Recherche des nombres presque entiers de la forme [tex]e^{\pi\sqrt{n}}[/tex]

**anthony_unac** · 05/09/2016, 18h55

Bonjour,

La recherche des nombres presque entiers de la forme $\text{[math]}$ s'avère très laborieuse au delà de $\text{[math]}$ c'est pourquoi je demande l'aide de tous les membres du forum pour avancer dans la recherche de tels nombres.
Si vous êtes intéressés par la recherche des nombres presque entiers dont la partie décimale commence par une répétition d'au moins $\text{[math]}$ fois le chiffre $\text{[math]}$ ou d'une répétition d'au moins $\text{[math]}$ fois le chiffre $\text{[math]}$ et que vous possédez le logiciel maple ou mupad ou équivalent, je vous invite à m'aider.
Le code n'est pas bien méchant :

Code:

for i from 13366100 while i<14000001 do  if i mod 100 =0 then print(i)fi : if i mod 10 =0 then Digits:=floor((i)^0.52) fi: if abs( round(exp(Pi*sqrt(i)))- evalf(exp(Pi*sqrt(i))) ) < 10^(-6) then print(i,"génère un nombre presque entier")end if end do;

Vous pouvez donc vous lancer sur un intervalle complémentaire à celui que j'explore.
J'ai pris conscience que seul, je serai bien trop lent pour débusquer des drôles de nombres qui ne semblent obéir à aucune règle simple.
Plus il y aura de gens motivés et plus la recherche sera rapide.
Qui souhaite se lancer dans l'aventure ?

Cordialement
Anthony CANU

PS: Toute recherche ne sera pas vaine. Nous publierons (comme j'ai pu déjà commencer) nos résultats dans l'encyclopédie en ligne OEIS (cf par exemple la suite A127031)
D'autres personnes sont assez curieuses sur le sujet : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...b163.htm#presq

**azad** · 05/09/2016, 20h21

Et en plus ton algoritme a toutes les chances de laisser passer des nombres très intéressants du genre n/p (n,p entiers) dont le résultat peut faire apparaître une séquence (presque) répétitive. Surtout avec la condition que tu imposes (<10^(-6)) valeur bien trop grande à mon avis.

**anthony_unac** · 06/09/2016, 05h37

Bonjour,

L'objectif c'est de débusquer ceux de la forme $\text{[math]}$ et pas une autre forme mais si vous avez la motivation pour traquer ceux de la forme $\text{[math]}$ allez y, ça fera une étude complémentaire à celle que je mène.
Concernant la valeur $\text{[math]}$ qui vous semble exagérée, sachez que l'objectif à terme sera d'aller chercher le $\text{[math]}$ (cf. constante de Ramanujan) autrement dit, il y a du boulot

**Chanur** · 09/09/2016, 04h47

Bonjour,

Envoyé par anthony_unac

L'objectif c'est de débusquer ceux de la forme $\text{[math]}$ et pas une autre forme

Justement, c'est ça que je ne comprends pas.
Pourquoi les nombres précisément de cette forme ? Et pourquoi des nombres presque entiers ?
S'il s'agissait de trouver un nombre entier de cette forme, ou de prouver qu'il en existe (ou qu'il n'en existe pas), ça me semblerait plus intéressant. Mais un nombre à une distance de 10⁻⁶ (ou 10⁻¹² ou 10⁻³⁵⁷) d'un entier n'a rien de particulier, ou y a-t-il quelque chose qui m'échappe ?

[Edit]J'oubliais : c'est quel langage, ton morceau de code ? Je ne connais pas ... [/Edit]

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**anthony_unac** · 09/09/2016, 05h16

Bonjour,
Concernant la recherche des entiers tels que $\text{[math]}$ soit un entier naturel, c'est vite réglé car il a été démontré (depuis plus d'un siècle) qu'il n'en existe aucun.
L'acharnement n'est pas rationnel effectivement, c'est juste le plaisir de découvrir des nombres presque entiers inconnus à ce jour et de mettre la main (peut être un jour) sur une constante similaire à celle de Ramanujan. Trouver une telle constante qui fasse écho à celle de Ramanujan serait vraiment une jolie trouvaille.
Il est bien évident que tout ceci relève de la mathématique récréative et qu'un matheux pur et dur n'y verra qu'un intérêt limité et pourtant les liens donnés par Gerard Villemin nous conduisent vers des choses plus corsées telles que les nombres de Pisot ou le groupe monstre ...
Le code est écrit dans un langage reconnu par Maple.

**Resartus** · 09/09/2016, 07h43

Bonjour,
Pour calculer vos exponentielles avec une précision suffisante, Il faut pouvoir manipuler des nombres très grands
Maple atteint très vite ses limites, et votre algorithme simpliste va caler dès que n dépasse quelques milliers (voire beaucoup moins)
Pour faire ces calculs, il faut des algorithmes multiprécision capable de manipuler par exemple cent mille chiffres significatifs.
Il faut soit les reconstituer soi même (exercice très intéressant mais très laborieux) soit il existe des bibliothèques.
je ne sais pas quelle est leur limite en nombre de chiffres, et en outre il ne me semble pas qu'elles couvrent les calculs d'exponentiation*.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm...pr%C3%A9cision

*La méthode du développement en série étant bien entendu inapplicable directement, il faut ruser : par exemple disposer de tables précalculées pour ramener le calcul à des nombres plus petits. L'article wikipedia cite la bible de la programmation "the art of computer programming" de Donald Knuth, qui est le must pour ce genre de questions (et est disponible en ligne). Il fourmille de méthodes plus ou moins faciles à implémenter. Je crois me souvenir qu'il cite une méthode inspirée de ramanujan qui est très efficace (mais à vérifier)

**anthony_unac** · 09/09/2016, 14h54

Bonjour,

Un grand merci Resartus pour tes liens et tes explications qui dépassent très largement mes connaissances.
Pour le moment Maple déroule la boucle sans soucis sachant que je manipule pour l'instant des nombres de 6000 chiffres.
Effectivement, je risque de trouver un jour les limites de cette affaire mais je pense pouvoir manipuler des nombres de 10 000 chiffres par le biais de ce code sans soucis.
Après, on verra

**anthony_unac** · 31/10/2016, 05h59

Bonjour,
L'exploration de tous les nombres presque entiers de la forme $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ vient de se finir aujourd'hui même.
Voici un tableau récapitulatif des meilleurs spécimen rencontrés :

On remarquera notamment que les valeurs des arguments de $\text{[math]}$ sont quasi symétriques aux alentours de $\text{[math]}$ .
On peut constater également en regroupant ces résultats avec ceux trouvés pour $\text{[math]}$ que les nombres presque entiers qui admettent une partie décimale commençant par sept fois le chiffre 0 (ou sept fois le chiffre 9) ont tendance à admettre un argument dont la valeur peut être représentée à proximité d'un axe du cercle trigonométrique. Pour être plus précis, concernant ces nombres presque entiers exactement, $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ entier
Ce phénomène se retrouve également sur les presque entiers dont la valeur de $\text{[math]}$ est supérieur (cf. la liste de Charles R.Greathouse : https://oeis.org/A127025/b127025.txt qui est parvenu à explorer toutes les valeurs de $\text{[math]}$ mais concernant uniquement les presque entiers dont la partie décimale commence par des 9. Cette séquence porte le nom A127025 sur l'encyclopédie en ligne : https://oeis.org/A127025)

**anthony_unac** · 19/11/2016, 06h10

Bonjour,
Voici une observation permettant d'améliorer la recherche des nombres presque entiers de la forme $\text{[math]}$ .
Partant de la liste de tous les nombres presque entiers trouvés admettant une partie décimale commençant par sept fois 0 (ou sept fois 9) et en notant $\text{[math]}$ la partie entière :
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

On constate aisément qu'une grande proportion des nombres presque entiers de la forme $\text{[math]}$ admettent un radicande $\text{[math]}$ qui ne possède pas de facteurs carrés (entier de type squarefree en anglais) et admettent une racine carrée de la forme $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ entier

Curieux n'est ce pas ou pur coïncidence ?!

**anthony_unac** · 02/12/2016, 05h21

Bonjour,
Voici le dernier presque entier trouvé : $\text{[math]}$ (ou E désigne la partie entière) qui exploite les décimales du nombre $\text{[math]}$

**anthony_unac** · 12/01/2017, 08h02

Les amateurs de nombres presque entiers pourront retrouver quelques jolis specimen sur le site de Gerard Villemin : http://villemin.gerard.free.fr/aNomb...M/Pqentier.htm et les obsédés de la forme $\text{[math]}$ trouveront leur bonheur ici http://math.stackexchange.com/questi...lmost-integers ou la : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...163.htm#antony

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