4 ou 2 équations de Maxwell?

[b@z66]

Bonjour,

J'ai une petite question concernant les équations de Maxwell. J'ai récemment vu dans un cours sur internet que l'on pouvait limiter le nombre d'équations de Maxwell à 2 en régime dynamique et en supposant la conservation de la charge électrique (ce qui finalement m'a semblé plutôt satisfaisant par rapport au nombre d'inconnues). Plus particulièrement celle faisant intervenir les rotationnels. J'aurai voulu savoir si cela vous choque et dans le cas contraire la raison qui fait que l'on garde 4 équations au lieu de 2 pour exprimer l'electromagnétisme.
Dernière question, depuis toujours j'ai considéré que la loi suivie par le champs électrique en régime statique pouvait se résumer à divE=rho/eps or on arrive à determiner à partir de cette loi, me semble t'il, que la circulation de E est nulle sur un contour fermé. Cela signifierait donc que l'on pourrait déduire rotE=0 à partir de divE=rho/eps mais malgré quelques efforts, je n'arrive pas à faire mathématiquement le lien. Y a t-il une erreur à faire cela ou me manque t'il une hypothèse? j'aimerai avoir vos avis. Merci.
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[invite79d10163]

Bonjour,

J'ai une petite question concernant les équations de Maxwell. J'ai récemment vu dans un cours sur internet que l'on pouvait limiter le nombre d'équations de Maxwell à 2 en régime dynamique et en supposant la conservation de la charge électrique (ce qui finalement m'a semblé plutôt satisfaisant par rapport au nombre d'inconnues). Plus particulièrement celle faisant intervenir les rotationnels. J'aurai voulu savoir si cela vous choque et dans le cas contraire la raison qui fait que l'on garde 4 équations au lieu de 2 pour exprimer l'electromagnétisme.

On peut se ramener à deux équations de MAxwell en introduisant le tenseur de MAxwell. Cela ne simplifie pas vraiment les choses pour débuter en electromagnétisme. Pour simplifier les 4 euqations en 2, il faut introduire des termes plus éxotiques, quadri-courant, quadri-potentiel...

Dernière question, depuis toujours j'ai considéré que la loi suivie par le champs électrique en régime statique pouvait se résumer à divE=rho/eps or on arrive à determiner à partir de cette loi, me semble t'il, que la circulation de E est nulle sur un contour fermé. Cela signifierait donc que l'on pourrait déduire rotE=0 à partir de divE=rho/eps mais malgré quelques efforts, je n'arrive pas à faire mathématiquement le lien. Y a t-il une erreur à faire cela ou me manque t'il une hypothèse? j'aimerai avoir vos avis. Merci.

Non il n'y a pas d'erreur. En utilisant un théoreme dont je ne connais plus le nom de peut dire que :
Avec C un contour fermé, et S(C) la surface formé par le contour :

donc on a bien :

On peut aussi le montrer autrement :

(rot grad = 0)

[michel33]

J'ai une petite question concernant les équations de Maxwell. J'ai récemment vu dans un cours sur internet que l'on pouvait limiter le nombre d'équations de Maxwell à 2 en régime dynamique et en supposant la conservation de la charge électrique (ce qui finalement m'a semblé plutôt satisfaisant par rapport au nombre d'inconnues). Plus particulièrement celle faisant intervenir les rotationnels.

C'est vrai en régime variable, et plus particulièrement harmonique (on applique aux équations une transformation de Fourier par rapport au temps), il suffit de calculer la divergence des équations qui contiennent l'opérateur rotationnel.

C'est faux en régime statique où l'équation rotE=0 permet d'écrire E comme le gradient d'un champ (potentiel) scalaire et div(eps E)=rho de calculer ce champ.

Dernière question, depuis toujours j'ai considéré que la loi suivie par le champs électrique en régime statique pouvait se résumer à divE=rho/eps or on arrive à determiner à partir de cette loi, me semble t'il, que la circulation de E est nulle sur un contour fermé. Cela signifierait donc que l'on pourrait déduire rotE=0 à partir de divE=rho/eps mais malgré quelques efforts, je n'arrive pas à faire mathématiquement le lien. Y a t-il une erreur à faire cela ou me manque t'il une hypothèse? j'aimerai avoir vos avis. Merci.

En statique la circulation nulle de E sur un contour fermé est le résultat de l'expression de E comme gradient d'un potentiel scalaire, donc une conséquence de rot E=0, ce qui peut d'ailleurs se démontrer directement (c'est très classique).

Cordialement
Michel

[b@z66]

En statique la circulation nulle de E sur un contour fermé est le résultat de l'expression de E comme gradient d'un potentiel scalaire, donc une conséquence de rot E=0, ce qui peut d'ailleurs se démontrer directement (c'est très classique).

Je n'ai aucun problème pour faire le lien entre rotE=0 et le fait que E soit un vecteur à circulation nulle (de même que E dérive d'un gradient) mais cette expression peut-elle se démontrer à partir de divE=rho/eps?

[A voir en vidéo sur Futura]

[michel33]

Re-bonjour,

Je n'ai aucun problème pour faire le lien entre rotE=0 et le fait que E soit un vecteur à circulation nulle (de même que E dérive d'un gradient) mais cette expression peut-elle se démontrer à partir de divE=rho/eps?

Aucune chance.

Cordialement
Michel

[b@z66]

Re-bonjour,

Aucune chance.

Cordialement
Michel

Cela veut-il dire que l'on aurait pu imaginer une théorie de l'électromagnétisme où rotE aurait pu être différent du vecteur nul en régime statique tout en gardant divE=rho/eps?

[michel33]

Salut b@z66,

Cela veut-il dire que l'on aurait pu imaginer une théorie de l'électromagnétisme où rotE aurait pu être différent du vecteur nul en régime statique tout en gardant divE=rho/eps?

Non, cela veut dire que rot E = 0 est nécessaire.

En effet div E = rh0 / eps (il vaut mieux écrire div ( eps E ) = rho) ne représente qu'une équation alors que E est défini par 3 inconnues, on ne sait donc pas résoudre ce système dans un tel contexte; rot E = 0, qui donne un expression de E en fonction du potentiel permet de réduire le nombre d'inconnues à 1: l'équation peut alors être traitée.

Voilà, ce n'est pas plus compliqué.
Michel

[b@z66]

Merci beaucoup pour ton explication.

[b@z66]

En réfléchissant encore un peu à l'argument que l'équation div(epsE)=rho ne suffit pas en elle-même à déterminer le champ E en tout point de l'espace (et considérant que l'équation est différentielle), cela voudrait donc dire que l'hypothèse implicite de la nullité du champ à l'infini satisfait automatiquement à l'exigence de la nullité du rotationnel que tu as mentionné. Es-tu d'accord avec cela?

[michel33]

Salut,

En réfléchissant encore un peu à l'argument que l'équation div(epsE)=rho ne suffit pas en elle-même à déterminer le champ E en tout point de l'espace (et considérant que l'équation est différentielle), cela voudrait donc dire que l'hypothèse implicite de la nullité du champ à l'infini satisfait automatiquement à l'exigence de la nullité du rotationnel que tu as mentionné. Es-tu d'accord avec cela?

Non, la nullité du champ à l'infini est une condition aux limites; il faut effectivement en imposer pour assurer l'unicité de la solution et lui donner un sens physique raisonable.

Le problème ici est que le champ électrique a 3 degrés de liberté et qu'il faut donc 3 équations indépendantes pour pouvoir le déterminer; l'équation en divergence ne peut en aucun cas être suffisante, et surtout pas permettre d'obtenir celle en rotationnel.

Ta recherche de div(...) => rot(..) n'a aucune chance d'aboutir car ces équations sont complémentaires: il faut absolument les 2. Cette complétude se retrouve aussi dans les conditions aux limites dites "naturelles" sur une surface: c'est la trace (composante) normale du champ qui apparaît "naturellement" dans le cas de la divergence, alors que c'est sa trace tangentielle dans le cas du rotationnel, 2 grandeurs orthogonales.

Cordialement
Michel

[b@z66]

Salut,

Non, la nullité du champ à l'infini est une condition aux limites; il faut effectivement en imposer pour assurer l'unicité de la solution et lui donner un sens physique raisonable.

Le problème ici est que le champ électrique a 3 degrés de liberté et qu'il faut donc 3 équations indépendantes pour pouvoir le déterminer; l'équation en divergence ne peut en aucun cas être suffisante, et surtout pas permettre d'obtenir celle en rotationnel.

Ta recherche de div(...) => rot(..) n'a aucune chance d'aboutir car ces équations sont complémentaires: il faut absolument les 2. Cette complétude se retrouve aussi dans les conditions aux limites dites "naturelles" sur une surface: c'est la trace (composante) normale du champ qui apparaît "naturellement" dans le cas de la divergence, alors que c'est sa trace tangentielle dans le cas du rotationnel, 2 grandeurs orthogonales.

Cordialement
Michel

Je ne suis pas tout à fait d'accord sur ce dernier point, les conditions aux limites qui apparaissent dans la résolution des équations ne sont pas me semble t'il à dissocier de la complémentarité des équations que tu as mentionné pour donner un sens physique raisonnable. En tenant compte des symétries, de la présence ou non de charge à l'infini on arrive très bien avec le théorème de Gauss (qui est l'expression non locale de l'équation de Maxwell-Gauss) à déterminer le champ électrique aux environx d'une charge électrique par exemple (par linéarité, on peut généraliser). On ne peut que constater après cela que le rotationnel de E est nul en faisant le calcul de sa circulation sur un contour fermé. C'est en cela que je n'ai pas oublier de mentionner dans mon premier post qu'il me pouvait me manquer des hypothèses dans le passage entre les deux équations de Maxwell concernées: en l'occurence ce devait être celles donnant un sens physique raisonnable.

[michel33]

Bonsoir b@z66,

Je ne suis pas tout à fait d'accord sur ce dernier point, les conditions aux limites qui apparaissent dans la résolution des équations ne sont pas me semble t'il à dissocier de la complémentarité des équations que tu as mentionné pour donner un sens physique raisonnable. En tenant compte des symétries, de la présence ou non de charge à l'infini on arrive très bien avec le théorème de Gauss (qui est l'expression non locale de l'équation de Maxwell-Gauss) à déterminer le champ électrique aux environx d'une charge électrique par exemple (par linéarité, on peut généraliser). On ne peut que constater après cela que le rotationnel de E est nul en faisant le calcul de sa circulation sur un contour fermé. C'est en cela que je n'ai pas oublier de mentionner dans mon premier post qu'il me pouvait me manquer des hypothèses dans le passage entre les deux équations de Maxwell concernées: en l'occurence ce devait être celles donnant un sens physique raisonnable.

Il se peut effectivement que, si tu imposes suffisamment de contraintes pour, par exemple, des questions de symétrie, tu arrives à exprimer ton champ avec une seule composante et résoudre ton problème mais, dans le cas général, je ne vois pas bien comment tu peux t'en tirer sans faire l'hypothèse que le champ est un gradient; maintenant je n'ai pas la prétention de maîtriser toutes les facettes des équations de Maxwell.

Michel

[b@z66]

Bonsoir b@z66,

Il se peut effectivement que, si tu imposes suffisamment de contraintes pour, par exemple, des questions de symétrie, tu arrives à exprimer ton champ avec une seule composante et résoudre ton problème mais, dans le cas général, je ne vois pas bien comment tu peux t'en tirer sans faire l'hypothèse que le champ est un gradient; maintenant je n'ai pas la prétention de maîtriser toutes les facettes des équations de Maxwell.

Michel

Je suis d'accord finalement avec toi sur le fait que le calcul du rotE à partir de l'équation de Maxwell-Gauss est sans doute impossible par faute contraintes simplificatrices. Par contre ces contraintes ne réduisent pas selon moi le caractère général du raisonement étant donné que l'on peut toujours décomposé une distribution complexe de charge en une somme de charge élémentaires présentant les symétries dont j'ai parlé dans mon précédent post (en raison de la linéarité des équations de Maxwell). D'ailleurs, j'en viens à penser que ce raisonnement peut sans doute s'appliquer aussi à la magnétostatique où on retrouve une situation analogue en inversant simplement le rôle du rotationnel et de la divergence. En tout cas, encore merci pour m'avoir permis d'y voir plus clair grâce à ton point de vue.

[michel33]

Salut b@z66,

Une petite précision avant de clore complètement cette discussion, pour que tu comprennes bien ce que j'ai voulu dire: pour que les équations de Maxwell, sous forme différentielle, soient suffisantes, il faut considérer que les opérateurs de dérivation sont ceux définis en théorie des distributions, sinon on est obligé d'ajouter les conditions de continuité et aux limites habituelles.

Personnellement j'utilise toujours cette notion de dérivation au sens des distributions car c'est la seule qui soit physiquement mesurable (au moins par la pensée). Dans ce contexte les relations de continuité et aux limites sont contenues, en plus des équations différentielles classiques qui portent sur les volumes, dans les équations où apparaît un rotationnel pour les composantes tangentielles ou une divergence pour les composantes normales.

Dès lors qu'on applique une condition sur une composante tangentielle du champ on utilise en fait l'équation en rotationnel, et écrire que la composante tangentielle du champ électrique est nulle à la surface d'un conducteur parfait est assez courant.

C'est pour préciser un peu ce que j'entendais par complétude.
Cordialement
Michel