mieux !

Après, on pourra se poser la question des "pavages" avec des polyèdres dans l'espace.

Shokin

[invitec3f4db3a]

merci de vos contributions , je vais regarder ceci attentivement. C'est un problème que je pensais tous simple , comme quoi ...

[invité576543]

Bonjour,

Je crois me souvenir qu'il y en a nettement moins que 17 (j'aurais dit 5) mais ça doit changer selon ce qu'on appelle pavage régulier.

En cristalographie (3D) on distingue 4 notions, le "système réticulaire", le "réseau de Bravais", le "groupe ponctuel", et le "groupe d'espace". En 3D, il y a respectivement 7, 14, 32 et 230 cas.

L'équivalent 2D donne 4 systèmes, 5 réseaux et 17 groupes de pavage.

Les systèmes et réseaux sont (en notation informelle):

- parallélogramme
- rectangle (deux réseaux, rectangle et losange)
- carré
- triangle (ou hexagone ou losange 60°/120°)

Cordialement,

[invite6b1e2c2e]

Merci beaucoup pour ces précisions.
Il y a un endroit où on peut voir ça sans trop se casser la tête ? Je veux dire : Bouquin lisible.


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rvz

[invité576543]

Merci beaucoup pour ces précisions.
Il y a un endroit où on peut voir ça sans trop se casser la tête ? Je veux dire : Bouquin lisible.

C'est un sujet qui a passionné et qui passionne plein de monde. Du coup, il y a plein de sites sur le Oueb, donc surtout en anglo-saxon... La combinaison Wiki français + Wiki anglois donne déjà pas mal d'info.

Un bon livre de début est "Le monde des pavages" aux éditions Kangourou. (Voir là). Pas de maths, pas de théorie, mais ça montre bien les pavages.

Cordialement,

[invite31f03419]

Bonjour

Je connais un chouette petit bouquin pas cher, accessible sans nécessiter de grandes connaissances mathématiques, mais apportant des réponses complète à la question, avec différentes variantes, d'après ce qu'on veut comme contraintes (un seul type de polygones, ou plusieurs, u seul ou plusieurs types de noeuds (sommets) ...), tout en donnant une bibliographie commentée présentant de nombreux ouvrages sur le sujet, orientés artistiquement ou mathématiquement, ..., classés d'après le type d'ouvrage.

La référence est la suivante :

Marc ANNOYE, des polygones pour construire la géométrie, Ciaco Editeur, Louvain-la-Neuve 1985

ISBN : 2-87085-117-0

On peut entre autres le commander au

GEM (Groupe d'enseignement mathématique)
2 Chemin du Cyclotron
1348 Louvain-la-Neuve
BELGIQUE

Attention, il est assez probablement épuisé chez l'éditeur, mais le GEM qui doit encore en posséder un stock qu'il diffuse.

Bonne lecture

Marc Lucien